Konvergenzradius bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 So 12.05.2013 | | Autor: | Bagci |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{\infty}=\bruch{k^k}{k!} x^k [/mm] |
Hi Leute,
hab leider nen Riesenproblem mit dieser Aufgabe, ich soll hiervon den Konvergenzradius bestimmen und stehe leider komplett auf dem Schlauch...
Was ich bisher wohl weiß ist das ein "Bruch" als Ergbenis rauskommt und:
Das hier sollte mein [mm] a_k [/mm] := [mm] (k^k)/k! [/mm] sein
jetzt sollte ich glaub den Konvergenzradius so berechnen können oder?
lim (k->oo) [mm] |a_k [/mm] / a_(k+1) |
aber weiß leider gerade null wie ich da Vorgehen soll und auch keine Ahnung wie mir da Maple weiterhelfen kann.
Das ist die letzte Aufgabe in einem Test den ich für die Prüfungszulassung in Analysis2 brauche, aber komme leider nicht vorwärts und bräuchte heute noch die Antwort, da heute die Deadline dafür ist-.-
Hoffe hier kann mir jemand konkret helfen so dass ich evtl. sogar den Vorgang verstehe.
Mfg
K. Bagci
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}=\bruch{k^k}{k!} x^k[/mm]
> Hi Leute,
>
> hab leider nen Riesenproblem mit dieser Aufgabe, ich soll
> hiervon den Konvergenzradius bestimmen und stehe leider
> komplett auf dem Schlauch...
>
> Was ich bisher wohl weiß ist das ein "Bruch" als Ergbenis
> rauskommt und:
>
> Das hier sollte mein [mm]a_k[/mm] := [mm](k^k)/k![/mm] sein
>
> jetzt sollte ich glaub den Konvergenzradius so berechnen
> können oder?
>
> lim (k->oo) [mm]|a_k[/mm] / a_(k+1) |
Ja, das ist hier eine gute Idee. Es ist
[mm] \bruch{a_k}{a_{k+1}}=\bruch{\bruch{k^k}{k!}}{\bruch{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}}
[/mm]
und das kann man gewaltig vereinfachen. Zusammen mit einem bekannten Grenzwert rund um die e-Funktion kommt man so schnell zum Ziel.
> aber weiß leider gerade null wie ich da Vorgehen soll und
> auch keine Ahnung wie mir da Maple weiterhelfen kann.
>
> Das ist die letzte Aufgabe in einem Test den ich für die
> Prüfungszulassung in Analysis2 brauche, aber komme leider
> nicht vorwärts und bräuchte heute noch die Antwort, da
> heute die Deadline dafür ist-.-
Ganz ehrlich, und nicht irgendwie abwertend gemeint: das ist eigentlich dein Problem, es hilft nichts zur sachlichen Klärung und deshalb sollte man (auch wenn es schwerfällt) solche Probleme außen vor lassen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 So 12.05.2013 | | Autor: | Bagci |
Hallo Diophant,
erstmal danke für deine Hilfestellung.
Habe es nun mal soweit vereinfacht:
[mm] \bruch{k^k(k+1)!}{k!(k+1)^{k+1}}
[/mm]
Nun habe ich noch über Maple rausbekommen:
"Hinreichen für die Konvergenz einer Reihe dieser Form ist die Bedingung: e|x| < 1"
Leider was ich nun nicht wie ich weiter vorgehen soll um auf das Endergebnis zu kommen...
Gibt es da nochmal was wie ich das kombinieren muss oder ähnliches?
Habe mal einfach Werte für "k" eingesetzt und ein wenig rumprobiert mit dem vereinfachten von oben aber habe verschiedene Brüche rausbekommen z.b. für k=1 kam [mm] \bruch{3}{4} [/mm] heraus und für k=3 war es dann glaub [mm] \bruch{27}{64}, [/mm] also können die ja leider nicht mein Ergbenis sein.
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 So 12.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Diophant,
>
> erstmal danke für deine Hilfestellung.
>
> Habe es nun mal soweit vereinfacht:
>
> [mm]\bruch{k^k(k+1)!}{k!(k+1)^{k+1}}[/mm]
Kürze zuerst mit k!, danach kannst du mit (k+1) kürzen und danach ein Potenzgesetz anwenden.
