Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 So 06.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | [mm] F(x)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{n!}{n^n}(x-1)^n
[/mm]
Cauchy: [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{n!}{n^n}}}=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}}
[/mm]
Quotientenformel: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{n!}{n^n}\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\right|=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{(n+1)^n}{n^n}\right| [/mm] |
Mit dem Tachenrechner konvergieren beide gegen 2,58, aber ich weiß einfach nicht, wie ich auf einen schöneren Weg komme. Und wann benutze ich was? Darf ich mir das aussuchen?
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> [mm]F(x)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{n!}{n^n}(x-1)^n[/mm]
>
> Cauchy:
> [mm]\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{n!}{n^n}}}=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}}[/mm]
ohne stirling-formel kommt man hier glaube ich nicht gross weiter
>
> Quotientenformel:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{n!}{n^n}\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\right|=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{(n+1)^n}{n^n}\right|[/mm]
> Mit dem Tachenrechner konvergieren beide gegen 2,58, aber
> ich weiß einfach nicht, wie ich auf einen schöneren Weg
> komme. Und wann benutze ich was? Darf ich mir das
> aussuchen?
schreibe die letzte klammer als
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{(n+1)}{n}\right)^n
[/mm]
bruch auseinanderziehen, was erkennst du dann?
sachen mit [mm] n^n [/mm] sprechen eigentlich eher für cauchy, fakultäten hingegen eher für quotientenkriterium.
hier wo beides drin ist, muss man abwegen, und wenn man die stirling-formel zur hand hat, ist es ja auch nicht so wild
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 So 06.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Gleich "e", okey, ich hab schon gleich vermutet, dass es nach e hin konvergiert, danke sehr. Die stirling-Formel gibt es bei uns nicht, noch nicht, glaube ich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 06.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | Ich soll jetzt den Fehler ausrechen mit einem Näherungswert von x=1,2 für die ersten drei Glieder.
[mm] F=f(1.2)-\summe_{n=1}^{3}(-1)^n\bruch{n!}{n^n}(1.2-1)^n
[/mm]
[mm] F=f(1.2)-(-0.2+0.02-1.\bar7*10^{-3})
[/mm]
[mm] F=f(1.2)+0.181\bar7 [/mm] |
Was setz ich denn für f(1,2) ein, das vierte Glied?
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> Ich soll jetzt den Fehler ausrechen mit einem
> Näherungswert von x=1,2 für die ersten drei Glieder.
>
> [mm]F=f(1.2)-\summe_{n=1}^{3}(-1)^n\bruch{n!}{n^n}(1.2-1)^n[/mm]
>
> [mm]F=f(1.2)-(-0.2+0.02-1.\bar7*10^{-3})[/mm]
>
> [mm]F=f(1.2)+0.181\bar7[/mm]
> Was setz ich denn für f(1,2) ein, das vierte Glied?
wenn du die reihe in eine explizite funktion umwandeln könntest, könntest du sie dort einsetzen. mir kommt die funktion aber nicht bekannt vor, deshalb musst du wohl mit der restgliedabschätzung vorlieb nehmen
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 So 06.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Restgleidabschätzung, heißt das Taylorpolynom?
Auf Lösungsblatt wurde einfach gesagt F < f(x). bzg. den vorhandenen werten.
Reicht das überhaupt, das Lösungsblatt, wurde von der Fachschaft, oder sonst wem erstellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mo 07.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | Ich muss die Konvergenz berechnen von:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\vektor{3n+1\\2n}\bruch{1}{6^n} [/mm] |
Ich muss ja nun den lim n gegen unendlich beweisen, (oder auch/nur gegen 1):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\vektor{3n+1\\2n}\bruch{1}{6^n}
[/mm]
Dann hab ich den Binomialkoeefizienten aufgelöst:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(3n+1)!}{(2n)!(n+1)!}\bruch{1}{6^n}
[/mm]
Soweit so richtig? Jetzt muss ich doch das Quotientenkriterium einsetzen, oder schon füher, oder empfiehlt sich noch ein Schritt, desweiteren würde mcih interessieren, wie ich den bruch von Schritt 2 weiter verkürzen könnte?
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> Ich muss die Konvergenz berechnen von:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\vektor{3n+1\\2n}\bruch{1}{6^n}[/mm]
>
> Ich muss ja nun den lim n gegen unendlich beweisen, (oder
> auch/nur gegen 1):
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\vektor{3n+1\\2n}\bruch{1}{6^n}[/mm]
Der Limes davor macht keinen Sinn, da die Summe/ Reihe selbst schon bis [mm] \infty [/mm] läuft.
