Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Konvergenzradius berechnen:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right) \cdot x^n$ [/mm] |
Ich hab das angewendet:
[mm] $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}|}$
[/mm]
Wenn ich da nun die obere Aufgabe einsetze, dann komm ich irgendwann an die Stelle wo ich nicht mehr weiterweiß:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\left( 3^n + 2^n \right)}{2^n\cdot 3^n \left(3^{n+1} + 2^{n+1} \right)} \right)$
[/mm]
Könnt ihr mri helfen?
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> Konvergenzradius berechnen:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right) \cdot x^n[/mm]
Mühselig reimt man sich zusammen, dass es darum geht, den Konvergenzradius der Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right)\cdot{}x^n[/mm] zu berechnen.
Dazu benutze am besten das Kriterium von Cauchy-Hadamard.
Demnach ist der Konvergenzradius: [mm]\rho=\frac{1}{\lim\sup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}[/mm], wobei [mm]a_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}[/mm] ist.
Schreibe das mal hin und klammere dann unter der n-ten Wurzel [mm]\frac{1}{2^n}[/mm] aus ...
>
> Ich hab das angewendet:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}|}[/mm]
>
> Wenn ich da nun die obere Aufgabe einsetze, dann komm ich
> irgendwann an die Stelle wo ich nicht mehr weiterweiß:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\left( 3^n + 2^n \right)}{2^n\cdot 3^n \left(3^{n+1} + 2^{n+1} \right)} \right)[/mm]
>
> Könnt ihr mri helfen?
Alternativ und m.E. rechenaufwendiger ist das Eulerkriterium (angelehnt an das QK), das du hier irgendwie verdreht benutzt.
Demnach berechnet sich der Konvergenzradius als [mm]\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm], wieder mit [mm]a_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}[/mm] (so alles wohldefiniert ist)
Das [mm]x[/mm] hat da bei der Untersuchung des K-Radius einer Potenzreihe nix verloren!
[mm]\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}}{\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3^{n+1}}}[/mm]
Das gleichnamig gemacht und den Doppelbruch durch Multiplikation mit dessen Kehrbruch beseitigt ergibt:
[mm]\ldots=\frac{3^n+2^n}{6^n}\cdot{}\frac{6^{n+1}}{3^{n+1}+2^{n+1}}[/mm]
Verrechne die 6en und klammere ansonsten in Zähler und Nenner [mm] $3^n$ [/mm] aus ...
Dann sollte es klappen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \rho=\frac{1}{\lim\sup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} [/mm] $, wobei $ [mm] a_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n} [/mm] = ... = [mm] \frac{1}{\lim\sup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sqrt[n]{|1+\frac{2^n}{3^n}|}} [/mm] $
So sollte das doch jetzt stimmen, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> [mm]\rho=\frac{1}{\lim\sup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} [/mm],
> wobei [mm]a_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n} = ... = \frac{1}{\lim\sup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sqrt[n]{|1+\frac{2^n}{3^n}|}}[/mm]
>
>
> So sollte das doch jetzt stimmen, oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und das gibt nun?
Du kannst ja mal nachrechnen, ob du über den anderen Weg dasselbe Ergebnis bekommst ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Das gibt nun einen Radius von 2.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Wo ist denn da nun eigentlich das [mm] $x^n$ [/mm] hin verschwunden? Braucht man das nicht? Kann man das so einfach weglassen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wo ist denn da nun eigentlich das [mm]x^n[/mm] hin verschwunden?
> Braucht man das nicht? Kann man das so einfach weglassen?
Wo sind denn Deine Unterlagen, Mitschriften hin verschwunden ? Mach Dich doch erstmal schlau, was eine Potenzreihe ist, was "Konvergenzradius" bedeutet, etc ...
Mach das mal, bevor Du unverdaute Kochrezepte versuchst umzusetzen
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Do 07.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Es gibt bei mir dazu noch kein Skript.
Mich hat halt trotzdem im voraus interessiert wie man den Konvergenzradius berechnet und deshalb würde ich nun gerne wissen wohin hier das [mm] $x^n$ [/mm] verschwunden und wie man es weglassen, sprich, wie das x aussehen dass man es weglassen kann.
