Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Thomas85 |
Hallo
brauche Hilfe bei eienr Aufgabe:
[mm] (a_{n}) [/mm] sei eine Folge komplexer Zahlen, die durch M beschränkt ist. Man zeige:
[mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{n}z^n[/mm] konvergiert für alle |z| < 1.
Das einzige was ich über [mm] (a_{n}) [/mm] weiß ist doch dass entweder gilt:
[mm] a_n [/mm] <= M für alle n oder [mm] a_n [/mm] >= M für alle n
wenn die folge noch monoton wäre, wäre es ja kein problem mit der Euler Formel für den Konvergenzradius. Aber das kann ich aus der beschränktheit ja nicht schließen, oder?
Bitte um einen kleinen Hinweis
Mfg Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Fr 05.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag Thomas!
> brauche Hilfe bei eienr Aufgabe:
>
> [mm](a_{n})[/mm] sei eine Folge komplexer Zahlen, die durch M
> beschränkt ist. Man zeige:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{n}z^n[/mm] konvergiert für alle |z| <
> 1.
>
> Das einzige was ich über [mm](a_{n})[/mm] weiß ist doch dass
> entweder gilt:
>
> [mm]a_n[/mm] <= M für alle n oder [mm]a_n[/mm] >= M für alle n
Nee, was du weißt, ist 0 [mm] \le |a_{n}| \le [/mm] M.
In Kurzfassung: Damit kannst du die zu untersuchende Reihe durch M teilen und dann durch eine geometrische Reihe abschätzen.
> Bitte um einen kleinen Hinweis
Das war er.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Thomas85 |
Hallo statler, danke für die schnelle Antwort.
Mir ist ehrlich egsgat nciht ganz klar warum 0 < [mm] a_n [/mm] <= M folgt.
Wenn M untere Schranke ist, gilt doch auch
M =< [mm] a_n [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
und kann M nciht auch = 0 sein ?
mfg thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Fr 05.01.2007 | | Autor: | statler |
Auch hallo!
> Mir ist ehrlich egsgat nciht ganz klar warum 0 < [mm]a_n[/mm] <= M
> folgt.
Bei komplexen Zahlen gibt es kein [mm] \ge [/mm] oder [mm] \le, [/mm] es geht immer um die Beträge |z| von komplexen Zahlen.
Was heißt denn bei euch beschränkt? Damit meint man normalerweise nach unten und nach oben beschränkt, und dann gibt es so ein M.
Anschaulich: Alle Zahlen liegen in einer Kreisscheibe vom Radius M.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Thomas85 |
ich stell mr immer noch alles zu sehr an einer Zahlengeraden in [mm] \IR [/mm] vor. mus sich mir abgewöhnen :)
versuche jetzt mal deinen tipp anzuwenden, vielen dank nochmal
mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Thomas85 |
ok, is das heir einigermaßen richtig?
Es gilt 0 < [mm] a_n [/mm] <= M
Damit folgt:
[mm] \bruch{a_n}{M} [/mm] <= 1
[mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_nz^n = M* \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{M} a_nz^n <= M* \summe_{i=1}^{\infty}x^n < \infty[/mm] mit x<1, z<1
hm
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Fr 05.01.2007 | | Autor: | statler |
> ok, is das heir einigermaßen richtig?
aber eben auch nur einigermaßen ...
> Es gilt 0 < [mm]a_n[/mm] <= M
Teufelnocheins, es gilt 0 [mm] \le [/mm] |[mm]a_{n}[/mm]| [mm] \le [/mm] M
> Damit folgt:
>
> [mm]\bruch{a_n}{M}[/mm] <= 1
|[mm]\bruch{a_{n}}{M}[/mm]| = [mm]\bruch{|a_{n}|}{M}[/mm] [mm] \le [/mm] 1
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_nz^n = M* \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{M} a_nz^n <= M* \summe_{i=1}^{\infty}x^n < \infty[/mm]
> mit x<1, z<1
|[mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{n}z^{n}[/mm]| [mm] \le[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{\infty}|a_{n}z^{n}|[/mm] usw.
> hm
Allerdings!
Gruß
Dieter
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ok alles klar,
ich hab dann auch gleich noch eine Frage 
eine weitere Teilaufgabe lautet:
Ist [mm] a_n [/mm] beschränkt durch M und [mm] a_1 [/mm] != 0 dann gilt [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_nz^n[/mm]!= 0 für 0 < |z| < [mm] |\bruch{a_1}{2M}|
[/mm]
Wie kann man an sowas herangehen?
Eine Minorante finden?
mfg Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 07.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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