Konvergenzradius 4 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Thema kann geschlossen werden
--- EDIT [Diophant]: Nein, hier wird nichts geschlossen!
hat einer eine Idee wie man diesen Konvergenzradius [mm] \sum_{n\ge0}n^{\wurzel{n}} [/mm] bestimmen kann? ohne Umschreibung mittels Logarithmus oder Exponentialfunktion
mein Ansatz:
[mm] \frac{1}{lim n^{1/\wurzel{n}}} [/mm] leider komme ich an dieser Stelle nicht weiter. danke schonmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> hat einer eine Idee wie man diesen Konvergenzradius
> [mm]\sum_{n\ge0}n^{\wurzel{n}}[/mm] bestimmen kann?
Überhaupt nicht, so wie es bis jetzt dasteht. Konvergenzradius ist eine Eigtenschaft von Potenzreihen, da obern steht keine Potenzreihe, bisher jedenfalls nicht.
Gruß, Diophant
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> hat einer eine Idee wie man diesen Konvergenzradius
> [mm]\sum_{n\ge0}n^{\wurzel{n}}[/mm] bestimmen kann?
Hallo,
worum geht's?
Gehört zu "Konvergenzradius" nicht eine Potenzreihe?
Ich sehe gar keine...
Die Reihe [mm] \sum_{n\ge0}n^{\wurzel{n}} [/mm] konvergiert nicht, würd' ich mal meinen.
LG Angela
> ohne
> Umschreibung mittels Logarithmus oder Exponentialfunktion
> mein Ansatz:
> [mm]\frac{1}{lim n^{1/\wurzel{n}}}[/mm] leider komme ich an dieser
> Stelle nicht weiter. danke schonmal
>
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hat einer eine Idee wie man diesen Konvergenzradius [mm] \sum_{n\ge0}n^{\wurzel{n}}*z^{n} [/mm] bestimmen kann? ohne Umschreibung mittels Logarithmus oder Exponentialfunktion
mein Ansatz:
[mm] \frac{1}{lim (n^{1/\wurzel{n}})} [/mm] leider komme ich an dieser Stelle nicht weiter. danke schonmal
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Hallo rosapanther,
> hat einer eine Idee wie man diesen Konvergenzradius
> [mm]\sum_{n\ge0}n^{\wurzel{n}}*z^{n}[/mm] bestimmen kann? ohne
> Umschreibung mittels Logarithmus oder Exponentialfunktion
Um ehrlich zu sein, nein. Warum muss es denn ohne sein?
> mein Ansatz:
> [mm]\frac{1}{lim (n^{1/\wurzel{n}})}[/mm] leider komme ich an
> dieser Stelle nicht weiter. danke schonmal
Dieser Grenzwert ist 1. Wie man das aber anders zeigen soll... keine Ahnung.
Ich lasse die Frage mal auf halb beantwortet.
Grüße
reverend
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die Logaritmusfuntkion haben wir noch gar nicht behandelt. Allenfalls kann ich die Umformung mittels Exponentialfuntkion hier verwenden. Würde das gehen(also ohne Logarithmus?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Sa 11.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> die Logaritmusfuntkion haben wir noch gar nicht behandelt.
> Allenfalls kann ich die Umformung mittels
> Exponentialfuntkion hier verwenden. Würde das gehen(also
> ohne Logarithmus?)
Siehe hier oder was du noch probieren kannst ist die Konvergenz zu zeigen mit dem [mm] \epsilon-Kriterium!
[/mm]
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Sa 11.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> hat einer eine Idee wie man diesen Konvergenzradius
> [mm]\sum_{n\ge0}n^{\wurzel{n}}*z^{n}[/mm] bestimmen kann? ohne
> Umschreibung mittels Logarithmus oder Exponentialfunktion
> mein Ansatz:
> [mm]\frac{1}{lim (n^{1/\wurzel{n}})}[/mm] leider komme ich an
> dieser Stelle nicht weiter. danke schonmal
>
Zunächst will ich dich auf folgendes Hinweisen:
4. Doppelposts und Hinweise auf Crossposts
Bitte platziere im Forum keine Doppelposts in verschiedenen Unterforen, sondern stelle jede Frage nur einmal ein.
