Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 Mo 21.05.2012 | | Autor: | db60 |
hallo,
ich verstehe nicht genau was ein Konvergenzradius sein soll oder was ich mir dadrunter vorstellen kann.
Also wenn ich die Potenzreihe vom Cosinus nehmen würde, würde dann der Konvergenzradius 1 sein ? Heißt das, dass der Betragsmäßig größte Wert der Konvergenzradius ist ?
Und wie bestimmte ich genau einen Konvergenzradius ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:55 Mo 21.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Reihe der Art [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_nx^n [/mm] konvergiert fuer alle |x|< Konvergenzradius. die Taylorreihe von cos etwa hat soweit ich mich erinnere den Konvergenzradius [mm] \infty.
[/mm]
die formel, wie man ihn ausrechnet haengt mit dem Wurzel oder Quotientenkriterium zusammen, und du kannst sie etwa in wiki nachlesen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mo 21.05.2012 | | Autor: | db60 |
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
was ist genau mein [mm] a_{n}? [/mm] wenn eine Reihe z.B. so lautet :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}
[/mm]
Was wäre genau mein [mm] a_{n}? [/mm] Das hier?
[mm] (-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
genau so ist es. Die eigentliche Potenz von x sieht i.a. so aus:
[mm] (x-x_0)^k
[/mm]
wobei in deinem Beispiel [mm] x_0=0 [/mm] ist.
Alles andere, was da sonst noch so als Faktoren dransteht, ist dein [mm] a_k.
[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:29 Di 22.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
>
> genau so ist es.
Nicht ganz. Das Beispiel lautet ja [mm] $\sum_{k=0}^\infty \bruch {(-1)^k} [/mm] {(2k)!} [mm] x^{2k}$, [/mm] und da ist [mm] $a_k=0$ [/mm] für ungerade $k$.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mo 21.05.2012 | | Autor: | db60 |
> http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
>
> was ist genau mein [mm]a_{n}?[/mm] wenn eine Reihe z.B. so lautet :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
>
> Was wäre genau mein [mm]a_{n}?[/mm] Das hier?
> [mm](-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!}[/mm]
Warum divergiert [mm] a_{n} [/mm] ? Müsste das nicht nach dem Leibniz-Kriterium konvergieren, weil es sich um eine monoton-fallende Nullfolge handelt ?
|
|
|
| |
|
Hi db60,
> > http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
> >
> > was ist genau mein [mm]a_{n}?[/mm] wenn eine Reihe z.B. so lautet :
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
> >
> > Was wäre genau mein [mm]a_{n}?[/mm] Das hier?
> > [mm](-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!}[/mm]
>
>
> Warum divergiert [mm]a_{n}[/mm] ? Müsste das nicht nach dem
> Leibniz-Kriterium konvergieren, weil es sich um eine
> monoton-fallende Nullfolge handelt ?
Zunächst muss es [mm]a_{\red k}[/mm] lauten und nicht [mm]a_n[/mm]
Und wieso willst du Konvergenz von [mm](a_k)_{k\in\IN}[/mm] untersuchen?
Jede Potenzreihe ist doch trivialerweise mindestens in ihrem Entwicklungspunkt konvergent.
Für deine Reihe kannst du das Kriterium von Cauchy-Hadamard hernehmen oder - in Anlehnung an das QK - [mm]\rho=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|[/mm] berechnen.
Der Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] ist [mm]\in [0,\infty][/mm] - soll heißen, dass ein unendlicher Konvergenzradius auch zugelassen ist.
Berechne mal für deine Potenzreihe das [mm]\rho[/mm] und du hast Konvergenz für [mm]\left|x^2\right|<\rho[/mm] und Divergenz für [mm]\left|x^2\right|>\rho[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:38 Di 22.05.2012 | | Autor: | Helbig |
>
> Für deine Reihe kannst du das Kriterium von
> Cauchy-Hadamard hernehmen oder - in Anlehnung an das QK -
> [mm]\rho=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|[/mm]
> berechnen.
