Konvergenzradius und Verhalten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Do 03.05.2012 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils Konvergenzradius und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervals für z [mm] \in \IR. [/mm] Skizzieren Sie die Konvergenzkreise.
a) [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(\bruch{2*j^2+j-1}{3*j^2+2*j+17})^j*z^j
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}k!*(z+1-i)^k
[/mm]
c) [mm] \summe_{l=3}^{\infty}(\bruch{3*l+(-1)^l*l}{2*l+1})^l*z^l
[/mm]
d) [mm] \summe_{m=0}^{\infty} [/mm] z^(m!) |
Hallo,
ich bin die a) mit dem Wurzelkriterium angegangen.
Dadurch bin ich auf folgendes gekommen:
[mm] \limes_{j\rightarrow\infty} \wurzel[j]{\bruch{2*j^2+j-1}{3*j^2+2*j+17}} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{2*j^2+j-1}}{\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{3*j^2+2*j+17}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1
Daraus folgt für meinen Konvergenzradius r=1.
Wie untersuche ich jetzt aber mein Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervals ? Ist mein Randpunkt gleich mein Konvergenzradius r=1 ?
Setze ich also einfach meinen Radius für z ein und schaue was passiert ?
Und wie skizziere ich dieses Monstrum ? Mir würde da Spontan ein Plotter einfallen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Do 03.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie jeweils Konvergenzradius und untersuchen Sie
> das Konvergenzverhalten in den Randpunkten des
> Konvergenzintervals für z [mm]\in \IR.[/mm] Skizzieren Sie die
> Konvergenzkreise.
>
> a)
> [mm]\summe_{j=0}^{\infty}(\bruch{2*j^2+j-1}{3*j^2+2*j+17})^j*z^j[/mm]
> b) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k!*(z+1-i)^k[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{l=3}^{\infty}(\bruch{3*l+(-1)^l*l}{2*l+1})^l*z^l[/mm]
> d) [mm]\summe_{m=0}^{\infty}[/mm] z^(m!)
> Hallo,
>
> ich bin die a) mit dem Wurzelkriterium angegangen.
> Dadurch bin ich auf folgendes gekommen:
>
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty} \wurzel[j]{\bruch{2*j^2+j-1}{3*j^2+2*j+17}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{2*j^2+j-1}}{\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{3*j^2+2*j+17}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1
> Daraus folgt für meinen Konvergenzradius r=1.
Du hast zwar geschrieben, aber dann verschlampt:
[mm] (\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j
[/mm]
j-te Potenz !!
Wir setzen also
[mm] a_j:= (\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j
[/mm]
Berechne nun [mm] \rho=\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{|a_j|}.
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius $r= 1/ [mm] \rho.$
[/mm]
Also haben wir konvergenz für |z|<r und Divergenz für |z|>r
>
> Wie untersuche ich jetzt aber mein Konvergenzverhalten in
> den Randpunkten des Konvergenzintervals ?
Zu untersuchen ist, ob die Potenzreihe in Punkten z mit |z|=r konv. oder div.
FRED
> Ist mein
> Randpunkt gleich mein Konvergenzradius r=1 ?
> Setze ich also einfach meinen Radius für z ein und schaue
> was passiert ?
>
> Und wie skizziere ich dieses Monstrum ? Mir würde da
> Spontan ein Plotter einfallen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Do 03.05.2012 | | Autor: | bammbamm |
> Du hast zwar geschrieben, aber dann verschlampt:
>
> [mm](\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j[/mm]
>
> j-te Potenz !!
>
> Wir setzen also
>
> [mm]a_j:= (\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j[/mm]
>
> Berechne nun
> [mm]\rho=\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{|a_j|}.[/mm]
>
> Dann ist der Konvergenzradius [mm]r= 1/ \rho.[/mm]
>
>
> Also haben wir konvergenz für |z|<r und Divergenz für
> |z|>r
> >
Also habe ich [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{\bruch{(2\cdot{}j^2+j-1)^j}{(3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17)^j}} [/mm] = [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[j]{(2\cdot{}j^2+j-1)^j}}{\wurzel[j]{(3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17)^j}} [/mm] = [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} {\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17}} [/mm] = [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} \bruch{(j/j^2+1/j^2)*(2*j/j^2-1/j^2}{3*j^2/j^4+2*j/j^4+17/j^4} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
und daraus folgt für den Konvergenzradius r=0 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Do 03.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Du hast zwar geschrieben, aber dann verschlampt:
> >
> > [mm](\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j[/mm]
> >
> > j-te Potenz !!
