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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius p der Potenzreihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{5n^2}{2^{3n}}x^n
[/mm]
Wenden Sie die Formel von Cauchy-Hadamard an.
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Hallo liebe Matheraum Community.
Ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe.
Ich habe die Formel von Hadamard aus diesem Forum genommen
[mm] \bruch{1}{\limes \sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a^n|}}
[/mm]
und passend umformuliert:
[mm] \bruch{1}{\limes \sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|(-1)^n\bruch{5n^2}{2^{3n}}|}}
[/mm]
Das (-1) ist ja dann überflüssig, da es durch die Betragsstriche eh positiv wird, oder?
Also:
[mm] \bruch{1}{\limes \sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{5n^2}{2^{3n}}|}}
[/mm]
D.h. ich brauche nur noch den Nenner ausrechnen:
[mm] \limes \sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{5n^2}{2^{3n}}|}
[/mm]
Kann mir jemand erklären, wie ich das mache? Ich bekomme es einfach nicht hin.
Oder ist meine Herangehensweise komplett Falsch?
Danke für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Phecda |
hi
prinzipiel müsste diese aufgabe mit cauchy-hadamard gehen, so wie du es angefangen hast.
bei solchen aufgaben verwende ich lieber euler's quotientenregel
R = 1/q mit q = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
[/mm]
wenn du q berechnest kommst du auf 1/8
dass heißt für |x| < 8 konvergiert deine potenzreihe absolut
versuche es mit dem quotientenkriterium
mfg
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> Bestimmen Sie den Konvergenzradius p der Potenzreihe
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{5n^2}{2^{3n}}x^n[/mm]
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> Wenden Sie die Formel von Cauchy-Hadamard an.
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> Hallo liebe Matheraum Community.
Hey!!
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> Ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe.
>
> Ich habe die Formel von Hadamard aus diesem Forum genommen
>
> [mm]\bruch{1}{\limes \sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a^n|}}[/mm]
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> und passend umformuliert:
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> [mm]\bruch{1}{\limes \sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|(-1)^n\bruch{5n^2}{2^{3n}}|}}[/mm]
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> Das (-1) ist ja dann überflüssig, da es durch die
> Betragsstriche eh positiv wird, oder?
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> Also:
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> [mm]\bruch{1}{\limes \sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{5n^2}{2^{3n}}|}}[/mm]
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> D.h. ich brauche nur noch den Nenner ausrechnen:
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> [mm]\limes \sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{5n^2}{2^{3n}}|}[/mm]
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> Kann mir jemand erklären, wie ich das mache? Ich bekomme es
> einfach nicht hin.
>
Es ist ja:
[mm] \limes \sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{5n^2}{2^{3n}}|}
[/mm]
= [mm] \limes \sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{5n^2}{2^{{3}^{n}}}|}
[/mm]
= [mm] \limes \sup_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\wurzel[n]{5n^2}}{2^{3}}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{\limes \sup_{n\rightarrow\infty}{\wurzel[n]{5n^2}}}{2^{3}}|
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{8}
[/mm]
> Oder ist meine Herangehensweise komplett Falsch?
>
> Danke für Eure Hilfe!
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Gruß Patrick
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Vielen Dank für die Hilfe!
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