Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Ermitteln Sie f¨ur die folgenden Potenzreihen den Mittelpunkt und den Konvergenzradius.
Bestimmen Sie f¨ur die Reihe in (i) außerdem das Konvergenzverhalten in den
Randpunkten und geben Sie das Konvergenzintervall an.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{k}(2k-1)}*(x-1)^{k} [/mm] |
Hallöchen,
ich hab leider meine Übung zu dem Thema Konvergenzradius, Konvergenzintervalle und Konvergenzverhalten in den Randpunkten verpasst und stehe jetzt einwenig auf dem Schlauch.
Aus der Vorlesung weiß ich noch, dass ich den Konvergenz Radius mithilfe von dem Quotienten- oder dem Wurzelkriterium berechnen kann.
Also habe ich es wie folgt probiert:
r = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^{k}(2k-1)}{2^{k+1}(2k)} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2k-1}{4k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und nun noch das x hinten dran.
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] x < 1 also x < 2 absolut konvergent und x > 2 divergent ?
Also r = 2 ?
Stimmt das so oder geht das absolut in die falsche Richtung ?
danke im voraus und liebe grüße,
Andi
/edit:
wobei mir jetzt noch einfällt, dass der Mittelpunkt ja [mm] x_{0} [/mm] = 1 ist, dementsprechend müsste es eher heißen :
x < 3 absolut konvergent und x > 3 divergent ?
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> Ermitteln Sie f¨ur die folgenden Potenzreihen den
> Mittelpunkt und den Konvergenzradius.
> Bestimmen Sie f¨ur die Reihe in (i) außerdem das
> Konvergenzverhalten in den
> Randpunkten und geben Sie das Konvergenzintervall an.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{k}(2k-1)}*(x-1)^{k}[/mm]
>
>
> Hallöchen,
> ich hab leider meine Übung zu dem Thema Konvergenzradius,
> Konvergenzintervalle und Konvergenzverhalten in den
> Randpunkten verpasst und stehe jetzt einwenig auf dem
> Schlauch.
>
> Aus der Vorlesung weiß ich noch, dass ich den Konvergenz
> Radius mithilfe von dem Quotienten- oder dem
> Wurzelkriterium berechnen kann.
> Also habe ich es wie folgt probiert:
>
> r =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^{k}(2k-1)}{2^{k+1}(2k)}[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2k-1}{4k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und nun noch das x hinten dran.
Hallo,
mehrerlei:
entweder Du arbeitest für [mm] \summe a_ny^n [/mm] mit der Formel [mm] r=\lim_{n\to\infty}\bruch{a_n}{a_{n+1}},
[/mm]
dann weißt Du, daß die Reihe für -r<y<r konvergent ist,
oder Du berechnest (Quotientenkriterium) für welche y gilt [mm] \lim_{n\to \infty}\bruch{a_{n+1}y^{n+1}}{a_ny^n}=\lim_{n\to \infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}y<1, [/mm] was zum selben Ergebnis führt.
Unten schreibst Du eine Mischform von beidem auf, das tut etwas weh, auch wenn Du zum richtigen Ergebnis kommst.
Allerdings stimmt bei Dir der Nenner nicht ganz, denn (2(n+1)-1)=(2n+1) und nicht etwa =2n.
Fürs Ergebnis macht das aber keinen Unterschied.
>
>
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x < 1 also x < 2 absolut konvergent und x > 2
> divergent ?
> Also r = 2 ?
>
> Stimmt das so oder geht das absolut in die falsche Richtung
Es stimmt halb.
Du weißt jetzt: für -2<x-1<2 konvergiert die Reihe.
> /edit:
> wobei mir jetzt noch einfällt, dass der Mittelpunkt ja
> [mm]x_{0}[/mm] = 1 ist, dementsprechend müsste es eher heißen :
> x < 3 absolut konvergent und x > 3 divergent ?
Den Mittelpunkt hast du richtig gesagt. Nun 2 nach links und 2 nach rechts, und Du kennst das Konvergenzintervall.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Infoandi |
Ok danke erstmal für deine Antwort.
vorweg eine kleine Frage -2<x-1<2 diese -2 gehe ich von der nur aus, da es sich um einen Radius handelt ? Oder wie berechne ich diese ?
Weiter im Programm:
ich habe jetzt die Randpunkte -1 und 3, hier prüfe ich die Konvergenz in dem ich die zwei Werte für x einsetze und wieder z.B das Quotientenkriterium teste.
