Konvergenzradius bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Di 31.12.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Geben Sie den Konvergenzradius an und untersuchen Sie auf Konvergenz am Rand.
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n*(3+2x)^n}{(n^2-1)*5^(n+1)} [/mm] |
Hi zusammen,
es gilt ja folgendes:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} [/mm] an * (x - [mm] x0)^n
[/mm]
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{an}{an+1}|
[/mm]
Ist an = [mm] \bruch{n}{(n^2-1)*5^(n+1)} [/mm] ?
Oder wie kann ich an auch in Zukunft genau bestimmen ?
Ich sollte dazu sagen das ich eine solche Aufgabe noch nie gerechnet habe.
Ist mein Ansatz richtig?
Und könnt ihr mir ein paar Tipps zu solchen Aufgaben geben?
Danke für eure Hilfe im voraus
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Hallo,
> Geben Sie den Konvergenzradius an und untersuchen Sie auf
> Konvergenz am Rand.
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n*(3+2x)^n}{(n^2-1)*5^(n+1)}[/mm]
>
> Hi zusammen,
>
> es gilt ja folgendes:
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}[/mm] an * (x - [mm]x0)^n[/mm]
> r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{an}{an+1}|[/mm]
>
Sicherlich meinst du das so:
[mm] r=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|
[/mm]
> Ist an = [mm]\bruch{n}{(n^2-1)*5^(n+1)}[/mm] ?
> Oder wie kann ich an auch in Zukunft genau bestimmen ?
>
Nein, da steckt eine kleine Falle drin in Form der 2x. Du könntest den Konvergenzradius für eine Variable u=2x auf die o.g. Art und Weise bestimmen. Um den Radius für x zu erhalten, musst du dir überlegen, was mit diesem Radius bei der Rücksubstitution passiert.
> Ich sollte dazu sagen das ich eine solche Aufgabe noch nie
> gerechnet habe.
Das sind doch in der Mathematik die spannendsten Aufgaben. 
Gruß & gutes neues Jahr 2014, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Di 31.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich habe eine ganz gute Folie der TU Dresden gefunden und hoffe auf dem richtigen weg zu sein.
Ich habe die 2 im Zähler ausgeklammert.
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2n * (x + \bruch{3}{2})^n}{(n^2 -1)*5^(n+1)}
[/mm]
Ist [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2n}{(n^2 - 1) * 5^(n+1)} [/mm] ?
Und ist [mm] x_0 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] ?
Kann ich nun das Quotientenkriterium anwenden um den Radius zu bekommen?
Dann bestimme ich die Randpunkte x = [mm] x_0 [/mm] + r & x = [mm] x_0 [/mm] - r
Die x-Werte setze ich die Reihe ein und kann dann bestimmen ob die Reihen den x-Werte konvergieren oder divergieren.
Ist mein Ansatz einigermaßen richtig ?
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Hallo Bindl,
> Hi,
> ich habe eine ganz gute Folie der TU Dresden gefunden und
> hoffe auf dem richtigen weg zu sein.
> Ich habe die 2 im Zähler ausgeklammert.
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2n * (x + \bruch{3}{2})^n}{(n^2 -1)*5^(n+1)}[/mm]
>
> Ist [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{2n}{(n^2 - 1) * 5^(n+1)}[/mm] ?
Ja.
> Und ist [mm]x_0[/mm] = [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] ?
>
Ebenfalls ja.
> Kann ich nun das Quotientenkriterium anwenden um den Radius
> zu bekommen?
Ja.
> Dann bestimme ich die Randpunkte x = [mm]x_0[/mm] + r & x = [mm]x_0[/mm] -
> r
> Die x-Werte setze ich die Reihe ein und kann dann
> bestimmen ob die Reihen den x-Werte konvergieren oder
> divergieren.
>
Richtig.
> Ist mein Ansatz einigermaßen richtig ?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Do 02.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für den Hinweis.
Wende ich nun besser das Wurzelkriterium an oder das Quotientenkriterium an?
Ich muss dazu sagen das ich große Probleme habe den Grenzwert zu berechnen.
