Konvergenzradius und- bereich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:35 Do 06.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius und -bereich folgender reeller Potenzreihen:
(a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-x)^n}{2^n}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^n
[/mm]
(c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!} x^{2n-1} [/mm] |
hey ich bins mal wieder ^^
wir haben leider noch nicht so arg viel über den konvergenzradius gehabt
was ich weiß ist das der radius als [mm] r_a [/mm] = [mm] \bruch{1}{limsup|a_n|^\bruch{1}{n}} [/mm] definiert ist
[mm] a_n [/mm] ist dann das was vor [mm] (x-\bar{x}) [/mm] steht und dann der konvergenzbereich ist dann [mm] (\bar{x} [/mm] - [mm] r_a [/mm] , [mm] \bar{x} [/mm] + [mm] r_a)
[/mm]
ich hoffe mal das ist alles richtig und verständlich was ich alles meine
so jetzt zu meinem problem
bei der a habe ich mit der formel rausbekommen [mm] r_a [/mm] = [mm] \bruch{1}{lim sup (\bruch{1}{2})} [/mm] also [mm] r_a [/mm] =2
der konvergenzbereich ist dann, weil [mm] \bar{x} [/mm] = 2x ist (2x- [mm] r_a [/mm] , 2x+ [mm] r_a)
[/mm]
kann das sein? das mit dem x? oder muss ich noch angeben, dass die reihe nur dann konvergent ist (quotientenkriterium) für x>-2
bei der b hab ich noch stärkere Probleme
wollte genauso berechnen wie oben also
[mm] r_a [/mm] = [mm] \bruch{1}{lim sup | \bruch{(-1)^{n+1}}{n}| ^ \bruch{1}{n}}
[/mm]
aber dann würde doch (nte wurzel von n geht ja nach 1) lim sup -i unter dem bruchstrich darstehen oder? und das wäre doch ein widerspruch zu dem begriff "reele reihe"
habe dann überprüft ob die reihe überhaupt konvergent ist und habe rausbekommen, dass sie es für x>0 ist
brauche umbedingt hilfe :(
LG ray
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Do 06.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie den Konvergenzradius und -bereich folgender
> reeller Potenzreihen:
> (a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-x)^n}{2^n}[/mm]
> (b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^n[/mm]
>
> (c) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{(2-1)!} x^{2n-1}[/mm]
>
> hey ich bins mal wieder ^^
> wir haben leider noch nicht so arg viel über den
> konvergenzradius gehabt
> was ich weiß ist das der radius als [mm]r_a[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{limsup|a_n|^\bruch{1}{n}}[/mm] definiert ist
> [mm]a_n[/mm] ist dann das was vor [mm](x-\bar{x})[/mm] steht und dann der
> konvergenzbereich ist dann [mm](\bar{x}[/mm] - [mm]r_a[/mm] , [mm]\bar{x}[/mm] + [mm]r_a)[/mm]
> ich hoffe mal das ist alles richtig und verständlich was
> ich alles meine
> so jetzt zu meinem problem
>
> bei der a habe ich mit der formel rausbekommen [mm]r_a[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{lim sup (\bruch{1}{2})}[/mm] also [mm]r_a[/mm] =2
> der konvergenzbereich ist dann, weil [mm]\bar{x}[/mm] = 2x ist (2x-
> [mm]r_a[/mm] , 2x+ [mm]r_a)[/mm]
> kann das sein? das mit dem x? oder muss ich noch angeben,
> dass die reihe nur dann konvergent ist
> (quotientenkriterium) für x>-2
Hallo,
bei a) brauchst du keinen limsup.
Es ist die geometrische Reihe [mm] (\bruch{-x}{2})^n, [/mm] und die konvergiert garantiert, wenn [mm] |\bruch{-x}{2}|<1.
[/mm]
Gruß Abakus
>
>
> bei der b hab ich noch stärkere Probleme
> wollte genauso berechnen wie oben also
> [mm]r_a[/mm] = [mm]\bruch{1}{lim sup | \bruch{(-1)^{n+1}}{n}| ^ \bruch{1}{n}}[/mm]
>
> aber dann würde doch (nte wurzel von n geht ja nach 1) lim
> sup -i unter dem bruchstrich darstehen oder? und das wäre
> doch ein widerspruch zu dem begriff "reele reihe"
> habe dann überprüft ob die reihe überhaupt konvergent
> ist und habe rausbekommen, dass sie es für x>0 ist
>
> brauche umbedingt hilfe :(
> LG ray
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Do 06.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
okay cool
also das heißt, wenn des konvergiert ist lim sup = lim inf also der grenzwert dann mit der formel 1/1-q dann [mm] \bruch{2}{2+x} [/mm] ?
stimmt dann meine aufgabe generell nicht? und wie mach ich dann die anderen beiden?
