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| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius (ohne Berücksichtigung des Randes) der folgenden komplexen Reihen - skizzieren Sie den Konvergenzbereich.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n^{2}}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(z+1)^{n}}{2^{n}} [/mm] |
Also, die Lösung sollte sein: Konvergenzradius=1
Jedoch verstehe ich nicht wie man das Problem Löst.
Bei nicht-komplexen Reihen würde ich das Quotientenkriterium anwenden, jedoch funktioniert das hier nicht, da ich ja nicht weiß was z ist. Denn normalerweise sind komplexe Zahlen als a+bi definiert.
Durch Anwenden des Quotientenkriteriums komme ich auf:
[mm] \bruch{z*n^{2}}{(n+1)^{2}}
[/mm]
Doch was soll ich jetzt damit anfangen?
Danke schon mal im Voraus ;)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 So 18.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Berechnen Sie den Konvergenzradius (ohne Berücksichtigung
> des Randes) der folgenden komplexen Reihen - skizzieren Sie
> den Konvergenzbereich.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n^{2}}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(z+1)^{n}}{2^{n}}[/mm]
> Also, die Lösung sollte sein: Konvergenzradius=1
> Jedoch verstehe ich nicht wie man das Problem Löst.
> Bei nicht-komplexen Reihen würde ich das
> Quotientenkriterium anwenden, jedoch funktioniert das hier
> nicht, da ich ja nicht weiß was z ist. Denn normalerweise
> sind komplexe Zahlen als a+bi definiert.
>
z brauchst du hier nicht zu wissen. Allgemein hat die Potenzreihe folgende Form:
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty}a_n*(z-c)^n$ [/mm] wobei c der Entwicklungspunkt der Potenzreihe ist.
Für den Konvergenzradius r gilt dann:
$r = [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|$
[/mm]
Wende das nun auf die Aufgabenstellung an!
> Durch Anwenden des Quotientenkriteriums komme ich auf:
>
> [mm]\bruch{z*n^{2}}{(n+1)^{2}}[/mm]
>
> Doch was soll ich jetzt damit anfangen?
> Danke schon mal im Voraus ;)
>
>
>
Grüße
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danke für die schnelle antwort!
doch wenn ich den Konvergenzradius r berechne bekomme ich:
r = [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|
[/mm]
r = [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} |\frac{z^{n}}{n^{2}}*\frac{(n+1)^{2}}{z^{n+1}}| [/mm] = [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{2}}{z*n^{2}}
[/mm]
doch damit komme ich wieder nicht auf den konvergenzradius von 1.
was mache ich falsch?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 So 18.11.2012 | | Autor: | teo |
> danke für die schnelle antwort!
>
> doch wenn ich den Konvergenzradius r berechne bekomme ich:
>
> r = [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
>
> r = [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} |\frac{z^{n}}{n^{2}}*\frac{(n+1)^{2}}{z^{n+1}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{2}}{z*n^{2}}[/mm]
Nein. Das [mm] z^n [/mm] hat hier nix zu suchen!! Es ist:
$r = [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} |\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{(n+1)^2}}| [/mm] = ... = 1$
Denn [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n^2} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2}z^n$ \Rightarrow $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2}$
[/mm]
> doch damit komme ich wieder nicht auf den konvergenzradius
> von 1.
> was mache ich falsch?
>
> lg
>
Grüße
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Okay danke, habe verstanden..
Danach muss man noch 2x De l'Hospital anwenden und kommt auf r=1
:)
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 So 18.11.2012 | | Autor: | teo |
> Okay danke, habe verstanden..
> Danach muss man noch 2x De l'Hospital anwenden und kommt
> auf r=1
> :)
> lg
Ne, den L'Hopital braucht man hier nicht! Es ist:
$r = [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{n^2}=\limes_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{n^2*(1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2})}{n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} [/mm] (1 + [mm] \frac{2}{n} [/mm] + [mm] \frac{1}{n^2}) [/mm] = 1$
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