Bei anderen Aufgabe hab ich z.B. das x so verpackt dastehen: [mm] $(x+2)^k$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Pass auf: eine Potenzreihe hat die Gestalt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
[/mm]
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes r mit 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le \infty [/mm] und folgender Eigenschaft:
1. ist r=0, so konv. die PR nur in [mm] x=x_0,
[/mm]
2. ist 0<r< [mm] \infty, [/mm] so konv. die Potenzreihe für [mm] |x-x_0|r,
[/mm]
3. ist r= [mm] \infty, [/mm] so konv. die PR injedem x [mm] \in \IR [/mm] absolut.
Diese Zahl r nennt man den Konvergenzradius der PR.
Setzt man R:= lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}, [/mm] so kann man zeigen:
r=1/R
mit den Verinbarungen: 1/0= [mm] \infty [/mm] und 1/ [mm] \infty=0
[/mm]
Das ist alles.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Do 07.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich dann also diese Aufgabe hab
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{(k!)^k} \cdot (x+2)^k$,
[/mm]
muss ich das dann das (wieder) so berechnen:
$r = [mm] \frac{1}{r} \Rightarrow [/mm] r = [mm] \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\left| \sqrt[k]{\frac{(2k)!}{(k!)^k}} \right|}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Do 07.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ausser dass r=1/r Unsinn ist, ja das ist eine möglichkeit den Konvergenzradius um [mm] x_0=-2 [/mm] auszurechnen.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Do 07.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Sorry Leute ich meinte natürlich:
$ r = [mm] \frac{1}{R} \Rightarrow [/mm] r = [mm] \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\left| \sqrt[k]{\frac{(2k)!}{(k!)^k}} \right|} [/mm] $
Ist das dann eine gute Möglichkeite den Konvergenzradius zu berechnen oder sollte ich für diese Potenzreihe lieber R = [mm] \lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_n}{a_{n+1} \right|} [/mm] benutzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Do 07.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum sollen wir dir die Arbeit abnehmen, das auszuprobieren, dann gewinnst du Erfahrung, wann das eine, wann das andere.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Do 07.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Ok, Ok!
Ich hab jetzt das berechnet was ich grad selber aufgeschrieben hab. Ich komm auf das Ergebnis:
$ r = [mm] \frac{1}{R} \Rightarrow [/mm] r = [mm] \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\left| \sqrt[k]{\frac{(2k)!}{(k!)^k}} \right|} [/mm] = ... = [mm] \infty$
[/mm]
Richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ok, Ok!
>
> Ich hab jetzt das berechnet was ich grad selber
> aufgeschrieben hab. Ich komm auf das Ergebnis:
>
> [mm]r = \frac{1}{R} \Rightarrow r = \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\left| \sqrt[k]{\frac{(2k)!}{(k!)^k}} \right|} = ... = \infty[/mm]
>
> Richtig?
Im Ergebnis zumindest ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 07.04.2011 | | Autor: | bandchef |
dann noch ausgeführt:
$ r = [mm] \frac{1}{R} \Rightarrow [/mm] r = [mm] \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\left| \sqrt[k]{\frac{(2k)!}{(k!)^k}} \right|} [/mm] = [mm] \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\left| \frac{\sqrt[k]{(2k)!}}{k!} \right|} [/mm] = [mm] \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\left| \frac{((2k)!)^\frac{1}{k}}{k!} \right|} [/mm] = [mm] \infty [/mm] $
Wenn nun der Exponent des Zählers im Nenner des Hauptruches gegen 0 strebt wird dieser Zähler zu 1. Nun steht 1 geteilt unendlich was 0 gibt. Weiter steht 1 geteilt durch diese 0 was ja bekanntlich [mm] \infty [/mm] ergibt. Soweit richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> dann noch ausgeführt:
>
> [mm]r = \frac{1}{R} \Rightarrow r = \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\left| \sqrt[k]{\frac{(2k)!}{(k!)^k}} \right|} = \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\left| \frac{\sqrt[k]{(2k)!}}{k!} \right|} = \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\left| \frac{((2k)!)^\frac{1}{k}}{k!} \right|} = \infty[/mm]
>
> Wenn nun der Exponent des Zählers im Nenner des
> Hauptruches gegen 0 strebt wird dieser Zähler zu 1. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist arg schwammig (und falsch)!
