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| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius von
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(1+9^{n})} x^{n}
[/mm]
Untersuchen Sie das Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradiuses. |
Ich hab um das zu lösen das Wurzelkriterium genommen:
[mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{\wurzel[n]{n + n9^{n}}}} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{9 * \wurzel[n]{\bruch{n}{n9^{n}} + n}}} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{\bruch{1}{9} \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{ * \wurzel[n]{\bruch{n}{n9^{n}} + n}}} [/mm] =
[mm] \bruch{9}{\bruch{x}{ \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{n}{n9^{n}} + n}}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{n}{n9^{n}} + n} [/mm] geht gegen 1, deshalb ist am Ende [mm] \bruch{9}{x} [/mm] => für x < 1/9 ist die Potenzreihe konvergent.
Stimmt das?
Und wie ist das mit dem Rand des Konvergenzradiuses?
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Hallo ein_weltengel,
> Berechnen Sie den Konvergenzradius von
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(1+9^{n})} x^{n}[/mm]
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> Untersuchen Sie das Verhalten auf dem Rand des
> Konvergenzradiuses.
> Ich hab um das zu lösen das Wurzelkriterium genommen:
>
> [mm]\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{\wurzel[n]{n + n9^{n}}}}[/mm]
Hier muss doch [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{x^n}{n(1+9^n)}\right |}=\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{|x|}{\sqrt[n]{n(1+9^n)}}=|x|\cdot{}\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n(1+9^n)}}$ [/mm] stehen
> =
> [mm]\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{9 * \wurzel[n]{\bruch{n}{n9^{n}} + n}}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{9} \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{ * \wurzel[n]{\bruch{n}{n9^{n}} + n}}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{9}{\bruch{x}{ \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{n}{n9^{n}} + n}}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{n}{n9^{n}} + n}[/mm]
> geht gegen 1, deshalb ist am Ende [mm]\bruch{9}{x}[/mm] => für x <
> 1/9 ist die Potenzreihe konvergent.
Nein, das $|x|$ muss im Verlaufe der Rechnung im Zähler des Doppelbruchs stehen.
Der Konvergenzradius ist 9, also Konvergenz für $|x|<9$ und Divergenz für $|x|>9$
Benutze besser das Kriterium von Cauchy-Hadamard für Potenzreihen ...
Um die Randpunkte des Konvergenzbereiches zu untersuchen, setze die Randpunkte [mm] $x=\pm [/mm] 9$ in die Reihe ein und untersuche mit den "üblichen" Kriterien auf Konvergenz
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> Stimmt das?
> Und wie ist das mit dem Rand des Konvergenzradiuses?
>
LG
schachuzipus
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