> >
> > Wir setzen also
> >
> > [mm]a_j:= (\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j[/mm]
>
> >
> > Berechne nun
> > [mm]\rho=\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{|a_j|}.[/mm]
> >
> > Dann ist der Konvergenzradius [mm]r= 1/ \rho.[/mm]
> >
> >
> > Also haben wir konvergenz für |z|<r und Divergenz für
> > |z|>r
> > >
>
> Also habe ich
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{\bruch{(2\cdot{}j^2+j-1)^j}{(3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17)^j}}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[j]{(2\cdot{}j^2+j-1)^j}}{\wurzel[j]{(3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17)^j}}[/mm]
> = [mm]\limes_{j\rightarrow\infty} {\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17}}[/mm]
> = [mm]\limes_{j\rightarrow\infty} \bruch{(j/j^2+1/j^2)*(2*j/j^2-1/j^2}{3*j^2/j^4+2*j/j^4+17/j^4}[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]
Nein. Das vorletzte "=" ist mir ein Rätsel !
>
> und daraus folgt für den Konvergenzradius r=0 ?
Nein.
In [mm] \bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17} [/mm] klammere [mm] j^2 [/mm] aus , kürze und lasse j [mm] \to \infty [/mm] gehen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Do 03.05.2012 | | Autor: | bammbamm |
Ahja, jetzt komme ich auf [mm] r=\bruch{3}{2}. [/mm] Also habe ich Konvergenz für [mm] |z|<\bruch{3}{2} [/mm] und Divergenz für [mm] |z|>\bruch{3}{2}. [/mm] Habe ich somit das Konvergenzverhalten in den Randpunkten untersucht ?
Wie skizziere ich den Konvergenzkreis nun ? Ist dies einfach ein Kreis mit Radius um z von [mm] r=\bruch{3}{2} [/mm] ?
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> > Habe ich somit das Konvergenzverhalten in den Randpunkten
> untersucht ?
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein. Dafür musst Du die beiden konkreten Werte
> [mm]r_{1/2} \ = \ \pm\bruch{3}{2}[/mm] in die Ausgangsreihe
> einsetzen und die entstehende Reihe auf Konvergenz /
> Divergenz untersuchen.
Dann bekomme ich für [mm] z=r=\bruch{3}{2} [/mm] Divergenz (Aus Wurzelkriterium) und für [mm] z=-\bruch{3}{2} [/mm] eine alternierende Reihe (wegen [mm] cos(\pi*j)). [/mm] Kann ich dafür dann Leibniz anwenden und somit konvergenz / divergenz zeigen ?
>
> > Wie skizziere ich den Konvergenzkreis nun ? Ist dies
> > einfach ein Kreis mit Radius um z von [mm]r=\bruch{3}{2}[/mm] ?
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wobei halt noch zu untersuchen ist, was mit den
> Rändern ist (s.o.).
d.h. wenn ich meine Ränder untersucht habe und ich für [mm] z=r=\bruch{3}{2} [/mm] divergenz rausbekomme, so schließt mein Konvergenzkreis [mm] +\bruch{3}{2} [/mm] nichtmehr mit ein ? Dann kann es ja aber auch sein, dass ich keinen "perfekten" Kreis habe, sondern ganz genau betrachtet schon eine Ellipse ?
Mein Entwicklungspunkt ist hier 0 und somit habe ich einen Kreis mit dem entsprechendem Radius um den Punkt 0 auf dem zu untersuchendem Intervall (Ränder s.o.) seh ich das richtig ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 So 06.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 03.05.2012 | | Autor: | bammbamm |
Zur b):
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k!\cdot{}(z+1-i)^k
[/mm]
[mm] a_{n}=k!
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|} [/mm] = [mm] \infty [/mm] => r=0
Mein Entwicklungspunkt ist hier 1-i, liegt also im Koordinatensystem um 1 auf der reellen Achse nach Rechts und um i auf der imaginären Achse nach unten verschoben. Der Radius ist 0, konvergiert somit nur im Punkt 1-i ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:50 Fr 04.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zur b):
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k!\cdot{}(z+1-i)^k[/mm]
>
> [mm]a_{\red{n}}=k![/mm]
Achtung: Bitte kein Indexwirrwarr verursachen: [mm] $a_\green{k}=k!$
[/mm]
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}[/mm]
Besser (bzw. ausführlicher): [mm] $\text{lim\red{sup}}_{k \to \infty} \sqrt[k]{|k!|}=\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}=$
[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]
Beweis dafür? (Das ist schon richtig, aber nicht ganz trivial. Nebenbei: Ich hätte hier mit "Quotienten" gearbeitet, um den Konvergenzradius zu berechnen: Das liegt irgendwie nahe, denn wenn man Fakultäten durch andere Fakultäten dividiert, fällt meist vieles raus! Übrigens würde auf gleichem Wege etwa auch die Abschätzung aus ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 6.20 liefern, dass obiger Grenzwert in der Tat [mm] $=\infty$ [/mm] ist!)