Bei -1 kommt bei mir [mm] \summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{1}{2k-1} [/mm] raus, wenn ich jetzt das Quotientenkriterium teste [mm] \summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{2k-1}{2k-1} [/mm] = -1 also absolut konvergent
soweit sogut, aber bei x=3 ist das nicht mehr so lustig. Imprinzip ist es das selbe bloss ohne das Minus. Was ist die Reihe den jetzt ? Absolutkonvergent <1 ist es nicht divergent aber auch nicht das es nicht >1 ist. Vielleicht kann ich ja konvergenz nachweisen durch das Leibnizkriterium, aber ich das habe ich noch nicht ganz verstanden.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \bruch{1}{2k-1}
[/mm]
und nu ?
Grüße Andi
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Hallo,
> Ok danke erstmal für deine Antwort.
> vorweg eine kleine Frage -2<X-1<2
> der nur aus, da es sich um einen Radius handelt ? Oder wie
> berechne ich diese ?
Es ist r=2 der Konvergenzradius, der wurde doch schon berechnet und besprochen?
Bedeuten tut das zunächst, dass die Reihe im offenen Intervall
[mm] (x_0-2,x_0+2)
[/mm]
konvergiert. Ganz nebenbei, das könntest du auch noch vernünftiger angeben, denn
-2<x-1<2
sieht irgendwie so kryptisch auis. 
> Weiter im Programm:
> ich habe jetzt die Randpunkte -1 und 3, hier prüfe ich
> die Konvergenz in dem ich die zwei Werte für x einsetze
> und wieder z.B das Quotientenkriterium teste.
> Bei -1 kommt bei mir [mm]\summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{1}{2k-1}[/mm]
> raus, wenn ich jetzt das Quotientenkriterium teste
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{2k-1}{2k-1}[/mm] = -1 also absolut
> konvergent
Ich sehe zwar nicht ganz, was du da getan hast, aber es es ist grausliog falsch. Wenn du das Minuszeichen vorziehst und mal für einen Moment vergisst, dann kannst du den Rest durch die harmonische Reihe als Minorante nach unten abschätzen und damit ist klar, dass sie divergent ist.
> soweit sogut, aber bei x=3 ist das nicht mehr so lustig.
> Imprinzip ist es das selbe bloss ohne das Minus. Was ist
> die Reihe den jetzt ? Absolutkonvergent <1 ist es nicht
> divergent aber auch nicht das es nicht >1 ist. Vielleicht
> kann ich ja konvergenz nachweisen durch das
> Leibnizkriterium, aber ich das habe ich noch nicht ganz
> verstanden.
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \bruch{1}{2k-1}[/mm]
> und nu ?
Leibniz-Kriterium ist hier genau die richtige Wahl: das allg. Reihenglied muss eine monotone Nullfolge sein und die Vorzeichen der Reihenglieder müssen alternieren. Ist beides gegeben, dann ist die Reihe konvergent. Zweimal scharf hingesehen, und was stellen wir fest? 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Infoandi |
ok, dass es für x=3 konvergent ist verstehe ich und kann ich auch beweisen, aber kannst du es nochmal anderes für x=1 erklären, also kann man es anderes als über das Minorantenkriterium zeigen ?
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Halllo,
warum möchtest du das Minorantenkriterium nicht verwenden, einfacher geht es doch gar nicht?
[mm] \bruch{1}{2k-1}>{\bruch{1}{2k}}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{k}
[/mm]
und damit ist die Sache doch gegessen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Do 10.05.2012 | | Autor: | Infoandi |
und das Minus vor dem Summenzeichen beeinflusst das Ganze überhaupt nicht ?
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Hallo,
> und das Minus vor dem Summenzeichen beeinflusst das Ganze
> überhaupt nicht ?
nicht, was das Konvergenzverhalten angeht. Nur beim Grenzwert dreht es natürlich das Vorzeichen um, aber der interessiert hier ja eh nicht, so oder so.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Do 10.05.2012 | | Autor: | Infoandi |
Ich seh grad das bei x=-1 das ganze ja so aussieht :
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-2)^{k}}{2^{k}(2k-1)}
[/mm]
ich bin ja vorher von sowas ausgegangen
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2^{k}}{2^{k}(2k-1)}
[/mm]
eigen darf ich doch garnicht kürzen bzw das minus vor den Bruch oder vor die Summe ziehen ?
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Hallo,
> Ich seh grad das bei x=-1 das ganze ja so aussieht :
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-2)^{k}}{2^{k}(2k-1)}[/mm]
> ich bin ja vorher von sowas ausgegangen
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2^{k}}{2^{k}(2k-1)}[/mm]
>
> eigen darf ich doch garnicht kürzen bzw das minus vor den
> Bruch oder vor die Summe ziehen ?
ja, sorry: da habe ich auch fest mitgeholfen beim Verwechseln. An der Stelle x=-1 alterniert da Vorzeichen, also hier zeigt man leicht mit Leibniz Konvergenz. An der Stelle x=3 jedoch ist die Reihe divergent, hier gilt das Gesagte mit dem Mionorantenkriterium.
Gruß, Diophant
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