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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien nachstehender Potenzreihen und damit die offenen Intervalle (a,b) in denen die Reihen konvergieren.
a) s(x) = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} \bruch{(x-1)^{i}}{i} [/mm] |
Hallo,
Hier erstmal die Lösung:
R = [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{i}}{\bruch{1}{i+1}}| [/mm] = [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{i+1}{i} [/mm] = 1
Das offene Intervall, in dem die Reihe sicher konvergiert lautet [mm] (x_{0} [/mm] - R, [mm] x_{0} [/mm] + R) = (0,2)
Meine Frage ist wie ich die gegebene Potenzreihe auf die Form in der Lösung umwandel. Die Formel für das Quotientenkriterium ist mir bekannt:
R= [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} |\bruch{a_{i}}{a_{i}+1}|
[/mm]
Dennoch weiß ich nicht wie ich es korrekt auf diese Form bringe und was in der Beispielaufgabe z.B [mm] a_{i} [/mm] sein soll. Ich bitte um eure Hilfe!
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> Bestimmen Sie die Konvergenzradien nachstehender
> Potenzreihen und damit die offenen Intervalle (a,b) in
> denen die Reihen konvergieren.
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> a) s(x) = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} \bruch{(x-1)^{i}}{i}[/mm]
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> Hallo,
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> Hier erstmal die Lösung:
> R = [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{i}}{\bruch{1}{i+1}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{i+1}{i}[/mm] = 1
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> Das offene Intervall, in dem die Reihe sicher konvergiert
> lautet [mm](x_{0}[/mm] - R, [mm]x_{0}[/mm] + R) = (0,2)
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> Meine Frage ist wie ich die gegebene Potenzreihe auf die
> Form in der Lösung umwandel. Die Formel für das
> Quotientenkriterium ist mir bekannt:
> R= [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} |\bruch{a_{i}}{a_{i}+1}|[/mm]
potenzreihen schreibt man ja allgemein so:
[mm] \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n
[/mm]
dann gilt für den konvergenzradius
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|
[/mm]
nicht zu verwechseln beim quotientenkriterium
[mm] \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
[/mm]
wo meistens das [mm] a_n [/mm] als folge einer summe gemeint ist, und nicht bloss dem koeffizient vor dem entwicklungspunkt
[mm] \sum_{n=0}^\infty a_n
[/mm]
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> Dennoch weiß ich nicht wie ich es korrekt auf diese Form
> bringe und was in der Beispielaufgabe z.B [mm]a_{i}[/mm] sein soll.
> Ich bitte um eure Hilfe!
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mi 22.09.2010 | | Autor: | EdwinMoses |
ich hab meinen fehler mittlerweile auch bemerkt. Ich habe das Quotienkriterium falsch gelesen und die +1 im Nenner nicht zum index dazugezählt sondern zum a. Jetzt ergibt die Aufgabe Sinn :) Vielen Dank
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