> => r=0
>
> Mein Entwicklungspunkt ist hier 1-i,
Nein: Du hast oben [mm] $\sum_k k!*(z\red{+}(1-i))^k$ [/mm] stehen - um "direkt" den Entwicklungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] ablesen zu können, musst Du das in die Form
[mm] $$\sum_k k!*(z\red{\;-\;}z_0)^k$$
[/mm]
bringen.
> liegt also im
> Koordinatensystem um 1 auf der reellen Achse nach Rechts
> und um i auf der imaginären Achse nach unten verschoben.
> Der Radius ist 0, konvergiert somit nur im Punkt 1-i ?
Richtig ist, dass, wenn der Konvergenzradius [mm] $0\,$ [/mm] ist, die Reihe [mm] $\sum_k a_k (z-z_0)^k$ [/mm] genau in [mm] $z=z_0$ [/mm] konvergiert. Du gibst aber oben nicht [mm] $z_0\,,$ [/mm] sondern [mm] $-z_0$ [/mm] an.
(Denn: Eine Reihe der Form [mm] $\sum_k a_k (z+w_0)^k$ [/mm] kann man ja schnell umschreiben zu [mm] $\sum_k a_k (z+w_0)^k=\sum_k a_k (z-(-w_0))^k\,,$ [/mm] also hat diese den Entwicklungspunkt [mm] $z_0=-w_0\,.$ [/mm] )
Setze mal in [mm] $f(z):=\sum_k k!*(z+(1-i))^k$ [/mm] einfach $z=1-i$ ein:
Das liefert dann
[mm] $$\sum_k k!*(2-2i)^k\,.$$
[/mm]
Da sieht man direkt, dass [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $z=1-i\,$ [/mm] divergent ist. Für [mm] $z=z_0$ [/mm] sind die auftretenden Summanden (bis auf den mit Index [mm] $0\,$) [/mm] sehr trivial, und damit sieht man fast in banaler Weise die Konvergenz . Selbst, wenn man keine Ahnung von Reihen hat, sollte bzw. wird man das sehen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Fr 04.05.2012 | | Autor: | bammbamm |
> Achtung: Bitte kein Indexwirrwarr verursachen:
> [mm]a_\green{k}=k![/mm]
Sorry, natürlich sollte der Index k sein.
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}[/mm]
>
> Besser (bzw. ausführlicher): [mm]\text{lim\red{sup}}_{k \to \infty} \sqrt[k]{|k!|}=\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}=[/mm]
>
> > = [mm]\infty[/mm]
>
> Beweis dafür? (Das ist schon richtig, aber nicht ganz
> trivial. Nebenbei: Ich hätte hier mit "Quotienten"
> gearbeitet, um den Konvergenzradius zu berechnen: Das liegt
> irgendwie nahe, denn wenn man Fakultäten durch andere
> Fakultäten dividiert, fällt meist vieles raus!
Da in meinem Skript "Grenzwerte die man kennen sollte" [mm] \wurzel[k]{k!}=\infty [/mm] steht, habe ich das einfach mal so angenommen.
> > => r=0
> >
> > Mein Entwicklungspunkt ist hier 1-i,
>
> Nein: Du hast oben [mm]\sum_k k!*(z\red{+}(1-i))^k[/mm] stehen - um
> "direkt" den Entwicklungspunkt [mm]z_0[/mm] ablesen zu können,
> musst Du das in die Form
> [mm]\sum_k k!*(z\red{\;-\;}z_0)^k[/mm]
> bringen.
Dann ist mein Entwicklungspunkt [mm] z_{0}=-1+i
[/mm]
> > liegt also im
> > Koordinatensystem um 1 auf der reellen Achse nach Rechts
> > und um i auf der imaginären Achse nach unten verschoben.
> > Der Radius ist 0, konvergiert somit nur im Punkt 1-i ?
