Konvergenzradius einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n}x^n [/mm] |
Hi,
ich wollte wissen, ob folgendes richtig ist:
Zuerst einmal habe ich gesehen, dass die Reihe für x=0 auf jeden Fall konvergiert und für x=2 divergiert.
Anwendung des Quotientenkriteriums:
[mm] \left| \bruch{\bruch{(n+1)^3*x^{n+1} }{2^{n+1}}}{\bruch{n^3*x^n}{2^n}} \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{(n+1)^3*x}{2*n^3^}\right| [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^3}{n^3} \frac{\left|x\right|}{2} \to \frac{\left|x\right|}{2} [/mm] < 1 für [mm] \left|x\right| [/mm] < 2
Also konvergiert die Reihe für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] \left|x\right| [/mm] < 2.
Stimmt das so?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Mi 14.09.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n}x^n[/mm]
> Hi,
>
> ich wollte wissen, ob folgendes richtig ist:
>
> Zuerst einmal habe ich gesehen, dass die Reihe für x=0 auf
> jeden Fall konvergiert und für x=2 divergiert.
ja, richtig.
>
> Anwendung des Quotientenkriteriums:
>
> [mm]\left| \bruch{\bruch{(n+1)^3*x^{n+1} }{2^{n+1}}}{\bruch{n^3*x^n}{2^n}} \right|[/mm]
> = [mm]\left| \bruch{(n+1)^3*x}{2*n^3^}\right|[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)^3}{n^3} \frac{\left|x\right|}{2} \to \frac{\left|x\right|}{2}[/mm]
> < 1 für [mm]\left|x\right|[/mm] < 2
>
> Also konvergiert die Reihe für alle x [mm]\in \IR[/mm] mit
> [mm]\left|x\right|[/mm] < 2.
>
> Stimmt das so?
Ja, wenn mans ganz genau nimmt, konvergiert die Reihe absolut für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\left|x\right|< [/mm] 2$ und divergiert für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\left|x\right|> [/mm] 2$. Was für x=2 passiert hast Du ja schon erwähnt, jetzt fehlt noch eine Aussage zu x=-2 um alle reellen Zahlen abzudecken.
>
> Vielen Dank!
Gruß,
notinX
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Stimmt, für x = -2 gilt ja:
[mm] \sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n}x^n [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n}(-2)^n [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}n^3*(-1)^n
[/mm]
Da [mm] (a_n):=n^3*(-1)^n [/mm] keine Nullfolge ist, kann die Reihe für x = -2 nicht konvergieren.
Also: Konvergenz für alle |x| < 2, sonst Divergenz.
Stimmt das?
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Hallo Sabine...,
> Stimmt, für x = -2 gilt ja:
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> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n}x^n[/mm] = [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n}(-2)^n[/mm] = [mm]\sum_{n=0}^{\infty}n^3*(-1)^n[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Da [mm](a_n):=n^3*(-1)^n[/mm] keine Nullfolge ist, kann die Reihe
> für x = -2 nicht konvergieren.
Ganz genau!
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> Also: Konvergenz für alle |x| < 2, sonst Divergenz.
>
> Stimmt das?
Ja, sehr schön!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:42 Mi 14.09.2011 | | Autor: | Sabine... |
Vielen Dank!
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