Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:33 Mi 28.01.2009 | | Autor: | suzan_7 |
Hallo ich möchte zu zwei potenzreihen den konvergenzradius berechnen, bin mir aber recht unsicher.
[mm] 1)\summe_{i=0}^{n} \bruch{(-1)^{i}}{(2i)!} [/mm] * [mm] z^{2i}
[/mm]
[mm] 2)\summe_{k=1}^{n} 2^{k} z^{k!}
[/mm]
bei der ersten aufgabe muss ich ja eigentlich Cauchy Hadamard (linsup) nehmen, da bei der Eulerformel (an/an+1) ja jedes zweite glied -also a(n+1)- gleich null ist. leider weiß ich aber nicht wie ich cauchy hadamard anwenden soll.
in einem skript habe ich allerdings gesehen, dass ich euler anwenden kann ich müsste nur [mm] z^{2k} [/mm] umschreiben in [mm] (z^{2})^{k} [/mm] dann könnte ich nach euler ganz normal den konvergenzradius ausrechnen und muss dann nur aus dem berechneten radius die wurzel ziehen. stimmt das wirklich???
und bei der zweiten aufgabe hab ich wirklich keine ahnung... was mach ich mit der fakultät??
spielt es eigentlich eine rolle ob die reihe bei 1 oder 0 beginnt??
ich freue mich über jede hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Mi 28.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo ich möchte zu zwei potenzreihen den konvergenzradius
> berechnen, bin mir aber recht unsicher.
>
> [mm]1)\summe_{i=0}^{n} \bruch{(-1)^{i}}{(2i)!}[/mm] * [mm]z^{2i}[/mm]
>
> [mm]2)\summe_{k=1}^{n} 2^{k} z^{k!}[/mm]
>
>
> bei der ersten aufgabe muss ich ja eigentlich Cauchy
> Hadamard (linsup) nehmen, da bei der Eulerformel (an/an+1)
> ja jedes zweite glied -also a(n+1)- gleich null ist. leider
> weiß ich aber nicht wie ich cauchy hadamard anwenden soll.
Wo hängt es denn, am Limes superior oder an der Fakultät? Der Limes superior bedeutet hier ja nur, dass du alle Glieder weglässt, die 0 sind.
> in einem skript habe ich allerdings gesehen, dass ich euler
> anwenden kann ich müsste nur [mm]z^{2k}[/mm] umschreiben in
> [mm](z^{2})^{k}[/mm] dann könnte ich nach euler ganz normal den
> konvergenzradius ausrechnen und muss dann nur aus dem
> berechneten radius die wurzel ziehen. stimmt das
> wirklich???
Ja, das ist richtig. Man kann es auch am Kriterium von Cauchy Hadamard sehen: es traen nur die Terme mit geradem Index bei, sodass ich eine Quadratwurzel vorziehen kann:
[mm] \limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{|a_n|} = \lim_{\text{$n$ gerade}} \wurzel[n]{\bruch{1}{n!}} =
\lim_{\text{$n$ gerade}}\bruch{1}{\wurzel[n]{n!}} =
\lim_{i\to\infty} \bruch{1}{\wurzel[2i]{(2i)!}} = \wurzel{\lim_{i\to\infty}\bruch{1}{ \wurzel[i]{(2i)!}}} [/mm]
> und bei der zweiten aufgabe hab ich wirklich keine
> ahnung... was mach ich mit der fakultät??
Das heisst ja, dass alle [mm] $a_n$ [/mm] 0 sind außer denjenigen, für die $n=k!$ ist. Mach es so wie ich es gerade vorgeführt habe!
> spielt es eigentlich eine rolle ob die reihe bei 1 oder 0
> beginnt??
Nicht für den Konvergenzradius, da machen endlich viele Glieder nichts aus. Der Grenzwert ändert sich natürlich, wenn du noch endlich viele Terme dazunimmst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mi 28.01.2009 | | Autor: | suzan_7 |
Hallo, danke für die antwort.
aber leider versteh ich immer noch nicht alles...
denn leider hab ich keine ahnung was die i-teWurzel von (2i)! ist und somit weiß ich auch nicht was der limsup davon ist.
und ich glaub du hast auch bei deiner letzten umformung ein wurzelzeichen zuviel,oder??
in der zweiten rechnung, komm ich damit auch nicht weiter...
wie soll ich denn den limsup von [mm] 2^n [/mm] bilden für n=k1????
ich versteh es leider nicht!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mi 28.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, danke für die antwort.
> aber leider versteh ich immer noch nicht alles...
> denn leider hab ich keine ahnung was die i-teWurzel von
> (2i)! ist und somit weiß ich auch nicht was der limsup
> davon ist.
Einfache Merkregel: die Fakultät wächst schneller als jede Potenz oder Exponentialfunktion, daher geht der Nenner [mm] $\wurzel[\scriptstyle [/mm] i]{(2i)!}$ gegen [mm] $\infty$. [/mm] Du siehst das auch mit der [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Stirling-Formel]Stirling-Näherung[/url für große Fakultäten:
[mm] (2i)! \approx \wurzel{2\pi*2i} \left(\displaystyle\bruch{2i}{e}\right)^{2i} \implies \wurzel[{\scriptstyle i}]{(2i)!} \approx \wurzel[{\scriptstyle 2i}]{2\pi*2i} \left(\displaystyle\bruch{2i}{e}\right)^{2} \mathop{\longrightarrow}\limits_{i\to\infty} \infty {[/mm]
> und ich glaub du hast auch bei deiner letzten umformung
> ein wurzelzeichen zuviel,oder??
Nein, denn vor dem letzten Gleichheitszeichen steht im Nenner die (2i)-te Wurzel:
[mm] \wurzel[\scriptstyle2i]{(2i)!} = \wurzel{\wurzel[\scriptstyle i]{(2i)!} } [/mm]
und dann kannst du die äußere Wurzel aus dem Limes herausziehen, denn die Wurzelfunktion ist stetig.
>
> in der zweiten rechnung, komm ich damit auch nicht
> weiter...
> wie soll ich denn den limsup von [mm]2^n[/mm] bilden für n=k1????
> ich versteh es leider nicht!!
Bevor du rechnest, kannst du schon mal feststellen, dass die Reihe für z=1 divergiert. Daher kann der Konvergenzradius nicht größer als 1 sein.
Wenn du deine Potenzreihe schreibst als [mm] $\summe_n a_n z^n [/mm] $, dann ist doch
[mm] a_n = \begin{cases} 2^k, &n=k! \\ 0,& \text{sonst} \end{cases} [/mm]
Also ist
[mm] \wurzel[\scriptstyle n]{|a_n|} = \begin{cases} \wurzel[\scriptstyle n]{2^k} = \wurzel[\scriptstyle k!]{2^k}, &n=k! \\ 0,& \text{sonst} \end{cases} [/mm]
Für den [mm] $\limsup$ [/mm] müssen wir wieder nur diejenigen [mm] $a_n$ [/mm] nehmen, die größer als 0 sind, also
[mm] \displaystyle\limsup_{n\to\infty} \wurzel[\scriptstyle n]{|a_n|} = \lim_{k\to\infty} \wurzel[\scriptstyle k!]{2^k} [/mm].
Nun ist
[mm] \wurzel[\scriptstyle k!]{2^k} = (2^k)^{1/k!} = 2^{k/k!} = 2^{1/(k-1)!} [/mm]
Also ist dein Konvergenzradius
[mm]\left(\lim_{k\to\infty}2^{1/(k-1)!}\right)^{-1} = ? [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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