>
> Richtig ist, dass, wenn der Konvergenzradius [mm]0\,[/mm] ist, die
> Reihe [mm]\sum_k a_k (z-z_0)^k[/mm] genau in [mm]z=z_0[/mm] konvergiert. Du
> gibst aber oben nicht [mm]z_0\,,[/mm] sondern [mm]-z_0[/mm] an.
> (Denn: Eine Reihe der Form [mm]\sum_k a_k (z+w_0)^k[/mm] kann man
> ja schnell umschreiben zu [mm]\sum_k a_k (z+w_0)^k=\sum_k a_k (z-(-w_0))^k\,,[/mm]
> also hat diese den Entwicklungspunkt [mm]z_0=-w_0\,.[/mm] )
>
> Setze mal in [mm]f(z):=\sum_k k!*(z+(1-i))^k[/mm] einfach [mm]z=1-i[/mm]
> ein:
> Das liefert dann
> [mm]\sum_k k!*(2-2i)^k\,.[/mm]
>
> Da sieht man direkt, dass [mm]f\,[/mm] in [mm]z=1-i\,[/mm] divergent ist.
> Für [mm]z=z_0[/mm] sind die auftretenden Summanden (bis auf den mit
> Index [mm]0\,[/mm]) sehr trivial, und damit sieht man fast in
> banaler Weise die Konvergenz . Selbst, wenn man keine
> Ahnung von Reihen hat, sollte bzw. wird man das sehen.
>
> Gruß,
> Marcel
Dann wäre die Skizze dementsprechend um -1 auf der reellen Achse und +i auf der imaginären Achse verschoben und hat den Radius 0 ?
Muss ich für den Fall r=0 auch Ränder untersuchen ? M.m.n. gibt es hier ja keine Ränder ?
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Achtung: Bitte kein Indexwirrwarr verursachen:
> > [mm]a_\green{k}=k![/mm]
>
> Sorry, natürlich sollte der Index k sein.
>
> > > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}[/mm]
> >
> > Besser (bzw. ausführlicher): [mm]\text{lim\red{sup}}_{k \to \infty} \sqrt[k]{|k!|}=\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}=[/mm]
>
> >
> > > = [mm]\infty[/mm]
> >
> > Beweis dafür? (Das ist schon richtig, aber nicht ganz
> > trivial. Nebenbei: Ich hätte hier mit "Quotienten"
> > gearbeitet, um den Konvergenzradius zu berechnen: Das liegt
> > irgendwie nahe, denn wenn man Fakultäten durch andere
> > Fakultäten dividiert, fällt meist vieles raus!
>
> Da in meinem Skript "Grenzwerte die man kennen sollte"
> [mm]\wurzel[k]{k!}=\infty[/mm] steht, habe ich das einfach mal so
> angenommen.
das darfst Du dann natürlich (ich würde dann aber auf's Skript verweisen)!
> > > => r=0
> > >
> > > Mein Entwicklungspunkt ist hier 1-i,
> >
> > Nein: Du hast oben [mm]\sum_k k!*(z\red{+}(1-i))^k[/mm] stehen - um
> > "direkt" den Entwicklungspunkt [mm]z_0[/mm] ablesen zu können,
> > musst Du das in die Form
> > [mm]\sum_k k!*(z\red{\;-\;}z_0)^k[/mm]
> > bringen.
>
> Dann ist mein Entwicklungspunkt [mm]z_{0}=-1+i[/mm]
Richtig!
> > > liegt also im
> > > Koordinatensystem um 1 auf der reellen Achse nach Rechts
> > > und um i auf der imaginären Achse nach unten verschoben.
> > > Der Radius ist 0, konvergiert somit nur im Punkt 1-i ?
> >
> > Richtig ist, dass, wenn der Konvergenzradius [mm]0\,[/mm] ist, die
> > Reihe [mm]\sum_k a_k (z-z_0)^k[/mm] genau in [mm]z=z_0[/mm] konvergiert. Du
> > gibst aber oben nicht [mm]z_0\,,[/mm] sondern [mm]-z_0[/mm] an.
> > (Denn: Eine Reihe der Form [mm]\sum_k a_k (z+w_0)^k[/mm] kann
> man
> > ja schnell umschreiben zu [mm]\sum_k a_k (z+w_0)^k=\sum_k a_k (z-(-w_0))^k\,,[/mm]
> > also hat diese den Entwicklungspunkt [mm]z_0=-w_0\,.[/mm] )
> >
> > Setze mal in [mm]f(z):=\sum_k k!*(z+(1-i))^k[/mm] einfach [mm]z=1-i[/mm]
> > ein:
> > Das liefert dann
> > [mm]\sum_k k!*(2-2i)^k\,.[/mm]
> >
> > Da sieht man direkt, dass [mm]f\,[/mm] in [mm]z=1-i\,[/mm] divergent ist.