Das klappt hier nicht, da [mm] $a_k=0$ [/mm] für ungerade $k$ ist und somit die Glieder der Quotientenfolge abwechselnd $0$ und [mm] $\infty$ [/mm] sind.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Di 22.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> was ist genau mein [mm]a_{n}?[/mm] wenn eine Reihe z.B. so lautet :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
>
> Was wäre genau mein [mm]a_{n}?[/mm] Das hier?
> [mm](-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!}[/mm]
Nein. [mm] $a_k$ [/mm] ist der Faktor mit dem [mm] $x^k$ [/mm] multipliziert wird. In Deinem Beispiel ist
[mm] $a_k= [/mm] 0$, falls $k$ ungerade ist und [mm] $a_k=\bruch {(-1)^{k/2}} [/mm] {k!}$ falls $k$ gerade ist.
Alles klar?
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mi 23.05.2012 | | Autor: | db60 |
> > was ist genau mein [mm]a_{n}?[/mm] wenn eine Reihe z.B. so lautet :
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
> >
> > Was wäre genau mein [mm]a_{n}?[/mm] Das hier?
> > [mm](-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!}[/mm]
>
> Nein. [mm]a_k[/mm] ist der Faktor mit dem [mm]x^k[/mm] multipliziert wird. In
> Deinem Beispiel ist
> [mm]a_k= 0[/mm], falls [mm]k[/mm] ungerade ist und [mm]a_k=\bruch {(-1)^{k/2}} {k!}[/mm]
> falls [mm]k[/mm] gerade ist.
>
> Alles klar?
>
> Wolfgang
>
>
>
Noch nicht ganz! Warum wird plötzlich beim Exponenent k durch 2 geteilt und warum verschwindet die 2 vor dem k! im Nenner. Und was bedeutet das wenn ich 2 Konvergenzradien raus habe und zwar 0 und [mm] \infty [/mm] ?
Und warum wird das [mm] a_{k}=0 [/mm] für ungerade k eigentlich seht doch dadurch nur ein -1 unter der Wurzel oder vertuhe ich mich da?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > was ist genau mein [mm]a_{n}?[/mm] wenn eine Reihe z.B. so lautet :
> > >
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
> >
> >
> > > Was wäre genau mein [mm]a_{n}?[/mm] Das hier?
> > > [mm](-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!}[/mm]
> >
> > Nein. [mm]a_k[/mm] ist der Faktor mit dem [mm]x^k[/mm] multipliziert wird. In
> > Deinem Beispiel ist
> > [mm]a_k= 0[/mm], falls [mm]k[/mm] ungerade ist und [mm]a_k=\bruch {(-1)^{k/2}} {k!}[/mm]
> > falls [mm]k[/mm] gerade ist.
> >
> > Alles klar?
> >
> > Wolfgang
> >
> >
> >
>
> Noch nicht ganz! Warum wird plötzlich beim Exponenent k
> durch 2 geteilt und warum verschwindet die 2 vor dem k!im
> Nenner
Also ... . Wir haben
(*) $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm] $
Diese Potenzreihe wollen wir in der Form
(**) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] schreiben
In (*) stehen nur Potenzen von x mit geradem Exponenten !
Daher ist [mm] a_n [/mm] = 0 , wenn n ungerade ist.
Sei n gerade. Dann gibt es ein k [mm] \in \IN_0 [/mm] mit n=2k
Schau Dir das zugehörige Reihenglied in (**) und in (*) an:
[mm] a_nx^n=a_{2k}x^{2k}= (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}
[/mm]
Also ist
[mm] a_n=a_{2k}= (-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!}
[/mm]
Wegen k=n/2 (n=2k) bekommen wir:
[mm] a_n= (-1)^{n/2} \bruch{1}{n!}
[/mm]
>
> Und was bedeutet das wenn ich 2 Konvergenzradien
> raus habe und zwar 0 und [mm]\infty[/mm] ?
Hä ? Das ist nicht möglich !
> Und warum wird das [mm]a_{k}=0[/mm] für ungerade k eigentlich seht
> doch dadurch nur ein -1 unter der Wurzel oder vertuhe ich
> mich da?
Hab ich oben erklärt.
FRED
|
|
|
|