Der Bruch, der dann in der Potenz steht, ist definitiv kleiner als 1, überlege mal, warum.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 12.05.2013 | | Autor: | Bagci |
Ich habe jetzt mal das ganze mit Maple gekürzt und dabei kam heraus:
[mm] k^k(k+1)^{-k} [/mm] ich bin mir leider nicht sicher aber das sollte ja nun zu [mm] \bruch{k^k}{(k+1)^k} [/mm] werden oder?
Ist das sogar mein Endergebnis? also ist der Konvergenzradius somit [mm] \bruch{k^k}{(k+1)^k} [/mm] ?
oder bin ich da nun auf dem Holzweg?
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 So 12.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ich habe jetzt mal das ganze mit Maple gekürzt und dabei
> kam heraus:
>
> [mm]k^k(k+1)^{-k}[/mm] ich bin mir leider nicht sicher aber das
> sollte ja nun zu [mm]\bruch{k^k}{(k+1)^k}[/mm] werden oder?
Und? Bedenke, dass [mm] a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}
[/mm]
>
> Ist das sogar mein Endergebnis? also ist der
> Konvergenzradius somit [mm]\bruch{k^k}{(k+1)^k}[/mm] ?
Beachte, dass
[mm] \frac{k^{k}}{(k+1)^{k}}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k}
[/mm]
Der Bruch [mm] \frac{k}{k+1} [/mm] ist für [mm] k\in\IN [/mm] kleiner als 1, überlege mal warum.
> oder bin ich da nun auf dem Holzweg?
Nein.
>
> Mfg
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 So 12.05.2013 | | Autor: | Bagci |
Das hier ist [mm] \frac{k^{k}}{(k+1)^{k}}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k} [/mm]
mir erstmal klar, nur weis ich jetzt nicht direkt was ich damit anfangen soll, die Schreibweise links vom "=" würde eher in die Ergebnismaske dest Tests passen, da diese den Bruch in p (oben) und q(unten) aufteilt.
das [mm] \frac{k}{k+1} [/mm] immer kleiner als 1 bleibt mit [mm] \IN [/mm] verstehe ich auch...
Mir fehlt glaub jetzt eher das Ende... also rauskommen als "Radius" muss laut Ergebnismaske ein Bruch, aber weis nun leider überhaupt nicht wie ich zum Ende/Ergebnis komme...?
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 12.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Das hier ist
> [mm]\frac{k^{k}}{(k+1)^{k}}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k}[/mm]
>
> mir erstmal klar, nur weis ich jetzt nicht direkt was ich
> damit anfangen soll, die Schreibweise links vom "=" würde
> eher in die Ergebnismaske dest Tests passen, da diese den
> Bruch in p (oben) und q(unten) aufteilt.
Dann nimm die Schreibweise
>
> das [mm]\frac{k}{k+1}[/mm] immer kleiner als 1 bleibt mit [mm]\IN[/mm]
> verstehe ich auch...
Das ist wichtig, denn nur dadurch, dass der Bruch kleiner als 1 ist, kannst du weiterrechnen.
>
> Mir fehlt glaub jetzt eher das Ende... also rauskommen als
> "Radius" muss laut Ergebnismaske ein Bruch, aber weis nun
> leider überhaupt nicht wie ich zum Ende/Ergebnis
> komme...?
Welche Möglichkeiten kennt ihr denn, einen Konvergenzradius zu bestimmen?
Diophant schrieb am ANfang
"Zusammen mit einem bekannten Grenzwert rund um die e-Funktion kommt man so schnell zum Ziel."
Damit solltest du weiterkommen.
>
> Mfg
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 12.05.2013 | | Autor: | Bagci |
Öhm ich denke mal man berechnet das ganze jetzt mal mit dem Limes...
würde da auf [mm] e^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] kommen, was ja auch >1 ist und somit richtig sein sollte oder?^^
Mfg
K. Bagci
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Hallo,
[mm] r=\bruch{1}{e}
[/mm]
ist richtig.
Wenn du mir eine perwönliche Anmerkung erlaubst: diese Aufgabe ist als sehr leicht anzusehen, wenn man Analysis 1 gehört hat. Von daher solltest du dich mit dem Bestimmen von Grenzwerten nochmals ausführlich beschäftigen!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 So 12.05.2013 | | Autor: | Bagci |
Danke erstmal für Eure Hilfe, zu deiner Anmerkung Diophant, da muss ich dir Recht geben, es waren in dem Test auch Aufgaben von denen mir die andern 5 total leicht fielen und bei dieser Stand ich total aufm Schlauch.
Trotzdem nochmal Danke an alle und habe jetzt bei dem Test auch mit 100% bestanden. Vielen Dank
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