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| Aufgabe | | Beweise: Die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} [/mm] habe den Konvergenzradius R. Dann gilt: Die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_{n}}{n+1}x^{n+1} [/mm] hat ebenfalls Konvergenzradius R. |
Hallo Leute!
Ich bin wie folgt an die Lösung des Problems gegangen: Ich habe den Limes von [mm] \wurzel[n]{\bruch{a_{n}}{n+1}} [/mm] betrachtet. Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n+1}=1 [/mm] ist, wäre ich eigentlich schon fast fertig, nur habe ich noch folgendes Problem: In der Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_{n}}{n+1}x^{n+1} [/mm] kommt ja [mm] x^{n+1} [/mm] vor (und nicht [mm] x^{n}). [/mm] Daher bin ich mir nicht sicher, ob ich die Formel zur Berechnung des Konvergenzradius, also R = [mm] \bruch{1}{lim sup \wurzel[n]{|a_{n}|}} [/mm] verwenden darf, so wie ich das im Beweis gemacht habe... es ist ja irgendwie naheliegend, dass eine Reihe mit [mm] x^{n} [/mm] dasselbe Konvergenzverhalten haben muss wie eine mit [mm] x^{n+1}, [/mm] man könnte ja vielleicht [mm] x^{n+1} [/mm] in [mm] x^{n}*x [/mm] aufteilen, und das x wäre dann ein "konstanter Faktor". Alternativ könnte man sich vielleicht sogar schon im Beweis des Konvergenzsatzes für Potenzreihen (= die oben zitierte Formel für R) überlegen, dass es egal ist, ob man [mm] x^{n} [/mm] oder [mm] x^{n+1} [/mm] verwendet. Aber andererseits bin ich mir irgendwie nicht ganz sicher, ob man das [mm] x^{n+1} [/mm] tatsächlich wie oben beschrieben zerlegen und x als "konstanten Faktor" auffassen darf... vielleicht habe ich auch zu viel Respekt vor dem x, ich weiß es nicht...  Aber irgendwie sieht die Beweisidee ja nicht schlecht aus, nur bei der genauen Argumentation mit dem [mm] x^{n+1} [/mm] bin ich mir eben noch nicht ganz sicher.
danke im Voraus für eure Hilfe,
lg Georg
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Hallo Georg!
Dein Ansatz mit [mm] $x^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] x*x^n$ [/mm] ist sehr gut. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Fr 18.06.2010 | | Autor: | zim_georg |
Hallo Roadrunner!
Danke für deine Antwort, dann war ich also doch auf dem richtigen Weg
lg
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