LG
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Hallo Ray07,
> okay cool
> also das heißt, wenn des konvergiert ist lim sup = lim
> inf also der grenzwert dann mit der formel 1/1-q dann
> [mm]\bruch{2}{2+x}[/mm] ?
Sagen wir lieber, die Potenzreihe stellt in ihrem Konvergenzbereich die Funktion [mm]f(x)=\frac{2}{2+x}[/mm] dar.
> stimmt dann meine aufgabe generell nicht?
Du hast den Konvergenzradius [mm]r_a=2[/mm] richtig berechnet, der Entwicklungspunkt ist aber [mm]\overline{x}=0[/mm], also hast du Konvergenz für [mm]|x-0|=|x|<2[/mm] und Divergenz für [mm]|x|>2[/mm]
Wie es an der Randpunkten [mm]|x|=2[/mm], also für [mm]x=\pm 2[/mm] aussieht, kannst du durch Einsetzen in die Potenzreihe mal prüfen ...
> und wie mach ich
> dann die anderen beiden?
b) ebenfalls mit dem Kriterium von Cauchy-Hadamard, beachte, dass dort der Entwicklungspunkt [mm]\overline{x}=1[/mm] ist.
Bei c) vereinfache im Nenner 2-1=1, dann ist es einfach.
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
hey danke^^
bei der a) wie errechne ich den den entwicklungspunkt? ich dachte weil die üotenzreihe ja so aussieht
[mm] a_n(x [/mm] + [mm] \bar{x}) [/mm] errechne ich den dann indem ich für [mm] \bar{x} [/mm] das einsetze um auf die potenz in der aufgabe zu kommen
also für -x brauch ich dann für [mm] \bar{x} [/mm] = -2x
und wie komme ich genau auf die formeln, die du angewand hast? (sorry aber wir hatten dazu noch nicht so viel )
das cauchy-hadama ist dann die formel die ich verwenden wollte also 1/limsup... ? wir haben die noch nciht benannt
muss ich da dann drauf achten, dass ich ein ungerades n habe? damit ich nicht in die komplexen zahlen trete?
LG
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Hallo nochmal,
> hey danke^^
> bei der a) wie errechne ich den den entwicklungspunkt? ich
> dachte weil die üotenzreihe ja so aussieht
> [mm]a_n(x[/mm] + [mm]\bar{x})[/mm] errechne ich den dann indem ich für
> [mm]\bar{x}[/mm] das einsetze um auf die potenz in der aufgabe zu
> kommen
> also für -x brauch ich dann für [mm]\bar{x}[/mm] = -2x
> und wie komme ich genau auf die formeln, die du angewand
> hast? (sorry aber wir hatten dazu noch nicht so viel )
Uh, bitte gib dir etwas mehr Mühe beim Eintippen!
Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] hat die Gestalt [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n[/mm]
Mit Entwicklungspunkt [mm]x_0=0[/mm] entsprechend: [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}x^n[/mm]
Und die Potenzreihe in a) kannst du doch umschreiben:
[mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^n}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{}x^n}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\cdot{}x^n[/mm]
Also [mm]a_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n[/mm] und [mm]x_0=0[/mm]
>
> das cauchy-hadama
Cauchy-Hadamard
> ist dann die formel die ich verwenden
> wollte also 1/limsup... ?
Ja, (u.a.) damit kann man den Konvergenzradius einer Potenzreihe berechen
> wir haben die noch nciht benannt
> muss ich da dann drauf achten, dass ich ein ungerades n
> habe?
Nein, n läuft über alle nat. Zahlen, [mm]n=0[/mm] bis [mm]\infty[/mm] steht ja an der Summe ...
> damit ich nicht in die komplexen zahlen trete?
