Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 So 12.07.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
[mm] \summe_{}^{}\bruch{x^{n}}{2^{\wurzel{n}}} [/mm] |
Ich bin etwas verwirrt:
die Form für den Konvergenzradius sieht ja so aus:
[mm] \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n [/mm]
[mm] r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| [/mm]
In meinem Beispiel wäre dann doch daher [mm] x^{n} [/mm] die funktion und [mm] 1/2^{\wurzel{n}} [/mm] die Folge oder?
um dann den KOnvergenz radius rauszubekommen bräuchte ich ja dann nur das 2 hoch wurzel mit entweder dem wurzelkriterium oder dem quotientenkriterium zu lösen oder?
bei mir kommt da irgendwie nur mist heraus,
muss ich eine andere methode anwenden? oder stimmt etwas an meiner grundidee nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 So 12.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
> [mm]\summe_{}^{}\bruch{x^{n}}{2^{\wurzel{n}}}[/mm]
> Ich bin etwas verwirrt:
> die Form für den Konvergenzradius sieht ja so aus:
>
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n[/mm]
>
> [mm]r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|[/mm]
>
> In meinem Beispiel wäre dann doch daher [mm]x^{n}[/mm] die funktion
> und [mm]1/2^{\wurzel{n}}[/mm] die Folge oder?
Hallo,
was soll das mit "Funktion" und "Folge"???
Wenn du meinst, du solltest den Konvergenzradius mit [mm]r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|[/mm] berechnen - warum tust du es dann nicht?
Voraussetzung wären natürlich solide mathematische Kenntnisse aus den Klassen 6 bis 9, denn du müsstest den Doppelbruch
[mm] \frac{\bruch{x^{n}}{2^{\wurzel{n}}}}{\bruch{x^{n+1}}{2^{\wurzel{n+1}}}} [/mm] vereinfachen.
Gruß Abakus
>
> um dann den KOnvergenz radius rauszubekommen bräuchte ich
> ja dann nur das 2 hoch wurzel mit entweder dem
> wurzelkriterium oder dem quotientenkriterium zu lösen
> oder?
>
> bei mir kommt da irgendwie nur mist heraus,
>
> muss ich eine andere methode anwenden? oder stimmt etwas an
> meiner grundidee nicht?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo Katja,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
> [mm]\summe_{}^{}\bruch{x^{n}}{2^{\wurzel{n}}}[/mm]
> Ich bin etwas verwirrt:
> die Form für den Konvergenzradius sieht ja so aus:
>
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n[/mm]
>
> [mm]r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|[/mm]
>
> In meinem Beispiel wäre dann doch daher [mm]x^{n}[/mm] die funktion
> und [mm]1/2^{\wurzel{n}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
die Folge oder?
>
> um dann den KOnvergenz radius rauszubekommen bräuchte ich
> ja dann nur das 2 hoch wurzel mit entweder dem
> wurzelkriterium oder dem quotientenkriterium zu lösen
> oder?
Hmm, das ist ja abenteuerlich formuliert, aber ich denke, du meinst das Richtige
Du hast eine Potenzreihe $\sum\frac{1}{2^{\sqrt{n}}}\cdot{}x^n$
Hier empfiehlt es sich m.E., das Kriterium von Cauchy-Hadamard (angelehnt an das WK) zu verwenden
Berechne $\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{2^{\sqrt{n}}}\right|}$
Dann hast du mit Gewissheit Konvergenz für $|x|<\rho$ ...
>
> bei mir kommt da irgendwie nur mist heraus,
>
> muss ich eine andere methode anwenden? oder stimmt etwas an
> meiner grundidee nicht?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Mo 13.07.2009 | | Autor: | katjap |
danke, genau das hatte ich gemeint.
ich wusste eben nicht ob man das [mm] x^{n} [/mm] dann mit unter die wurzel nimmt oder nicht.
aber demnach: ohne [mm] x^{n} [/mm] wie es auch in der definition steht
|
|
|
|
