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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Fr 15.06.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen
(a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}cos(\pi n)z^n [/mm] (b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n^2}z^n
[/mm]
(c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{n^n} [/mm] (d) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} exp(-i\wurzel{n})*z^n [/mm] |
Hallo! Wäre nett wenn jemand sagen könnte, ob das so richtig ist, bzw. einen Tipp zu (d) geben könnte.
a) Hier bietet sich an den Konvergenzradius zu berechnen mit [mm] r=\lim_{n\to\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{cos(\pi n)}{cos(\pi (n+1))}|=|-1|=1
[/mm]
b) Wurzelkriterium:
[mm] r=\bruch{1}{\limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}=\bruch{1}{\limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|(1+\bruch{1}{n})^{n^2}|}}=\bruch{1}{\limsup_{n\to\infty}|(1+\bruch{1}{n})^{n}|}=\bruch{1}{e}
[/mm]
c) Ebenso: [mm] r=\bruch{1}{limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|n^n|}}=\bruch{1}{limsup_{n\to\infty}n}=0
[/mm]
Soweit richtig?
Bei (d) stehe ich etwas auf dem Schlauch.. kann mir da jemand einen Ansatz bzw eine Idee verraten??
Vielen Dank und liebe Grüße,
chesn
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Hallo chesn,
> Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen
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> (a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}cos(\pi n)z^n[/mm] (b)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n^2}z^n[/mm]
>
> (c) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{n^n}[/mm] (d)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} exp(-i\wurzel{n})*z^n[/mm]
> Hallo! Wäre
> nett wenn jemand sagen könnte, ob das so richtig ist, bzw.
> einen Tipp zu (d) geben könnte.
>
> a) Hier bietet sich an den Konvergenzradius zu berechnen
> mit
> [mm]r=\lim_{n\to\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{cos(\pi n)}{cos(\pi (n+1))}|=|-1|=1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) Wurzelkriterium:
Cauchy-Hadamard!
>
> [mm]r=\bruch{1}{\limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}=\bruch{1}{\limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|(1+\bruch{1}{n})^{n^2}|}}=\bruch{1}{\limsup_{n\to\infty}|(1+\bruch{1}{n})^{n}|}=\bruch{1}{e}[/mm]
>
> c) Ebenso:
> [mm]r=\bruch{1}{limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|n^n|}}=\bruch{1}{limsup_{n\to\infty}n}=0[/mm]
Hier ist doch [mm]a_n=1/n^n[/mm] und nicht [mm]n^n[/mm] ...
>
> Soweit richtig?
> Bei (d) stehe ich etwas auf dem Schlauch.. kann mir da
> jemand einen Ansatz bzw eine Idee verraten??
Ich überlege auch noch ...
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> Vielen Dank und liebe Grüße,
> chesn
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nutze ein Kriterium deiner Wahl (Quotieten- oder Wurzelkriterium z.B.) und beachte, dass [mm] |e^{i\varphi}|=1 [/mm] ist für alle [mm] \varphi \in \IR.
[/mm]
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