matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenzradius Potenzreihen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius Potenzreihen
Konvergenzradius Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzradius Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 Mo 05.05.2014
Autor: xyz3

Aufgabe
Geben Sie für die folgenden Potenzreihen die Koeffizienten [mm] a_{j} [/mm] und den Entwicklungspunkt [mm] Z_{0} [/mm] für die Darstellung in der Form [mm] \summe_{j=0}^{\infty}a_{j}(z-z_{0})^j [/mm] an. Bestimmen Sie den Konvergenzradius. Geben Sie an, für welche z [mm] \in \IR [/mm] die Reihen konvergieren:

a)  [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(-nz)^n(\bruch{z}{n})^{n+1} [/mm]

Wie muss ich die Reihe umformen, damit ich auf die geforderte Form komme?
Ich komme nur auf [mm] \summe_{j=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}z^{2n+1} [/mm]

Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Mo 05.05.2014
Autor: Richie1401

Servus!

> Geben Sie für die folgenden Potenzreihen die Koeffizienten
> [mm]a_{j}[/mm] und den Entwicklungspunkt [mm]Z_{0}[/mm] für die Darstellung
> in der Form [mm]\summe_{j=0}^{\infty}a_{j}(z-z_{0})^j[/mm] an.


> welche z [mm]\in \IR[/mm] die Reihen konvergieren:
>  
> a)  [mm]\summe_{j=0}^{\infty}(-nz)^n(\bruch{z}{n})^{n+1}[/mm]

Ich nehme mal an, dass es [mm] \sum_{n=0}^\infty(-nz)^n(\bruch{z}{n})^{n+1} [/mm] heißen soll. (also anderer Summationsindex).

> Bestimmen Sie den Konvergenzradius. Geben Sie an, für
>  Wie muss ich die Reihe umformen, damit ich auf die
> geforderte Form komme?
>  Ich komme nur auf
> [mm]\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}z^{2n+1}[/mm]

Wie kommst du denn darauf? Und warum bist du dir unsicher mit der Lösung?

Eigentlich hast du schon die korrekte Form. Du siehst dass jeweils die geraden Exponenten von z gar nicht berücksichtigt werden. Du kannst also auch sagen, dass [mm] a_{2n}=0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm]

Nun ist eben nur noch interessant, was denn die [mm] a_{2n+1} [/mm] sind.

>  
> Vielen Dank im Voraus


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Mo 05.05.2014
Autor: xyz3

Wieso gilt [mm] a_{2n+1}=0 [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Mo 05.05.2014
Autor: Richie1401

Vergleichen wir mal die Reihen

   [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}z^{2n+1} [/mm]

mit

   [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^n [/mm]

Werte das also in den Potenzen von $z$ aus.

Also, zunächst ist [mm] z_0=0, [/mm] wie man leicht sieht.

Jetzt die Auswertung:
[mm] z^1: a_1=\frac{(-1)^1}{1}=-1 [/mm]
[mm] z^2: a_2=0 [/mm]
[mm] z^3: a_3=\frac{(-1)^2}{2}=\frac{1}{2} [/mm]
...


Sehe gerade, dass ich oben die Idizes vertauscht habe. Sorry. Ich ändere das noch fix.
Also alle [mm] a_{2n} [/mm] sind Null.

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 Mo 05.05.2014
Autor: xyz3

für [mm] a_{ 3} [/mm] komme ich auf [mm] \bruch{(-1)^3}{3} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Mo 05.05.2014
Autor: leduart

Hallo
ist das wirklich deine Reihe? für n=0 bzw j=0 ist ja ser Joeffizient nicht definiert? kann es sein, dass die Summe bei 1 anfängt?
Gruß leduart

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:36 Mo 05.05.2014
Autor: xyz3

ja die summe beginnt bei j=1.
Ich verstehe aber immer noch nicht, was jetzt das [mm] z_{0} [/mm] ist?

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:03 Di 06.05.2014
Autor: fred97


> ja die summe beginnt bei j=1.
>  Ich verstehe aber immer noch nicht, was jetzt das [mm]z_{0}[/mm]
> ist?


Wir haben:

   $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}z^{2n+1} [/mm] $

Die allgemeine Form lautet:

  

   $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n} [/mm] $

Ein Vergleich zeigt:

[mm] a_{2n}=0, a_{2n+1}=\bruch{(-1)^n}{n} [/mm] und [mm] z_0=0. [/mm]

FRED


Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:09 Di 06.05.2014
Autor: Richie1401

Hi,

wenn du [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}z^{2n+1} [/mm] hast, dann ist das doch das gleiche wie

   [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}(z+0)^{2n+1} [/mm]

Also ist dein [mm] z_0=0. [/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]