> Dann hab ich den Binomialkoeefizienten aufgelöst:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(3n+1)!}{(2n)!(n+1)!}\bruch{1}{6^n}[/mm]
> Soweit so richtig? Jetzt muss ich doch das
> Quotientenkriterium einsetzen, oder schon füher, oder
> empfiehlt sich noch ein Schritt, desweiteren würde mcih
> interessieren, wie ich den bruch von Schritt 2 weiter
> verkürzen könnte?
Quotientenkriterium kannst du zu jedem Zeitpunkt probieren. Umformen musst du ja sowieso, um den Grenzwert der Quotientenfolge zu berechnen. In diesem Fall hilft das QK auf jeden Fall weiter 
Bei deinem ausgeschriebenen Binomialkoeffizienten lassen sich noch die Fakultäten kürzen.
Gruß
Kamaleonti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Mo 07.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Ich muss die Konvergenz berechnen von:
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\vektor{3n+1\\2n}\bruch{1}{6^n}[/mm]
> >
> > Ich muss ja nun den lim n gegen unendlich beweisen, (oder
> > auch/nur gegen 1):
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\vektor{3n+1\\2n}\bruch{1}{6^n}[/mm]
> Der Limes davor macht keinen Sinn, da die Summe/ Reihe
> selbst schon bis [mm]\infty[/mm] läuft.
> > Dann hab ich den Binomialkoeefizienten aufgelöst:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(3n+1)!}{(2n)!(n+1)!}\bruch{1}{6^n}[/mm]
> > Soweit so richtig? Jetzt muss ich doch das
> > Quotientenkriterium einsetzen, oder schon füher, oder
> > empfiehlt sich noch ein Schritt, desweiteren würde mcih
> > interessieren, wie ich den bruch von Schritt 2 weiter
> > verkürzen könnte?
> Quotientenkriterium kannst du zu jedem Zeitpunkt probieren.
> Umformen musst du ja sowieso, um den Grenzwert der
> Quotientenfolge zu berechnen. In diesem Fall hilft das QK
> auf jeden Fall weiter
>
> Bei deinem ausgeschriebenen Binomialkoeffizienten lassen
> sich noch die Fakultäten kürzen.
Das würde ich hier nicht empfehlen. Kürzen erst nach Ansetzen des QK
FRED
>
> Gruß
> Kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mo 07.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | Gegeben ist:
[mm] f(x)=\summe_{n=2}^{\infty}(-1)^n\left(\bruch{n-1}{n}\right)^{n+1}\bruch{n}{2^n}x^n
[/mm]
Gesucht ist Konvergenzradius: |
Cauchy: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\left(\bruch{n-1}{n}\right)^{n+1}\bruch{n}{2^n}}
[/mm]
Ist das Richtig, oder gehört das [mm] n/2^n [/mm] zu dem [mm] (x-x_0) [/mm] und somit gar nicht ins Cauchy, oder das Quot. Krit. anwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Mo 07.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist:
>
> [mm]f(x)=\summe_{n=2}^{\infty}(-1)^n\left(\bruch{n-1}{n}\right)^{n+1}\bruch{n}{2^n}x^n[/mm]
> Gesucht ist Konvergenzradius:
>
> Cauchy:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\left(\bruch{n-1}{n}\right)^{n+1}\bruch{n}{2^n}}[/mm]
> Ist das Richtig
Ja
> , oder gehört das [mm]n/2^n[/mm] zu dem [mm](x-x_0)[/mm]
Nein
FRED
> und
> somit gar nicht ins Cauchy, oder das Quot. Krit. anwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Mo 07.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
bei mir kommt dann1/2 raus, heißt das, dass das gegen 0,5 konvengiert, oder nur konvengiert?
Edit: Es ist wohl der Konvergenzradius, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Mo 07.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> bei mir kommt dann1/2 raus
Richtig
> , heißt das, dass das gegen 0,5
> konvengiert, oder nur konvengiert?
Hä ?
>
>
> Edit: Es ist wohl der Konvergenzradius, oder?
Nein der Konvergenzradius = 2. Siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mo 07.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Ich hab vergesen, das da noch der bruch war 1/1/2 gleich 2. Danke.
Konvergenzintervall war nicht verlangt, aber muss ich trotzdem eine Randuntersuchung machen?
Ich versteh die Nachfolgende Fehlersuche mit Hilfe eines Näherungswertes nicht so ganz.
Wenn ich die ersten drei Glieder habe, was mach ich dann damit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Mo 07.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Ich hab vergesen, das da noch der bruch war 1/1/2 gleich 2. Danke.
Konvergenzintervall war nicht verlangt, aber muss ich trotzdem eine Randuntersuchung machen?
Ich versteh die Nachfolgende Fehlersuche mit Hilfe eines Näherungswertes nicht so ganz.
Wenn ich die ersten drei Glieder habe, was mach ich dann damit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mo 07.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab vergesen, das da noch der bruch war 1/1/2 gleich 2.
> Danke.