Crossposts sind Fragen, die parallel in mehreren Internet-Foren gestellt werden.
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Wir möchten so vermeiden, dass Hilfsbereite ihre Zeit für bereits geklärte Fragen einsetzen.
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Crossposts ohne Hinweis werden auf den Status "für Interessierte" gesetzt, also nicht mehr als zu bearbeitendes Hilfegesuch angezeigt.
User, die durch Crossposting ohne Hinweis auffallen, erhalten den Newbie-Status.
Regeln für die Benutzung unserer Foren
Außerdem ist das nicht dein Ansatz, sondern der von Schachuzipus in diesem Thema.
Darüber hinaus hast du es hier noch einmal probiert.
Das ist nun dein drittes mal!
Betrachte die Folge [mm] a_n:=n^{\frac{1}{\sqrt{n}}}.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $a_n\longrightarrow [/mm] 1$, [mm] n\to\infty
[/mm]
Beschränktheit der Folge
Es existiert ein [mm] M\in\IR, [/mm] sodass [mm] $a_n\ge [/mm] M$
(Angabe von $M$ sollte mit Begründung ausreichen).
Monotonie der Folge
Es existiert ein [mm] N\in\IN, [/mm] sodass [mm] a_n\ge a_{n+1} [/mm] für alle $n>N$.
(Beweis mit vollständiger Induktion oder sehr gute Begründung)
Daraus folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=:a [/mm] existiert!
Daraus folgt:
Jede Teilfolge [mm] (a_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] konvergiert auch gegen $a$.
Jetzt nimmst du eine Teilfolge und zeigst, dass diese gegen $1$ konvergiert.
Tipp: Nimm eine, die die Wurzel wegfallen lässt 
Gruß
DieAcht
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okay danke. eine Teilfolge wäre doch z.B [mm] \frac{1}{n^{0,5}} [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 So 12.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> okay danke. eine Teilfolge wäre doch z.B [mm]\frac{1}{n^{0,5}}[/mm]
> oder?
Quatsch !
Nimm mal [mm] a_{n^2}
[/mm]
FRED
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Hey
dann erhalte ich ja:
[mm] \frac{1}{n^{2n}} [/mm] oder?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 So 12.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> dann erhalte ich ja:
> [mm]\frac{1}{n^{2n}}[/mm] oder?
Nein.
FRED
>
> Danke!
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wenn ich die Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n^{\wurzel{n}}} [/mm] habe und da nun [mm] n^2 [/mm] einsetze erhalte ich aber:
[mm] a_{n^2}= \frac{1}{(n^2)^{\wurzel{n^2}}}=\frac{1}{n^2^{n}}=\frac{1}{n^{2n}} [/mm]
wo steckt denn der Fehler?
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Hallo,
seit wann ist
[mm] \wurzel{n^2}=2n
[/mm]
???
GRuß, Diophant
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hey
gar nicht. aber 2* [mm] \wurzel{n^2} [/mm] ist doch 2n
ich muss doch schließlich auch für das n in der Basis [mm] n^2 [/mm] einsetzen oder?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 So 12.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein [mm] a_n [/mm] war doch nicht [mm] n^{\sqrt{n}}???
[/mm]
Gruß leduart
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doch, mein [mm] a_{n} [/mm] war doch [mm] \frac{1}{n^{\wurzel{n}}}
[/mm]
und wenn ich nun dort einsetzte erhalte ich den von mir angegebenen Wert :-(
Die Acht hat die Folge [mm] a_{n} [/mm] doch genau so bezeichnet
Was meint ihr denn?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 So 12.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> doch, mein [mm]a_{n}[/mm] war doch [mm]\frac{1}{n^{\wurzel{n}}}[/mm]
> und wenn ich nun dort einsetzte erhalte ich den von mir
> angegebenen Wert :-(
> Die Acht hat die Folge [mm]a_{n}[/mm] doch genau so bezeichnet
> Was meint ihr denn?
