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| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzrei-
hen:
[mm] \sum_{n=2}^{ \infty } \bruch{x^n}{(log n)^2} [/mm] , [mm] \sum_{n=0}^{ \infty}{3 \wurzel{n}} {x^n} [/mm] . |
Ich bekomme zu dieser Aufgabe leider keinen Ansatz und schaffe es nicht sie zu lösen.
Gibt es hier jemanden, der mir das erklären und vielleicht sogar vorrechnen kann?
Schon einmal bielen Dank im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hey,
herzlich willkommen hier im Matheraum. Zu deinem Problem: Was du hier hast, ist eine Potenzreihe, eigentlich nicht's Schlimmes. Im Grunde bestehend aus einer herkömmlichen Reihe und einer Variable x mit einem Exponenten, hier [mm] x^{n}. [/mm] Sinn und Zweck ist's nun, herauszufinden, für welches x die Reihe konvergiert. In diesem Fall: Für welches [mm] x^{n} [/mm] konvergiert die Reihe. Ich will mal die leichtere in Angriff nehmen (ist schon so späääät):
[mm] \sum_{n=0}^{ \infty}{3 \wurzel{n}} {x^n}
[/mm]
Wie du hier sehen kannst, divergiert die Reihe, wenn du [mm] x^{n} [/mm] einfach mal ignorierst. Nun musst du dazu ein passendes x finden, sodass die Reihe konvergiert. Und wie machen wir das? Indem man x=0 setzt. Denn dann bleibt die Reihe immer 0, dh "konvergiert". Nur für x=0 divergiert die Reihe "nicht". Berechnen kannst so etwas auch mit einem Algorithmus:
1) Wandle die Reihe in eine Folge um (lim)
2) Ignoriere [mm] x^{n}
[/mm]
3) Berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
4) Der Grenzwert ist L (üblicher Buchstabe für "diesen" Grenzwert bei Potenzreihen).
5) Der Konvergenzradius ist R = 1/L
5.1) Konvergenzradius umfasst alle x, für die die Reihe konvergiert.
6) Wenn zB [mm] L=\infty, [/mm] dann ist der Konvergenzradius R=0, da [mm] 1/\infty=0 [/mm] (Denk an eine Folge)
6.1) Hat L einen bestimmten Wert, so wird für R auch ein bestimmter Wert berechenbar sein.
WICHTIG: du hast [mm] x^{n}, [/mm] dh du musst deinen Konvergenzradius auf [mm] x^{n} [/mm] beziehen, dh [mm] x=\wurzel[n]{R}
[/mm]
Wenn du ein bissal googlst, wirst bestimmt eine Menge Material dazu finden.
Gruß,
Hannes
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzrei-
hen:
[mm] \sum_{n=2}^{ \infty } \bruch{x^n}{(log n)^2} [/mm] , [mm] \sum_{n=0}^{ \infty}{3 \wurzel{n}} {x^n} [/mm] . |
Ich hab mir grad den Kopf zerbrochen, wie man Konvergenz bzw. Divergenz des ersten Beispiels erklären kann. Hab mal das Ganze in eine Folge umgewandelt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(log(n))^{2}}
[/mm]
--> monoton fallende Folge
--> positiv bleibende Folge
Ein Zeichen dafür, dass man das Cauchy'sche Verdichtungskriterium anwenden darf. Ich muss zugeben, dass ich damit noch nie gearbeitet hab. Daher hab ich mal die gegebene Reihe umgewandelt:
[mm] S=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}
[/mm]
[mm] T=\summe_{k=0}^{\infty}2^{k}*a_{2^{k}}
[/mm]
[mm] T=\summe_{k=0}^{\infty}2^{k}*\bruch{1}{(log(2^{k}))^2}
[/mm]
Hier tritt schon mal ein Problem auf: k=0 geht nicht, da mir dann die Reihe ins Unendliche geht (k=1). Was geschieht eigentlich bei k=0? Sinnvoller Startwert ist k=2, oder? Darf man das überhaupt?