Vllt könnte mir hier jemand den ersten oder besser die ersten beiden Schritte zeigen. Gerade mit einer Potenz n+1 habe ich große Probleme.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Do 02.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich habe mal das Wurzelkriterium angewendet. Zum mindest habe ich es versucht.
[mm] \wurzel[n]{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\bruch{n*2^n}{(n^2-1)*5^(n+1)}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1*2}{1*5} [/mm] = [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
Ist die [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] für [mm] n->\infty [/mm] = 1 ?
Kann ich für [mm] \wurzel[n]{(n^2-1)} [/mm] = 1 schreiben ?
Und ist [mm] \wurzel[n]{5^(n+1)} [/mm] = 5 ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Do 02.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
also habe ich mal versucht deinen Tipp zu beachten bzw. es zu berechnen.
[mm] \bruch{n*2^n}{(n^2-1)*5^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{((n+1)^2-1)*5^{n+2}}{(n+1)*2^{n+1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{n*2^n}{(n^2-1)*5^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{(n^2+2n)*5^{n+2}}{(n+1)*2^{n+1}}
[/mm]
Ich weiß hier nicht weiter. Also ich habe keine wirkliche Ahnung wie ich zu kürzen, usw.
Kann mir das jemand zeigen wie ich vorzugehen habe?
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Hallo nochmal,
> Hi,
>
> also habe ich mal versucht deinen Tipp zu beachten bzw. es
> zu berechnen.
Naja, du warst ja mit dem WK auf dem richtigen Weg, ahst das ur verwurschtelt ...
>
> [mm]\bruch{n*2^n}{(n^2-1)*5^{n+1}}[/mm] * [mm]\bruch{((n+1)^2-1)*5^{n+2}}{(n+1)*2^{n+1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{n*2^n}{(n^2-1)*5^{n+1}}[/mm] * [mm]\bruch{(n^2+2n)*5^{n+2}}{(n+1)*2^{n+1}}[/mm]
>
> Ich weiß hier nicht weiter. Also ich habe keine wirkliche
> Ahnung wie ich zu kürzen, usw.
> Kann mir das jemand zeigen wie ich vorzugehen habe?
Sortiere um:
[mm]=\frac{n}{n+1}\cdot{}\frac{n^2+2n}{n^2-1}\cdot{}\frac{2^n}{2^{n+1}}\cdot{}\frac{5^{n+2}}{5^{n+1}}[/mm]
Bei den letzten beiden Brüchen helfen Potenzgesetze.
Bestimme nun von jedem Bruch das Verhalten für [mm]n\to\infty[/mm] ...
Da alle konvergieren, konnte man das so schön trennen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Do 02.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
also hier meine Lösung
[mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} [/mm] * [mm] \bruch{1+\bruch{2}{n}}{1-\bruch{1}{n^2}} [/mm] * [mm] 2^{-1} [/mm] * 5 [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 * 1 * * [mm] 2^{-1} [/mm] * 5 = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
Ich habe mir die Potenzgesetze angesehen und habe die letzten beiden Brüche folgendermaßne berechnet:
n - (n+1) = -1, also [mm] 2^{-1}
[/mm]
n+2 - (2+1) = 1, also 5
Ist das soweit richtig ?
Jetzt habe ich wohl auch verstanden wieso mein Ansatz beim Wurzelkriterium nicht ganz falsch war. Ich habe nur nicht 1 durch Wurzelkriterium gerechnet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 02.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
also berechne ich jetzt die x Werte.
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{-3}{2} [/mm] + [mm] \bruch{5}{2} [/mm] = 1
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{-3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{-5}{2} [/mm] = -4
Jetzt setze ich die Werte in die ursprüngliche Reihe ein.
für [mm] x_1 [/mm] : [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n*5^n}{(n^2-1)*5^{n+1}}
[/mm]
Mit Wurzelkriterium bekomme ich 1
für [mm] x_2 [/mm] : [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n*-5^n}{(n^2-1)*5^{n+1}}
[/mm]
Mit Wurzelkriterium bekomme ich -1
Also habe ich den Konervgenzbereich in folgenden Intervall:
[-4,1] = {x [mm] \in \IR [/mm] | -4 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1}
Ist das richtig ?
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Hallo nochmal,
> Hi,
> also berechne ich jetzt die x Werte.