Das ist doch Quark!
Ich habe geschrieben:
[mm] a_n:=n^{\frac{1}{\sqrt{n}}}
[/mm]
Lies doch mal den gesamten Thread nochmal.
Es wurde eigentlich alles gesagt!
>
>
> LG
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 So 12.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
hast du den Überblick über deine eigene Aufgabe verloren?
DieAcht
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Hey
eine Frage habe ich noch:
Ich will die Monotonie der Folge [mm] a_{n^2} [/mm] nachweisen. Dazu muss ich ja zeigen das [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] also auch [mm] a_{n+1}/a_{n} [/mm] < 1
wenn ich nun die Folge [mm] a_{n^2}=n^{2/n} [/mm] habe und einsetze erhalte ich
[mm] \frac{n^{2/n+2}}{n^{2/n}} [/mm]
wie kann man an dieser Stelle kürzen um die strenge Monotonie der Folge nachzuweisen?
LG
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Hallo rosapanther,
etwas mehr Sorgfalt, bitte.
> Hey
> eine Frage habe ich noch:
> Ich will die Monotonie der Folge [mm]a_{n^2}[/mm] nachweisen. Dazu
> muss ich ja zeigen das [mm]a_{n+1}[/mm] < [mm]a_{n}[/mm] also auch
> [mm]a_{n+1}/a_{n}[/mm] < 1
Ja, ok.
> wenn ich nun die Folge [mm]a_{n^2}=n^{2/n}[/mm] habe und einsetze
> erhalte ich
> [mm]\frac{n^{2/n+2}}{n^{2/n}}[/mm]
Das erhältst Du nicht, sondern [mm] \bruch{(n+1)^{2/(n+1)}}{n^{2/n}}
[/mm]
> wie kann man an dieser Stelle kürzen um die strenge
> Monotonie der Folge nachzuweisen?
Kürzen geht nicht. Da wirst Du Dir etwas anderes einfallen lassen müssen, z.B. den Nachweis einer Deiner beiden Ungleichungen oben.
Grüße
reverend
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aber die Acht schrieb doch, ich sollte dies entweder durch Induktion oder eine gute Begründung nachweisen. Induktion funktioniert ja hier nicht leider. Wie kann ich dieses Dilemma dann lösen um die Monotonie von [mm] a_{n^2} [/mm] nachzuweisen?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mo 13.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> aber die Acht schrieb doch, ich sollte dies entweder durch
> Induktion oder eine gute Begründung nachweisen. Induktion
> funktioniert ja hier nicht leider. Wie kann ich dieses
> Dilemma dann lösen um die Monotonie von [mm]a_{n^2}[/mm]
> nachzuweisen?
Ich frage mich ob du wirklich alles richtig liest.
[mm] a_{n^2} [/mm] brauchst du erst am Ende!
[mm] a_n:=n^{\frac{1}{\sqrt{n}}}
[/mm]
Zu zeigen:
Es existiert ein [mm] N\in\IN, [/mm] sodass [mm] a_n\ge a_{n+1} [/mm] für alle $n>N$
Wieso funktioniert denn Induktion nicht?
Es ist nur umständlich.
Mit Begründung meine ich eigentlich die Abschätzung direkt zu zeigen.
>
> Grüße
DieAcht
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?? aber wenn ich zeige das [mm] (n+1)^{1/\wurzel{n+1}} [/mm] größer ist als [mm] n^{\wurzel{n}} [/mm] dann widerspricht das doch genau dem was du mir gestern mitgeteil hast, nämlich dass N [mm] \in \IN [/mm] existiert mit [mm] a_{n} \ge a_{n+1} [/mm]
ohhhhh:-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mo 13.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> ?? aber wenn ich zeige das [mm](n+1)^{1/\wurzel{n+1}}[/mm] größer
> ist als [mm]n^{\wurzel{n}}[/mm] dann widerspricht das doch genau dem
> was du mir gestern mitgeteil hast, nämlich dass N [mm]\in \IN[/mm]
> existiert mit [mm]a_{n} \ge a_{n+1}[/mm]
> ohhhhh:-(
Ja, das war ein Tippfehler, sorry.
Du sollst einfach nur zeigen, dass [mm] a_n:=n^{\frac{1}{\sqrt{n}}} [/mm] monoton fällt und beschränkt ist.
DieAcht
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ja. Beschränktheit bekomme ich hin.
bei der Monotonie hänge ich hier:
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] (n+1)^{1/{wurzel{n+1}}} \le (n+1)^{1/\wurzel{n}} \le [/mm] ..
ich weiß nicht genau wie ich von der Basis n+1 auf n schließen soll :-(
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Di 14.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> bei der Monotonie hänge ich hier:
> ich weiß nicht genau wie ich von der Basis n+1 auf n schließen soll :-(
[mm] a_n:=n^{\frac{1}{\sqrt{n}}}
[/mm]
Zunächst einmal existiert in der Tat ein [mm] $N=7\in\IN$, [/mm] sodass folgendes gilt:
[mm] a_{n+1}\le a_n [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$
Auf Anhieb fällt mir auch keine elegante Lösung ein,
denn auf bestimmte Abschätzungen muss man hier verzichten,
da der Abstand der Funktionswerte immer kleiner wird - formal gilt:
[mm] |a_{n+1}-a_n|\longrightarrow0,n\to\infty
[/mm]
Wenn du zum Beispiel die Bernoulli-Ungleichung für
reelle Exponenten mit $x>-1$ verwenden willst,
dann wirst du schnell feststellen, dass die Abschätzung zu "grob" ist.
Probieren wir uns doch selber eine gute Abschätzung zu basteln!
Es gilt nach der Binomischen Reihe:
[mm] a_{n+1}=(n+1)^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}=\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{\frac{1}{\sqrt{n+1}} \\ k}n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}-k}1^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{\frac{1}{\sqrt{n+1}} \\ k}n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}-k}=
[/mm]
[mm] =n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}-1}+\frac{1}{2!}(\frac{1}{\sqrt{n+1}}-1)(\frac{1}{\sqrt{n+1}})n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2}+\ldots
[/mm]
Außerdem gilt $n>0$ und [mm] |\frac{1}{n}|<1 [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] sodass unsere Reihe konvergiert.
Jetzt haben wir schonmal das $n+1$ weg und noch nicht abgeschätzt!
Beim scharfen Hinsehen wird klar, dass für die Folgenglieder [mm] $k\ge2$ [/mm] etwas passiert (was?) !
Begründe, dass folgendes gilt:
[mm] \frac{1}{\sqrt{n+1}}n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}-1}+\frac{1}{2!}(\frac{1}{\sqrt{n+1}}-1)(\frac{1}{\sqrt{n+1}})n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2}+\ldots\le n^\frac{1}{\sqrt{n}}-n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}
[/mm]
Dann folgt:
[mm] a_{n+1}=\ldots\le n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}+n^\frac{1}{\sqrt{n}}-n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}\le n^\frac{1}{\sqrt{n}}=a_n [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$
>
> LG
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 So 12.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo rosa Raubkatze,
so geht das hier nicht. Dich scheinen unsere Forenregeln bisher nicht so tangiert zu haben? Sie besagen unter anderem, dass Doppelpostings unerwünscht sind und wenn man sich mit ihrem Sinn und Zweck einb wenig beschäftigt, so geht auch daraus hervor, dass Fragen nicht einfach nachträglich wieder gelöscht werden sollen.
Ich habe deine obige Frage wiederhergestellt und möchte dich bitten, vor der Weiterarbeit in diesem Forum erst einmal seine Regeln zu studieren und dann auch zu beherzigen.
Gruß, Diophant
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tut mir leid. das ist mir alle nicht so vertraut hier. Selbstverständliche habe ich deine Antwort zur Kenntnis genommen und umgesetzt
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