> Nun steht 1 geteilt unendlich was 0 gibt. Weiter steht 1
> geteilt durch diese 0 was ja bekanntlich [mm]\infty[/mm] ergibt.
> Soweit richtig?
Naja, es ist schon [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{k!}=\infty[/mm] ...
Also erst recht, wenn statt [mm]k![/mm] da [mm](2k)![/mm] unter der Wurzel steht ...
Da musst du also noch begründen, wieso ausgerechnet hier [mm]\infty/\infty=0[/mm] sein sollte ...
Wenn Potenzen und insbesondere Fakultäten auftauchen, ist man oft mit der Quotientenformel für der K-Radius besser bedient.
Berechne hier mal [mm]\frac{a_k}{a_{k+1}}[/mm]
Da sieht man direkt, dass das gegen [mm]\infty[/mm] strebt für [mm]k\to\infty[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mo 11.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Also wenn ich das jetzt nochmal neu berechne, dann sieht das so aus:
[mm] $q=\lim_{k \to \infty}\frac{(2(k+1))!}{(k+1)!}\cdot \frac{k!}{(2k)!} [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty}\frac{2(k+1)!}{(k+1)(2k)!} [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty}\frac{2!}{(2k)!} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow r=\frac{1}{q}=\frac{1}{0} [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Stimmt das jetzt so?
PS: Warum schreibt ihr eigentlich immer den lim sup aber mein Dozent den "normalen" lim?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Also wenn ich das jetzt nochmal neu berechne, dann sieht
> das so aus:
>
> [mm]q=\lim_{k \to \infty}\frac{(2(k+1))!}{(k+1)!}\cdot \frac{k!}{(2k)!} = \lim_{k \to \infty}\frac{2(k+1)!}{(k+1)(2k)!} = \lim_{k \to \infty}\frac{2!}{(2k)!} = 0 \Rightarrow r=\frac{1}{q}=\frac{1}{0} = \infty[/mm]
Wo sind die Potenzen??
Den Konvergenzradius kannst du direkt als [mm]\rho=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|[/mm] berechnen. Ist ja alles ungefährlich, der Nenner ist stets [mm]\neq 0[/mm]
Der Ausdruck sieht doch so aus:
[mm]\frac{(2k)!}{(k!)^{\red{k}}}\cdot{}\frac{((k+1)!)^{\red{k+1}}}{(2(k+1))!}[/mm]
Das fiesel nochmal auseinander
>
> Stimmt das jetzt so?
>
> PS: Warum schreibt ihr eigentlich immer den lim sup aber
> mein Dozent den "normalen" lim?
Das macht er bestimmt nur in den Fällen, wo der Limes existiert, da ist dann [mm]\limsup=\lim[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:26 Mo 11.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab das alles jetzt schon mal soweit vereinfacht:
[mm] $\lim_{k \to \infty}\frac{(2k)!}{(k!)^{\red{k}}}\cdot{}\frac{((k+1)!)^{\red{k+1}}}{(2(k+1))!} [/mm] = ... = [mm] \lim_{k \to \infty} (k!)^{1-k}\cdot (k!+1)^k [/mm] = [mm] (k!)^{1-k} \cdot (k!)^k \cdot \left(1+\frac{1}{k!}\right)^k [/mm] = (k!) [mm] \cdot \left(1+\frac{1}{k!}\right)^k [/mm] = [mm] \infty [/mm] $
Richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Das rechne doch mal bitte in Einzelschritten hier vor. Da scheint mir einiges quer zu laufen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mo 11.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Stimmt es wenigstens soweit?
$ [mm] \lim_{k \to \infty}\frac{(2k)!}{(k!)^{\red{k}}}\cdot{}\frac{((k+1)!)^{\red{k+1}}}{(2(k+1))!} [/mm] = ... = [mm] \lim_{k \to \infty} (k!)^{1-k}\cdot (k!+1)^k [/mm] = ... $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Nein, das stimmt nicht. Genau deshalb bat ich um die entsprechenden Zwischenschritte.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mo 11.04.2011 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \lim_{k \to \infty}\frac{(2k)!}{(k!)^{\red{k}}}\cdot{}\frac{((k+1)!)^{\red{k+1}}}{(2(k+1))!} [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty} (k!)^{1-k}\cdot (k!+1)^k [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty} \frac{2!k!}{(k!)^k} \cdot \frac{((k+1)!)^k \cdot ((k+1)!)}{2!(k+1)!} [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty}\frac{(k!)}{(k!)^k}\cdot ((k+1)!)^k [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty}(k!)\cdot(k!)^{1-k}\cdot ((k+1)!)^k [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty} (k!)^{1-k}\cdot(k!+1)^k [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty}(k!)^{1-k} \cdot (k!)^k \cdot \left(1+\frac{1}{k!}\right)^k [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty}(k!) \cdot \left(1+\frac{1}{k!}\right)^k [/mm] = [mm] \infty [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Sorry, wenn ich es so drastisch formulieren muss: aber das ist grausam!
Du musst Dir unbedingt die Fakultät ansehen und näher bringen.
Es gilt definitiv: [mm](m*n)! \ \red{\not=}} \ m!*n![/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 11.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich habe es mir schon gedacht, dass es mitunter daran liegt. Wo finde ich eine gute Seite zum Umgang mit der Fakultät? Wie sind da die Rechenregelne?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Di 12.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da n! ja einfach 1*2*...*n ist, muss man sich das einfach hinschreiben, wenn man es nicht direkt sieht, da gibts keine Seite oder sowas oder spezielle rechenregeln.
da du 6! sicher rechnen kannst kannst du auch sehen dass (2*3)! nicht 2!*3! ist. Also einfach mehr Zeit nehmen und etwa den ersten und die letzten 2 Faktoren von (n*m)! oder (m+k)! hinschreiben. andere "Rechenregeln" gibts nicht. und ausprobieren ob was falsch ist kann man meistens mit kleinen Zahlen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Di 03.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Gilt eigentlich:
(2k+2)! = 2k!(k+2)
Kann mir das jemand beantworten?
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> Gilt eigentlich:
>
> (2k+2)! = 2k!(k+2)
>
> Kann mir das jemand beantworten?
Kennst du die (rekursive) Definition der Fakultät?
[mm](n+1)!=n!\cdot{}(n+1)[/mm]
Oben steht [mm]2k!(k+2)[/mm]
Das ist [mm]2\cdot{}1\cdot{}2\cdot{}...\cdot{}k}\cdot{}(k+2)[/mm]
Das ist nie und nimmer [mm](2k+2)![/mm]
Es ist [mm](2k+2)!=\red{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}(2k-2)\cdot{}(2k-1)\cdot{}(2k)}\cdot{}(2k+1)\cdot{}(2k+2)=\red{(2k)!}\cdot{}(2k+1)\cdot{}(2k+2)[/mm]
Beachte, dass [mm]2k!\neq (2k)![/mm] !!!!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Di 03.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab die obige Aufgabe jetzt nochmal angefangen und bin zu diesem Ergebnis gekommen. Ich weiß aber jetzt trotzdem nicht mehr weiter:
Berechne Konverngenzradius von:
$q = [mm] \lim_{k \to \infty} \frac{(2(k+1))!}{((k+1)!)^{k+1})} \cdot \frac{(k!)^k}{(2k)!} [/mm] = ... = [mm] \lim_{k \to \infty} \frac{4k+2}{k! \cdot (k+1)^k} [/mm] = ...$
Ist das soweit richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
welche Aufgabe?
Der thread ist 5 Meter lang!
Sollen wir das raussuchen?