>
> Konvergenzintervall war nicht verlangt, aber muss ich
> trotzdem eine Randuntersuchung machen?
Nein, wenn nur der Konvergenzradius gesucht ist, nicht
>
>
> Ich versteh die Nachfolgende Fehlersuche mit Hilfe eines
> Näherungswertes nicht so ganz.
Wir sind keine Hellseher (bis auf Angela). Von Fehlersuche hast Du bislang nichts geschrieben. Vom Ostereiersuchen auch nicht.
>
> Wenn ich die ersten drei Glieder habe, was mach ich dann
> damit?
Einrahmen ? Rot anmalen ? Mann, wie lautet die Aufgabe ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mo 07.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\summe_{n=2}^{\infty}(-1)^n\left(\bruch{n-1}{n}\right)^{n+1}\bruch{n}{2^n}x^n [/mm]
c) Berechnen Sie einen Näherungswert für [mm] f\left(\bruch{1}{3}\right), [/mm] indem Sie die ersten 3 Glieder der Reihe benutzen, und geben Sie eine Abschatzung für den Fehler F an:
[mm] F=\left|f\left(\bruch{1}{3}\right)-\summe_{n=2}^{\infty}(-1)^n\left(\bruch{n-1}{n}\right)^{n+1}\bruch{n}{2^n}\left(\bruch{1}{3}\right)^n\right| [/mm] |
So ich hab jetzt die ersten drei Gleider:
1/48-2/81+81/4096=0,0159
Was mach ich denn jetzt, womit vergleiche ich es?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Mo 07.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Kann mir das keiner erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Mi 09.02.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
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> [mm]f(x)=\summe_{n=2}^{\infty}(-1)^n\left(\bruch{n-1}{n}\right)^{n+1}\bruch{n}{2^n}x^n[/mm]
>
> c) Berechnen Sie einen Näherungswert für
> [mm]f\left(\bruch{1}{3}\right),[/mm] indem Sie die ersten 3 Glieder
> der Reihe benutzen, und geben Sie eine Abschatzung für den
> Fehler F an:
>
> [mm]F=\left|f\left(\bruch{1}{3}\right)-\summe_{n=2}^{\infty}(-1)^n\left(\bruch{n-1}{n}\right)^{n+1}\bruch{n}{2^n}\left(\bruch{1}{3}\right)^n\right|[/mm]
Da ist F = 0, denn [mm]f\left(\bruch{1}{3}\right) = \summe_{n=2}^{\infty}(-1)^n\left(\bruch{n-1}{n}\right)^{n+1}\bruch{n}{2^n}\left(\bruch{1}{3}\right)^n[/mm]
Sinn macht [mm]F=\left|f\left(\bruch{1}{3}\right)-\summe_{n=2}^{k}(-1)^n\left(\bruch{n-1}{n}\right)^{n+1}\bruch{n}{2^n}\left(\bruch{1}{3}\right)^n\right|[/mm] mit $k [mm] \ge [/mm] 2$.
Für die ersten 3 Glieder ist k = 4.
> So ich hab jetzt die ersten drei Gleider:
> 1/48-2/81+81/4096=0,0159
Nein. Du hast [mm]\summe_{n=2}^{4}(-1)^n\left(\bruch{n-1}{n}\right)^{n+1}\bruch{n}{2^n}\left(\bruch{1}{3}\right)\right|[/mm] gerechnet. Aber mit [mm] $\left(\bruch{1}{3}\right)^n$ [/mm] wäre es schon ok.
>
> Was mach ich denn jetzt, womit vergleiche ich es?
Jetzt könntest Du [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(-1)^n\left(\bruch{n-1}{n}\right)^{n+1}\bruch{n}{2^n}\left(\bruch{1}{3}\right)^n\right|[/mm] berechnen und dann F.
Gruß
meili
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Und wie stelle ich das an?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mi 09.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Und wie stelle ich das an?
Tipps:
Satz von Taylor, Restglied
FRED
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:24 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Tur mir leid, mit dem Tipp komm ich nicht klar. Ich kenn die Funktion f(x) nicht.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3n^2\wurzel[3]{n^2+2n}}{\wurzel[6]{n^5}\left(2n^3+3n^2\right)}
[/mm]
Da Zähler größer Nenner: Majorantenkriterium |
[mm] \le\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3n^2\left(n^2+2n\right)}{n^5\left(2n^3+3n^2\right)}
[/mm]
[mm] \le\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3n^4+2n^3}{2n^8+3n^7}
[/mm]
[mm] \le\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{5n^4}{5n^8}
[/mm]
[mm] \le\summe_{n=1}^{\infty}n^{-4}
[/mm]
Ist das richtig?
