Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} nx^{n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^{2n}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 2^{-n}n!x^{n}
[/mm]
d) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^{n} [/mm] |
Also bei a) bin ich auf einen Konvergenzradius von 1 gekommen. Stimmt das so?
Bei b)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^{2n} [/mm] ist ja wie [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2n!}{n!*n!}*x^{2n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n!}*x^{2n}
[/mm]
wie bringe ich bei [mm] x^{2n} [/mm] das 2 weg?
c) [mm] 2^{-n}n!x^{n} [/mm] ist ja wie [mm] \bruch{1}{2^{n}}*n!*x^{n} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{2^{n}}*x^{n}
[/mm]
Das dann in die Formel vom Radius eingesetzt:
[mm] \bruch{n}{n+1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{n!}{2^{n}}}{\bruch{n!*(n+1)}{2^{n+1}}} [/mm] = [mm] \bruch{n!*2^{(n+1)}}{2^{n}*n!(n+1)}
[/mm]
n! fällt ja dann weg:
[mm] \bruch{2^{(n+1)}}{2^{n}*(n+1)}
[/mm]
Wie muss ich jetzt weiterfahren? Ist der Radius 0 ?
d) Ist ja sehr aehnlich wie b nur das [mm] x^{n} [/mm] Hier bin ich auf einen Radius von 1 gekommen. Richtig so?
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Hiho,
> a) bin ich auf einen Konvergenzradius von 1 gekommen.
> Stimmt das so?
Jop.
> Bei b)
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^{2n}[/mm] ist ja wie
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2n!}{n!*n!}*x^{2n}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{n!}*x^{2n}[/mm]
>
> wie bringe ich bei [mm]x^{2n}[/mm] das 2 weg?
Du hast falsch gekürzt. $(2*n)!$ ist NICHT $2*n!$
Ansonsten: Substituiere $y = [mm] x^2$.
[/mm]
Berechne den Konvergenzradius für y und du hast den für [mm] x^2.
[/mm]
Den Rest schaffst du dann allein 
> Das dann in die Formel vom Radius eingesetzt:
>
> [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm]
Du meinst [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}}
[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{n!}{2^{n}}}{\bruch{n!*(n+1)}{2^{n+1}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{n!*2^{(n+1)}}{2^{n}*n!(n+1)}[/mm]
>
> n! fällt ja dann weg:
>
> [mm]\bruch{2^{(n+1)}}{2^{n}*(n+1)}[/mm]
Kürzen! Und dann Grenzwert berechnen.
> Wie muss ich jetzt weiterfahren? Ist der Radius 0 ?
Ja wie ist denn der Grenzwert?
> d) Ist ja sehr aehnlich wie b nur das [mm]x^{n}[/mm] Hier bin ich
> auf einen Radius von 1 gekommen. Richtig so?
siehe b)
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ok ich hab mal bei b) weitergerechnet:
hab gemerkt das 2n! logischerweise nicht n!(2n) ist.
also hab ich [mm] \bruch{(2n)!}{n!*n!} [/mm] in die Formel eingesetzt:
[mm] \bruch{\bruch{(2n)!}{n!*n!}}{\bruch{(2n+1)!}{(n+1)!*(n+1)!}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(2n)!}{n!*n!} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)!*(n+1)!}{(2n+1)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{(2n)!}{n!*n!} [/mm] * [mm] \bruch{n!(n+1)*n!(n+1)}{(2n+1)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{(2n)!}{1} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)*(n+1)}{(2n+1)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{(2n)!*(n+1)^{2}}{(2n+1)!} [/mm]
= [mm] \bruch{(2n)!*(n+1)^{2}}{(2n)!*(2n+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{(2n+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^{2}+2n+2}{2n+1}
[/mm]
Nur kann das irgendwie nicht stimmen, denn das ergibt ja gar keinen Grenzwert! Was habe ich wieder falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
Bedenke, dass gilt:
[mm]a_{n+1} \ = \ \vektor{2*\red{(}n+1\red{)} \\
n+1} \ = \ \vektor{2n+\red{2} \\
n+1} \ = \ \bruch{(2n+2)!}{(n+1)!*(n+1)!}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ah Danke Loddar!
Jetzt hab ich gleich noch gelernt wie man richtig mit Fakultäten ausklammert!
Also dann ist (2n+2)! = (2n+1)!*(2n+2) = (2n)!*(2n+1)*(2n+2)
ergibt dann [mm] \bruch{(2n)!*(n+1)^{2}}{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{(2n+1)*(2n+2)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^{2}+2n+2}{n^{2}+6n+2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = y
da y = [mm] x^2 [/mm] muss ich noch die Wurzel ziehen:
---> [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
auch wenn Loddar dich korrigiert hat, noch ein Hinweis:
Es kann sehr wohl passieren, dass der Grenzwert [mm] $+\infty$ [/mm] herauskommt, was wüsstest du denn dann über den Konvergenzradius?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ups scheiss die 1 war ein Rechenfehler, die 4 hab ich vergessen hinzuschreiben! Sorry!
Ich nehme mal an, dass die Funktion dann divergiert?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ich nehme mal an, dass die Funktion dann divergiert?!
nein! Genau das Gegenteil. Dann ist der Konvergenzradius unendlich, d.h. die Funktion konvergiert überall!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ha klar habs gerade noch mal nachgelesen!
Vielen Dank für die Hilfe
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