Schreibe die Aufgabe, die du meinst, dazu!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Di 03.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Habs editiert
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ich hab die obige Aufgabe jetzt nochmal angefangen und bin
> zu diesem Ergebnis gekommen. Ich weiß aber jetzt trotzdem
> nicht mehr weiter:
>
>
> Berechne Konverngenzradius von:
>
> [mm]q = \lim_{k \to \infty} \frac{(2(k+1))!}{((k+1)!)^{k+1})} \cdot \frac{(k!)^k}{(2k)!} = ... = \lim_{k \to \infty} \frac{4k+2}{k! \cdot (k+1)^k} = ...[/mm]
Ok, damit ist $q=...$ und der Konvergenzradius [mm] $\rho=\frac{1}{q}=..$
[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Ja!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Di 03.05.2011 | | Autor: | bandchef |
d.h. also, ich kann so weitermachen:
$... = [mm] \lim_{k \to \infty} \frac{k(4+\frac{2}{k})}{k! \cdot (k+1)^k} [/mm] = 0$
Das einzige was ich jetzt noch nicht verstehe, ist, wie ich nun das k im Zähler mit k! kürzen darf!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> d.h. also, ich kann so weitermachen:
>
> [mm]... = \lim_{k \to \infty} \frac{k(4+\frac{2}{k})}{k! \cdot (k+1)^k} = 0[/mm]
>
> Das einzige was ich jetzt noch nicht verstehe, ist, wie ich
> nun das k im Zähler mit k! kürzen darf!
Das hatten wir doch jetzt gerade besprochen - und das ganz ausführlich und in Farbe.
Du willst mich bestimmt veräppeln ...
Wie kannst du $k!$ schreiben?
Als ....
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:53 Di 03.05.2011 | | Autor: | bandchef |
$ ... = [mm] \lim_{k \to \infty} \frac{(4+\frac{2}{k})}{k! \cdot (k+1)^k} [/mm] = 0 $
Passt das dann so?
$k! = 1 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] ... [mm] \cdot [/mm] k$
Wenn ich das dann mit k kürze, bleibt mir ja die Fakultät im Nenner stehen, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Di 03.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
> Wenn ich das dann mit k kürze, bleibt mir ja die Fakultät
> im Nenner stehen, oder?
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Das ist jetzt nicht wirklich Dein Ernst!
Langsam drängt sich wirklich der Gedanke auf, dass Du hier Schabernack mit uns treibst.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Ist doch sonnenklar:
[mm]\frac{k}{k!}=\frac{\red{k}}{\red{k}!}=\frac{1}{!}[/mm]
![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Di 03.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Nein, ich treibe keine Schabernack!
Ich hab's bloß nicht verstanden...
|
|
|
| |
|
Ich hab's dir doch bunt aufgemalt.
Nochmal: rekursive Def.
[mm]k!=\red{1\cdot{}2\cdot{}\ldots\cdot{}(k-1)}\cdot{}k=\red{(k-1)!}\cdot{}k[/mm]
Damit also?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Di 03.05.2011 | | Autor: | bandchef |
$ ... = [mm] \lim_{k \to \infty} \frac{k(4+\frac{2}{k})}{k! \cdot (k+1)^k} [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty} \frac{k(4+\frac{2}{k})}{(k-1) \cdot k \cdot (k+1)^k} [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty} \frac{(4+\frac{2}{k})}{(k-1) \cdot (k+1)^k} [/mm] = 0 $
So jetzt aber!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> [mm]... = \lim_{k \to \infty} \frac{k(4+\frac{2}{k})}{k! \cdot (k+1)^k} = \lim_{k \to \infty} \frac{k(4+\frac{2}{k})}{(k-1) \cdot k \cdot (k+1)^k} = \lim_{k \to \infty} \frac{(4+\frac{2}{k})}{(k-1) \cdot (k+1)^k} = 0[/mm]
Du hast 2mal die Fakultät verschlabbert!
Richtig: [mm]\ldots\lim\limits_{k\to\infty}\frac{4+2/k}{(k-1)\red{!}\cdot{}(k+1)^k}[/mm]
>
> So jetzt aber!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> Das gibt nun einen Radius von 2.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