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>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3n^2\wurzel[3]{n^2+2n}}{\wurzel[6]{n^5}\left(2n^3+3n^2\right)}[/mm]
>
> Da Zähler größer Nenner: Majorantenkriterium
Nein! Schau da noch einmal genau hin. Die größte Potenz kommt im Nenner vor.
>
> [mm]\le\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3n^2\left(n^2+2n\right)}{n^5\left(2n^3+3n^2\right)}[/mm]
> [mm]\le\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3n^4+2n^3}{2n^8+3n^7}[/mm]
> [mm]\le\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{5n^4}{5n^8}[/mm]
> [mm]\le\summe_{n=1}^{\infty}n^{-4}[/mm]
Selbst hier versuchst du die Summe nach oben abzuschätzen ... sowas macht man, wenn man das Ziel hat, dass Minorantenkriterium anzuwenden.
>
> Ist das richtig?
Nein, du kannst in einer Summe nicht einfach wahllos irgendwelche Bestandteile potenzieren. Schon die erste Abschätzung ist falsch. Da muss man ganz genau überlegen. Wie verändert sich der Zähler und wie der Nenner.
Kamaleonti
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
[mm] \bruch{3n^2\wurzel[3]{n^2+2n}}{\wurzel[6]{n^5}\left(2n^3+3n^2\right)}=\bruch{3\wurzel[3]{n^2+2n}}{2n^{11/6}+3n^{5/6}}
[/mm]
Richtig?
Und jetzt Minorantenkriterium, aber womit anfangen zu vergößern?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Keine Tipps oder sowas?
Ich benötige echt ein wenig Hilfe bei der Abschätzung. Womit fang ich an?
Es muss doch ein System dafür geben.
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Hi
>
> [mm]\bruch{3n^2\wurzel[3]{n^2+2n}}{\wurzel[6]{n^5}\left(2n^3+3n^2\right)}=\bruch{3\wurzel[3]{n^2+2n}}{2n^{11/6}+3n^{5/6}}[/mm]
>
> Richtig?
Ja, jetzt schätze weiter ab
[mm] \bruch{3\wurzel[3]{n^2+2n}}{2n^{11/6}+3n^{5/6}}\leq\bruch{3\wurzel[3]{8n^2}}{2n^{11/6}+3n^{5/6}}=\ldots
[/mm]
>
> Und jetzt Minorantenkriterium, aber womit anfangen zu
> vergößern?
Mach so weiter. Überlege dir, wie du die unangenehmen Terme Schritt für Schritt beseitigst. Am Ende sollte im Nenner ein Exponent >1 rauskommen, dann konvergiert die Reihe nämlich.
Kamaleonti
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:35 Do 10.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{3\wurzel[3]{8n^2}}{2n^{11/6}+3n^{5/6}}=\bruch{24}{2n^{\bruch{7}{6}}+3n^{\bruch{1}{6}}}\leq\bruch{24}{6n^{\bruch{7}{6}}} [/mm] |
Richtig?
Aber was nahm ich denn für Werte an, wenn ich dann diese Abschätzungen mache: z.B: Deine 8 vor der [mm] n^2, [/mm] gibt es hier eine Faustregel, oder nur einen beliebigen Wert, der sich dann später perfekt mit anderen Werten wegkürzt?
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Hallo gotoxy86,
>
> [mm]\bruch{3\wurzel[3]{8n^2}}{2n^{11/6}+3n^{5/6}}=\bruch{24}{2n^{\bruch{7}{6}}+3n^{\bruch{1}{6}}}\leq\bruch{24}{6n^{\bruch{7}{6}}}[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]\bruch{3\wurzel[3]{8n^2}}{2n^{11/6}+3n^{5/6}}=\bruch{\blue{6}}{2n^{\bruch{7}{6}}+3n^{\bruch{1}{6}}}[/mm]
Die letzte Abschätzung stimmt nicht:
[mm]\bruch{\blue{6}}{2n^{\bruch{7}{6}}+3n^{\bruch{1}{6}}}\leq\bruch{\blue{6}}{6n^{\bruch{7}{6}}}[/mm]
Wenn Du den Nenner größer machst,
dann machst Du den Bruch insgesamt kleiner.
Schätz den Nenner demnach nach unten ab.
>
> Richtig?
>
> Aber was nahm ich denn für Werte an, wenn ich dann diese
> Abschätzungen mache: z.B: Deine 8 vor der [mm]n^2,[/mm] gibt es
> hier eine Faustregel, oder nur einen beliebigen Wert, der
> sich dann später perfekt mit anderen Werten wegkürzt?
Die 8 wurde deshalb gewählt, weil dies
die 3. Potenz einer ganzen Zahl ist.
Gruss
MathePower
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Ich hab die Restlgiedabschätzungsformel, was setzte ich für Epsilon ein und kriege ich die Ableitung von f her, wenn ich f(x) gar nicht kenne?
Ich bitte um Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 11.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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