Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Fr 26.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius der Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{2^n+n^2} z^n [/mm] |
Hallo zusammen,
wollte die Aufgabe mal zur Übung rechnen aber komme da irgendwie nicht ganz weiter!!!! Vllt kann mir ja jemand weiterhelfen!!
Hab so angefangen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{\wurzel{2^n+n^2} }
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{\wurzel{2^n} } [/mm] * [mm] \wurzel[n]{\wurzel{1+\bruch{n^2}{2^n}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{\wurzel{1+\bruch{n^2}{2^n}} }
[/mm]
= [mm] \wurzel{2}* \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{\wurzel{1+\bruch{n^2}{2^n} }}
[/mm]
so aber wie kann ich jetzt den zweiten Teil umformen?
Danke schonmal!
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Huhu,
beachte [mm] $\bruch{n^2}{2^n} \to [/mm] 0$.
Reicht dir das als Hinweis?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Sa 27.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
ach okay
dann kann ich also
[mm] \wurzel{2} \cdot{} \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{\wurzel{1+\bruch{n^2}{2^n} }}
[/mm]
auch schreiben als:
= [mm] \wurzel{2} \cdot{} \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{\wurzel{1+ \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{2^n} }}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2} \cdot{} \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{\wurzel{1+0 }}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2} \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{1}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2}
[/mm]
also Konvergenzradius= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
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Huhu,
nein, der Schritt ist sehr sehr sehr sehr falsch...........
Nimm als Gegenbeispiel mal [mm] $\lim_{n\to\infty}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n})^n$, [/mm] das ja bekanntlich gegen e konvergiert. Worauf käme es nach deiner Methode?
Schätze deinen Grenzwert mal ab und zwar kannst du den Term IN der Wurzel abschätzen durch
$1 [mm] \le [/mm] 1 + [mm] \bruch{n^2}{2^n} \le [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] für ausreichend grosse n.
Warum ist dir hoffentlich klar 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Do 11.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
ich hab nur noch eine Frage zu der Aufgabe
wollte überprüfen, ob die Reihe für z= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{2^n+n^2} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^n
[/mm]
wollte gucken ob es eine Nullfolge ist:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{2^n+n^2} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^n
[/mm]
wusste jetzt nicht wie ich das am besten umforme, deshalb hab ich geguckt was für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{\wurzel{2}})^n [/mm] passiert und das geht gegen 0
deshalb hab ich gesagt, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{2^n+n^2} (\bruch{1}{\wurzel{2}})^n [/mm] = 0
kann man das so machen?
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Hallo Peter,
> ich hab nur noch eine Frage zu der Aufgabe
>
> wollte überprüfen, ob die Reihe für z=
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{2^n+n^2}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{\wurzel{2}})^n[/mm]
>
> wollte gucken ob es eine Nullfolge ist:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{2^n+n^2}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{\wurzel{2}})^n[/mm]
> wusste jetzt nicht wie ich das am besten umforme, deshalb
> hab ich geguckt was für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{\wurzel{2}})^n[/mm]
> passiert und das geht gegen 0
> deshalb hab ich gesagt, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{2^n+n^2} (\bruch{1}{\wurzel{2}})^n[/mm]
> = 0
> kann man das so machen?
Nein, das ist ziemlich falsch.
Dasselbe hattest du doch gestern schon ...
Es ist [mm] $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n=\frac{1}{\sqrt{2}^n}=\frac{1}{\sqrt{2^n}}$
[/mm]
Also hast du [mm] $\sum\sqrt{\frac{2^n+n^2}{2^n}}$
[/mm]
Und die Folge [mm] $\left(\frac{2^n+n^2}{2^n}\right)$ [/mm] hatten wir im anderen thread schon und gezeigt, dass die gegen 1 konvergiert ...
Also die Wurzel gegen [mm] $\sqrt{1}=1$
[/mm]
Damit hast du keine Nullfolge, also Divergenz für [mm] $z=\frac{1}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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