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{-3}{2}[/mm] + [mm]\bruch{5}{2}[/mm] = 1
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{-3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{-5}{2}[/mm] = -4
Ja, das sind die Ränder des Konvergenzintervalls
>
> Jetzt setze ich die Werte in die ursprüngliche Reihe ein.
> für [mm]x_1[/mm] : [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n*5^n}{(n^2-1)*5^{n+1}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Mit Wurzelkriterium bekomme ich 1
Das nützt die nix. Damit kannst du bzgl. Konvergenz oder Divergenz nix sagen ...
Fasse zusammen:
[mm]=\frac{1}{5}\sum\limits_{n\ge 2}\frac{n}{n^2-1}[/mm]
Und das ist doch von der Größenordnung der harmonischen Reihe. Hier liegt also Divergenz vor.
Finde also eine divergente Minorante zu deiner Reihe.
> für [mm]x_2[/mm] : [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n*-5^n}{(n^2-1)*5^{n+1}}[/mm]
Um die 5 im Zähler muss ne Klammmer!
> Mit Wurzelkriterium bekomme ich -1
Wie soll das gehen?
Zu berechnen ist [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}[/mm]
Wie soll das je [mm]<0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sein?
Wende mal die Potenzgesetze an und befrage Hr. Leibniz
>
> Also habe ich den Konervgenzbereich in folgenden
> Intervall:
> [-4,1] = {x [mm]\in \IR[/mm] | -4 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}
>
> Ist das richtig ?
Nein!
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
> Hi,
>
> ich habe mal das Wurzelkriterium angewendet. Zum mindest
> habe ich es versucht.
>
> [mm]\wurzel[n]{n}[/mm]
Hier muss [mm]\sqrt[n]{|a_n|}[/mm] stehen
> = [mm]\wurzel[n]{\bruch{n*2^n}{(n^2-1)*5^(n+1)}}[/mm]
> =
Dieses "=" ist falsch, es muss ein [mm]\longrightarrow[/mm] dahin, du lässt ja [mm]n\to\infty[/mm] gehen.
> [mm]\bruch{1*2}{1*5}[/mm] = [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
Das ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}[/mm]
>
> Ist die [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] für [mm]n->\infty[/mm] = 1 ?
> Kann ich für [mm]\wurzel[n]{(n^2-1)}[/mm] = 1 schreiben ?
> Und ist [mm]\wurzel[n]{5^(n+1)}[/mm] = 5 ?
Jo!
Beachte nun den Hinweis von "die Acht", dass der Konvergenzradius genau der Kehrwert von [mm]\frac{2}{5}[/mm], also [mm]\frac{5}{2}[/mm] ist.
Für welche x hat man nun Konvergenz?
Wie sieht es am Rand aus?
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Do 02.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hi,
>
> danke für den Hinweis.
> Wende ich nun besser das Wurzelkriterium an oder das
> Quotientenkriterium an?
Du sollst hier den Konvergenzradius ermitteln.
Das hat nur indirekt etwas mit dem Wurzel- und Quotientenkriterium zu tun.
>
> Ich muss dazu sagen das ich große Probleme habe den
> Grenzwert zu berechnen.
>
> Vllt könnte mir hier jemand den ersten oder besser die
> ersten beiden Schritte zeigen. Gerade mit einer Potenz n+1
> habe ich große Probleme.
Gruß
DieAcht
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Hallo,
> Hi,
> ich habe eine ganz gute Folie der TU Dresden gefunden und
> hoffe auf dem richtigen weg zu sein.
> Ich habe die 2 im Zähler ausgeklammert.
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2n * (x + \bruch{3}{2})^n}{(n^2 -1)*5^(n+1)}[/mm]
>
Ich halte das ist im Unterschied zu meinen Vorrednern nicht für richtig. Die 2 müsste als [mm] 2^n [/mm] draußen ankommen, und dies hat Einfluss auf den Konvergenzradius!
Will sagen: das kann man so machen, aber wie gesagt, dann muss man richtig faktorisieren.
PS: ich sehe gerade, das wurde schon moniert. Dann ist jetzt Schluss mit der Mathematik, aber nur für dieses Jahr. 
Gruß, Diophant
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Der Term hinter dem Summenzeichen muss lauten:
