Konvergenzradius einer Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 So 04.12.2005 | | Autor: | sirdante |
Hallöchen!
Habe folgende Aufgabe: Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Potenzreihe [mm] \summe_{}^{} \bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}} x^n [/mm] ?
Also berechne ich erstmal den Konvergenzradius:
P= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ | a_{n}|}{ |a_{n+1} |}
[/mm]
=> [mm] |\bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}}||\bruch{2^n}{2+(-1)^{n+1}}| [/mm] = [mm] |\bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}} \bruch{2^n}{2+(-1)^{n+1}}|
[/mm]
leider komme ich an diesem Punkt ins wanken, denn wenn ich nun noch ein bissel "rumbastel" stecke ich irgendwann fest...
Dann kam ich auf die Idee die n´s aufzuspalten in n gerade und n ungerade:
n gerade:
[mm] |\bruch{3}{2^{n-1}}\bruch{2^n}{1}| [/mm] = [mm] |\bruch{6^n}{2^{n-1}}| [/mm] = [mm] |\bruch{6^n}{2^{n} *2^{-1}}| [/mm] = [mm] |\bruch{12}{2}| [/mm] = 6
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}6 [/mm] = 6
n ungerade:
[mm] |\bruch{1}{2^{n-1}}\bruch{2^n}{3}| [/mm] = [mm] |\bruch{2^n}{6^{n-1}}| [/mm] = [mm] |\bruch{2^n}{2^{n} *2^{-1} * 3}| [/mm] = [mm] |\bruch{2}{3}|= \bruch{2}{3} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]
Aber was sagt mir das nun? Mein Bauch sagt mir... mmhh... irgendwie kann ich nix damit anfangen!!
Kann mir jemand verraten, was ich richtig und was falsch gemacht habe, oder ob ich überhaupt etwas richtig gemacht habe 
Danke im Vorraus!
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Mit dem Quotientenkriterium kann man den Konvergenzradius nicht so ohne weiteres bestimmen. Es besagt ja für eine Reihe
[mm]\sum_{n}^{}~a_n[/mm] mit [mm]a_n \neq 0[/mm], daß
- absolute Konvergenz vorliegt, falls [mm]\limsup_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1[/mm] ist
- Divergenz vorliegt, falls [mm]\liminf_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| > 1[/mm] ist.
Bei deiner Reihe ist [mm]a_n = \frac{2+(-1)^n}{2^{n-1}} \, x^n[/mm]. Offenbar konvergiert die Reihe für [mm]x=0[/mm]. Und für [mm]x \neq 0[/mm] folgt:
[mm]\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |x| \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2+(-1)^{n+1}}{2+(-1)^n}[/mm]
Der Bruch rechts hat für gerade [mm]n[/mm] den Wert [mm]\frac{1}{3}[/mm] und für ungerade den Wert 3. Es ist daher
[mm]\limsup_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |x| \cdot \frac{3}{2} \, , \ \ \ \liminf_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |x| \cdot \frac{1}{6}[/mm]
Der erste Term ist kleiner 1 für [mm]|x| < \frac{2}{3}[/mm], der zweite ist größer 1 für [mm]|x| > 6[/mm]. Du kannst daher mit dem Quotientenkriterium schließen, daß die Reihe für [mm]|x| < \frac{2}{3}[/mm] konvergiert und für [mm]|x| > 6[/mm] divergiert. Für alle [mm]|x|[/mm] dazwischen kannst du keine Aussage treffen.
Verwende das Wurzelkriterium (Formel von Hadamard). Damit kommst du zum vollen Konvergenzradius.
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