> > Für [mm]z=z_0[/mm] sind die auftretenden Summanden (bis auf den mit
> > Index [mm]0\,[/mm]) sehr trivial, und damit sieht man fast in
> > banaler Weise die Konvergenz . Selbst, wenn man keine
> > Ahnung von Reihen hat, sollte bzw. wird man das sehen.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Dann wäre die Skizze dementsprechend um -1 auf der reellen
> Achse und +i auf der imaginären Achse verschoben und hat
> den Radius 0 ?
Ja!
> Muss ich für den Fall r=0 auch Ränder untersuchen ?
> M.m.n. gibt es hier ja keine Ränder ?
Es gibt schon einen Rand: Jede [mm] $n\,$-elementige [/mm] Menge [mm] $A:=\{w_1,...,w_n\}$ [/mm] mit [mm] $w_1,...,w_n \in \IC$ [/mm] ist abgeschlossen, und Du solltest beweisen können, dass der innere Kern von [mm] $A\,$ [/mm] gerade [mm] $\emptyset$ [/mm] ist. Daher ist der Rand von [mm] $A\,$ [/mm] gerade der Abschluss ohne den inneren Kern, also ist die Menge [mm] $A\,$ [/mm] hier auch ihr eigener Rand.
(Alles bzgl. der üblichen Topologie auf [mm] $\IC\,,$ [/mm] die durch die übliche Metrik auf [mm] $\IC$ [/mm] induziert wird.)
Und bei Dir ist halt (die [mm] $1\,$-elementige [/mm] Menge) [mm] $\{w_1\}=\{z_0\}=\{-1+i\}\,,$ [/mm] und eigentlich müsstest Du nun auch den Rand dieser Menge untersuchen, aber das hast Du dann ja schon getan, weil Du das Verhalten an der Stelle [mm] $-1+i\,$ [/mm] eh schon mal untersucht hast!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Fr 04.05.2012 | | Autor: | bammbamm |
d) [mm]\summe_{m=0}^{\infty}[/mm] [mm] z^{m!}
[/mm]
Irgendwie weis ich nicht wie ich obiges auf die Form
[mm] \sum_m a_m (z-z_0)^m
[/mm]
bekommen soll.
Mein Ansatz wäre
[mm] \sum_m z^{m!} [/mm] = [mm] \sum_m (z-0)^{m!} [/mm] der bringt mich aber kaum weiter. Ich muss ja irgendwie die Fakultät in der Potenz wegbekommen und dadurch würde ich dann sicherlich auf mein [mm] a_m [/mm] kommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Fr 04.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> d) [mm]\summe_{m=0}^{\infty}[/mm] [mm]z^{m!}[/mm]
>
> Irgendwie weis ich nicht wie ich obiges auf die Form
> [mm]\sum_m a_m (z-z_0)^m[/mm]
> bekommen soll.
>
> Mein Ansatz wäre
> [mm]\sum_m z^{m!}[/mm] = [mm]\sum_m (z-0)^{m!}[/mm] der bringt mich aber
> kaum weiter. Ich muss ja irgendwie die Fakultät in der
> Potenz wegbekommen und dadurch würde ich dann sicherlich
> auf mein [mm]a_m[/mm] kommen.
Für |z|<1 ist [mm] |z|^{m!} \le |z|^m, [/mm] also ist die Potenzreihe für |z|<1 konvergent.
Die Potenzreihe divergiert für z=1 (warum ?)
Damit ist der Konvergenzradius = ?
FRED
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> Für |z|<1 ist [mm]|z|^{m!} \le |z|^m,[/mm] also ist die Potenzreihe
> für |z|<1 konvergent.
>
> Die Potenzreihe divergiert für z=1 (warum ?)
>
> Damit ist der Konvergenzradius = ?
>
> FRED
Die Reihe divergiert für z=1 da es eine geometrische Reihe ist, welche nur für |z|<1 konvergiert
Für den Radius würde dann aus [mm] a_m=1 [/mm] und somit [mm]\limes_{m\rightarrow\infty} \wurzel[m]{1} [/mm] folgen r=1 ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 So 06.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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