Das verstehe ich nicht, in der Reihe kann auch was Komplexes stehen, es ist ja [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}[/mm] zu berechnen, damit bist du wieder bei einer reellen Zahl für den Konvergenzradius
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
hey
ich bin immer noch bei der b
ich habe jetzt so gerechnet
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^n [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] (-1)* [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} (x-1)^n [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] - [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} (x-1)^n
[/mm]
also dann
[mm] r_a [/mm] = [mm] \bruch{1}{lim sup | - \bruch{(-1)^{n}}{n}| ^ \bruch{1}{n}} [/mm] = wegen dem betrag
[mm] r_a [/mm] = [mm] \bruch{1}{lim sup ( \bruch{(-1)^{n}}{n}) ^ \bruch{1}{n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\bruch{-1}{1}} [/mm] = -1
aber dann komm ich mit meinem intervall gar nicht mehr klar weil ich dann wegen dem [mm] \bar{x} [/mm] = 1 ein intervall rausbekomme mit (2,0) und das ist ja falsch
bitte schnelle hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mi 12.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> hey
> ich bin immer noch bei der b
>
> ich habe jetzt so gerechnet
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^n[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] (-1)* [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n} (x-1)^n[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] - [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n} (x-1)^n[/mm]
> also
> dann
> [mm]r_a[/mm] = [mm]\bruch{1}{lim sup | - \bruch{(-1)^{n}}{n}| ^ \bruch{1}{n}}[/mm]
> = wegen dem betrag
> [mm]r_a[/mm] = [mm]\bruch{1}{lim sup ( \bruch{(-1)^{n}}{n}) ^ \bruch{1}{n}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{\bruch{-1}{1}}[/mm] = -1
mein Gott, was machst Du da ? Was ist denn [mm] |(-1)^n| [/mm] ????
>
> aber dann komm ich mit meinem intervall gar nicht mehr klar
> weil ich dann wegen dem [mm]\bar{x}[/mm] = 1 ein intervall
> rausbekomme mit (2,0)
Was ist los ?
Wenn Du richtig rechnest, siehst Du: der Konvergenzradius ist = 1.
FRED
> und das ist ja falsch
>
> bitte schnelle hilfe
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
ah, ja klar
ich darf den betrag ja auseinander ziehen
| - [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} |^\bruch{1}{n}=
[/mm]
[mm] (|-1|*|\bruch{(-1)^{n}}{n}|) ^\bruch{1}{n} [/mm] =
[mm] (|-1|*\bruch{|(-1)^{n}|}{|n|}) ^\bruch{1}{n} [/mm] =
[mm] (1*\bruch{1}{n})^\bruch{1}{n} [/mm] = 1
oder?
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> ah, ja klar
> ich darf den betrag ja auseinander ziehen
> | - [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n} |^\bruch{1}{n}=[/mm]
>
> [mm](|-1|*|\bruch{(-1)^{n}}{n}|) ^\bruch{1}{n}[/mm] =
> [mm](|-1|*\bruch{|(-1)^{n}|}{|n|}) ^\bruch{1}{n}[/mm] =
> [mm](1*\bruch{1}{n})^\bruch{1}{n}[/mm] = 1
>
> oder?
oha... ne so nich
[mm] |-\bruch{(-1)^{n}}{n}|^\bruch{1}{n}=\big(\frac{1}{n}\big)^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{n}}
[/mm]
und nun [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}
[/mm]
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
ja klar ^^ den teil hab ich vergessen zwischen
[mm] (1*\bruch{1}{n})^\bruch{1}{n}= [/mm] 1
aber ich meinte den weg, das ich überhaupt dahin komme, dass
[mm] |-\bruch{(-1)^{n}}{n}|^\bruch{1}{n}=\big(\frac{1}{n}\big)^{\frac{1}{n}} [/mm] ist
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> ja klar ^^ den teil hab ich vergessen zwischen
>
> [mm](1*\bruch{1}{n})^\bruch{1}{n}=[/mm] 1
>
> aber ich meinte den weg, das ich überhaupt dahin komme,
> dass
>
> [mm]|-\bruch{(-1)^{n}}{n}|^\bruch{1}{n}=\big(\frac{1}{n}\big)^{\frac{1}{n}}[/mm]
> ist
das schreibt man in genau einem schritt hin, denn [mm] (-1)^n [/mm] bedeutet ja nur [mm] \pm [/mm] 1, der betrag davon sollte auch ohne 5 zeilen klar sein
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Ray07 |
naja, da ich halt noch im ersten semester bin und wir die aufgabe haben immer über jedes gleichzeichen zuschreiben warum des so ist mach ich des lieber ausführlich^^
danke an alle die mir geholfen haben
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