Weiters: Wie rechnet man weiter?
Nun gut, wenn ich sag, mein Startwert liegt bei k=2, dann seh ich schon anhand der Reihe, dass der Zähler für steigendes k größer wird, als der Nenner. Dh der Nänner wächst viel langsamer an, als der Zähler, was heißt, dass die Reihe divergiert ... oder?
Gibt's andere Beweismöglichkeiten? Denn meine ist eigentlich nur eine Interpretation, keine math. Beweisführung.
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, Brauni
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> Berechnen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzrei-
> hen:
> [mm]\sum_{n=2}^{ \infty } \bruch{x^n}{(log n)^2}[/mm] ,
Hallo,
den Konvergenzradius r kann man hier mit
[mm] {1}{r}=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|
[/mm]
berechnen, wenn ich nichts falsch gemacht habe, ist er =1.
D.h. für |x|<1 konvergiert die Reihe, für |x|>1 divergiert sie.
Für |x|=1 muß man separat überlegen, z.B. mit dem Majorantenkriterium.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzrei-
hen:
[mm] \sum_{n=2}^{ \infty } \bruch{x^n}{(log n)^2} [/mm] |
Vielen Dank für die Infos.
Nur wie berechnet man die Reihe, wenn man [mm] x^{n} [/mm] weglässt (dh keine Potenzreihe)? Hab in Erfahrung bringen können, dass man das Cauchy'sche Verdichtungskriterium anwenden kann. Nur ... wie?
Wie soll ich eine vernünftige Majorante bzw. Minorante bilden? Gut, bei der Minorante erweitere ich [mm] (log(x))^{2}, [/mm] ich erhalte dann zB [mm] (log(x+1))^2, (log(2x))^2 [/mm] oder gar [mm] (log(x))^3 [/mm] ... Ich werd nicht schlau, wie ich den log behandeln muss. Die Minorante [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] zu bilden, ist dann wohl ein schwerwiegender Fehler, oder? Außerdem konvergiert dann die Reihe ... !?! Die Reihe mit log divergiert doch ...
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, brauni
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Hallo Braunstein!
Der Trick ist, [mm] $\ln(x)\le \sqrt{x}$ [/mm] zu verwenden. Das liefert die divergent Minorante [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac [/mm] 1n$.
Gruß, banachella
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Hallo,
zur Anwendung des Verdichtungskriteriums für [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{(ln(n))^2}:
[/mm]
Das Kriterium sagt ja, daß das Konvergenzverhalten dieser Reihe dasselbe ist wie das Konvergenzverhalten von
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}(2^n\bruch{1}{(ln(2^n))^2} =\summe_{n=2}^{\infty}(2^n\bruch{1}{(ln(2^n))^2}) =\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^n}{n^2(ln(2))^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(ln(2))^2}\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^n}{n^2}
[/mm]
Nun ist [mm] \bruch{2^n}{n^2} [/mm] keine Nullfolge, also ist die Reihe
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}(2^n\bruch{1}{(ln(2^n))^2} [/mm] nicht konvergent, also auch nicht die Reihe [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{(ln(n))^2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Braunstein |
Raffiniert, wusste nicht, dass man log(x) mit ln(x) austauschen darf. Macht aber Sinn. Vielen Dank für den Tipp, der ist nämlich ganz fein ;)
Gruß, brauni
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> Raffiniert, wusste nicht, dass man log(x) mit ln(x)
> austauschen darf.
Moment, ich glaube banachella und ich haben log(x) beide als natürlichen Logarithmus gelesen und nicht zur Basis 10.
"Einfach austauschen" darf man das nicht.
Aber [mm] log_{10}(x)=\bruch{ln(x)}{ln(10)},
[/mm]
und damit ist [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{(log(n))^2}=\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{(\bruch{ln(x)}{ln(10)})^2}= (ln(10))^2\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{(ln(x))^2},
[/mm]
so daß sich fürs Ergebnis und die Argumentation nichts ändert.
Gruß v. Angela
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