Konvergenzradius kompl. Reihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Reihen
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n} [/mm] und [mm] \summe_{n=2}^{\infty}n^{2}a_{n}z^{n-2}
[/mm]
denselben Konvergenzradius haben. |
Hallo zusammen,
ich bräuchte bei obiger Aufgabe erneut eure Hilfe :).
Mein Ansatz für die Hinrichtung:
Wenn [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n} [/mm] den Konvergenzradius [mm] R_{0} [/mm] hat, dann hat auch [mm] \summe_{n=2}^{\infty}n^{2}a_{n}z^{n-2} [/mm] den Konvergenzradius [mm] R_{0}
[/mm]
Zz.: [mm] \summe_{n=2}^{\infty}n^{2}|a_{n}|r^{n-2} [/mm] konvergiert für jedes [mm] r
(z.B. [mm] R=\bruch{r+R_{0}}{2})
[/mm]
Es gilt: [mm] \summe_{n=2}^{\infty}n^{2}|a_{n}|(\bruch{r}{R})^{n-2}*R^{n-2} [/mm]
[mm] (\bruch{r}{R})^{n-2}=:q<1
[/mm]
Da [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}R^{n} [/mm] konvergent, ist [mm] a_{n}R^{n} [/mm] eine Nullfolge und deshalb gilt: [mm] |a_{n}|R^{n} [/mm] ist eine Nullfolge und deshalb gilt: [mm] |a_{n}|R^{n} \le[/mm] [mm] \tilde M [/mm] für [mm] \tilde [/mm] M >0 und [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow |a_{n}|R^{n-1} \le [/mm] M := [mm] \bruch{ \tilde M }{R} \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
und deshalb:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}n^{2}|a_{n}|r^{n-2}=\summe_{n=2}^{\infty}n^{2}q^{n-2}|a_{n}|R^{n-2} \le [/mm] M [mm] \summe_{n=2}^{\infty}n^{2}q^{n-2}
[/mm]
AUs dem Quotientenkriterium und MAjorantenkriterium folgt:
[mm] \bruch{M(n+2)q^{n}}{Mnq^{n-2}}=\bruch{n+2}{n}q \to [/mm] q (Für n [mm] \to \infty) [/mm] und somit die absolute Konvergenz von [mm] \summe n|a_{n}|r^{n-2}
[/mm]
Ist das soweit nachvollziehbar, was muss ich für die Rückrichtung machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich hab mir nicht durchgelesen, was Du da getrieben hast !
Die Aufgabe ist gelöst, wenn Du zeigen kannst, das
$ lim [mm] sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}= [/mm] lim [mm] sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^2|a_n|}$
[/mm]
ist. Aber das ist sehr einfach.
FRED
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Hallo Fred,
danke für deine schnelle Antwort. Ich hatte versucht, die Aufgabe mit einer Abschätzung zu lösen, ähnlich wie wir es in der Vorlesung mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty}na_{n}z^{n+1} [/mm] gemacht haben.
In der Vorlesung haben wir limsup bisher nicht weiter definiert bzw. nicht weiter mit gearbeitet. Wenn ich es richtig in Erinnerung habe, versteht man darunter den größten Grenzwert konvergenter Teilfolgen.
Die n.-te Wurzel von [mm] n^{2} [/mm] ist 1, somit ist $ lim [mm] sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}= [/mm] lim [mm] sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^2|a_n|} [/mm] $
Aber reicht das wirklich für den Beweis, dass die beiden Reihen denselben Konvergenzradius haben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> danke für deine schnelle Antwort. Ich hatte versucht, die
> Aufgabe mit einer Abschätzung zu lösen, ähnlich wie wir
> es in der Vorlesung mit [mm]\summe_{n=1}^{\infty}na_{n}z^{n+1}[/mm]
> gemacht haben.
>
> In der Vorlesung haben wir limsup bisher nicht weiter
> definiert bzw. nicht weiter mit gearbeitet. Wenn ich es
> richtig in Erinnerung habe, versteht man darunter den
> größten Grenzwert konvergenter Teilfolgen.
Ja
Aber: als Mathe-Student im Hauptstudium ist Dir der lim sup nicht bekannt ? Das kann nicht sein !
>
> Die n.-te Wurzel von [mm]n^{2}[/mm] ist 1
Nein: [mm] \wurzel[n]{n^2} \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty [/mm]
> , somit ist [mm]lim sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}= lim sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^2|a_n|}[/mm]
>
> Aber reicht das wirklich für den Beweis, dass die beiden
> Reihen denselben Konvergenzradius haben?
Ja, wenn man die Formel von Cauchy-Hadamard kennt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
Und das hattet Ihr noch nicht ?
FRED
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Doch limsup ist mir durchaus bekannt, nur da musste ich halt im Gedächtnis herumkramen von Ana 1, ist 4 Semester her :).
Die Formel hatten wir noch nicht, in meinem alten Analysis Skript finde ich sie auch nicht, obwohl wir bereits sämtliche Konvergenzkriterien (Wurzelkriterium, Qutientenkriterium, Leibnniz...) durchbesprochen haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Do 12.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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