Konvergenzradius im Komplexen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Zu obiger Aufgabenstellung habe ich einige Fragen. Erstmal: Darf ich, wenn [mm] z\in\IC, [/mm] grundsätzlich genauso vorgehen wie wenn [mm] z\in\IR [/mm] wäre? Das Quotientenkriterium und Wurzelkriterium gilt ja grundsätzlich auch in den komplexen Zahlen, also müsste es ja gehen?
Ich fang mal mit a) an:
Ich wende das Quotientenkriterium zum Bestimmen des Konvergenzradius an:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{3k}}{2^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{k}}*(z^{3})^{k}$
[/mm]
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}\right| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{\bruch{1}{2^{k}}}{\bruch{1}{2^{k+1}}}\right| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{2^{k+1}}{2^{k}}\right| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\left|2\right| [/mm] = 2.$
D.h. der Konvergenzradius von [mm] $z^{3}$ [/mm] wäre 2, d.h. der von z wäre $r = [mm] \sqrt[3]{2}$.
[/mm]
Muss ich jetzt auch noch die Ränder untersuchen, um die Aufgabenstelllung zu erfüllen?
Zu b)
Da kann ich wahrscheinlich nicht das Quotientenkriterium anwenden, also müsste man das Wurzelkriterium nehmen. Da käme ich auf
$r = [mm] \bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|a_{k}|}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|\cos(k)|}}$
[/mm]
Gefühlsmäßig würde ich ja sagen, das 1 rauskommt, weil der Kosinus auf die Potenz in der Reihe kaum Einfluss hat. Aber wie kann ich das oben sehen? Eigentlich steht ja statt dem normalen Limes der Lim Sup. Kann ich das irgendwie benutzen?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Viele Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Do 07.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo!
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> Zu obiger Aufgabenstellung habe ich einige Fragen. Erstmal:
> Darf ich, wenn [mm]z\in\IC,[/mm] grundsätzlich genauso vorgehen wie
> wenn [mm]z\in\IR[/mm] wäre? Das Quotientenkriterium und
> Wurzelkriterium gilt ja grundsätzlich auch in den komplexen
> Zahlen, also müsste es ja gehen?
>
> Ich fang mal mit a) an:
> Ich wende das Quotientenkriterium zum Bestimmen des
> Konvergenzradius an:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{3k}}{2^{k}} = \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{k}}*(z^{3})^{k}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}\right| = \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{\bruch{1}{2^{k}}}{\bruch{1}{2^{k+1}}}\right| = \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{2^{k+1}}{2^{k}}\right| = \limes_{k\rightarrow\infty}\left|2\right| = 2.[/mm]
>
> D.h. der Konvergenzradius von [mm]z^{3}[/mm] wäre 2, d.h. der von z
> wäre [mm]r = \sqrt[3]{2}[/mm].
So würde ich das nicht schreiben !
Besser: der Konv.-radius von
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{k}}{2^{k}} [/mm] $
ist = 2, somit hat die Potenzreihe
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{3k}}{2^{k}} [/mm] $
den Konv.-radius [mm]r = \sqrt[3]{2}[/mm].
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> Muss ich jetzt auch noch die Ränder untersuchen, um die
> Aufgabenstelllung zu erfüllen?
Nein, das ist nicht verlangt, aber tus trozdem
>
> Zu b)
>
> Da kann ich wahrscheinlich nicht das Quotientenkriterium
> anwenden, also müsste man das Wurzelkriterium nehmen. Da
> käme ich auf
>
> [mm]r = \bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|a_{k}|}} = \bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|\cos(k)|}}[/mm]
>
> Gefühlsmäßig würde ich ja sagen, das 1 rauskommt, weil der
> Kosinus auf die Potenz in der Reihe kaum Einfluss hat. Aber
> wie kann ich das oben sehen? Eigentlich steht ja statt dem
> normalen Limes der Lim Sup. Kann ich das irgendwie
> benutzen?
Ich würde so argumentieren:
wegen $|cos(k)| [mm] \le [/mm] 1$ konvergiert die Potenzreihe schon mal für $|z|<1$.
Der Konv.-radius ist also [mm] \ge [/mm] 1. Angenommen, er wäre >1, so würde die Potenzreihe im Punkt z=1 konvergieren, also wäre die Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}cos(k)
[/mm]
konvergent, was sie aber nicht ist. Also ist der Konv.-radius = 1
FRED
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> Vielen Dank für Eure Hilfe,
>
> Viele Grüße, Stefan.
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Danke Fred für deine Antwort!
Hat mir sehr geholfen!
Gehe ich richtig davon aus, dass das Intervall vom Konvergenzradius offen ist, also kein einziger Randwert (bei a) [mm] -\sqrt[2]{3} [/mm] und [mm] \sqrt[3]{2}, [/mm] bei b) -1 und 1) drin ist?
Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Do 07.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Danke Fred für deine Antwort!
> Hat mir sehr geholfen!
>
> Gehe ich richtig davon aus, dass das Intervall vom
> Konvergenzradius offen ist, also kein einziger Randwert
> (bei a) [mm]-\sqrt[2]{3}[/mm] und [mm]\sqrt[3]{2},[/mm] bei b) -1 und 1) drin
> ist?
Ja, da liegst Du richtig. Es handelt sich dabei um ein offenes Intervall (im Reellen) bzw. um einen offenen Kreis (im Komplexen). Die Intervallrandpunkte (im Reellen) bzw. der Kreisrand (im Komplexen) ist generell seperat zu behandeln.
> Grüße, Stefan.
Gruß Denny
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Danke, Denny22, für deine Antwort!!
Grüße, Stefan.
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