Konvergenzradius v Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Sa 06.11.2010 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | Bestimmen Sie de Konvergenzradius der Potenzreihe:
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(2+x)^2^i}{(2+\bruch{1}{i})^i}[/mm] |
Die Lösung erreicht man mit dem Wurzelkriterium. Über den Rand des Konvergenzradius lässt sich dabei keine Aussage treffen. In der Musterlösung wird dieser nicht weiter untersucht.
Warum sind die Ränder des Konvergenzkreises irrelevant? Den Radius habe ich problemlos berechnet, aber das mit den Rändern verstehe ich nicht :-(
Hier noch die Musterlösung für die Datenbank:
[mm]\limes_{i\rightarrow\infty} \wurzel[i]{|\bruch{(2+x)^2^i}{(2+\bruch{1}{i})^i}|}[/mm] = [mm]|(2+x)|^2 \limes_{i\rightarrow\infty} {\bruch{1}{(2+\bruch{1}{i})}[/mm] = [mm]\bruch{|(2+x)|^2}{2} < 1[/mm]
Wenn nun die Ungleichung aufgelöst wird erhält man einen
Konvergenzkreis von [mm]x\in\IC |x+2| < \wurzel{2}[/mm]
sowie einen
Konvergenzradius von r=[mm]\wurzel{2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Shurakai |
Da muss ein Fehler in deinem Text sein, da die Folge
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2 + n} [/mm] natürlich gegen 0 und nicht gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Sa 06.11.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo zusammen,
der Konvergenzkreisradius stimmt, es muss nur [mm] limes_{i\rightarrow\infty} {\bruch{1}{(2+\frac{1}{i})}} [/mm] heißen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 So 07.11.2010 | | Autor: | pppppp |
Ja, ich habe schlampig abgeschrieben. ![[tatue]](/images/smileys/tatue.gif "[tatue]") Da muss ein Bruch statt dem i stehen. Habe es gerade geändert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Sa 06.11.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo ppppp,
was verstehst du nicht: wie man auf den Konbergenzkreisradius kommt, oder warum man über die Randpunkte dieses Kreises keine Aussage machen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 So 07.11.2010 | | Autor: | pppppp |
Hi, mir ist zwar klar, warum man über die Ränder keine Aussage treffen kann
(Wurzelkriterium: absolute Konvergenz wenn |w|<1 , divergent wenn |w|>1 auf den Grenzen ist aber |w| = 1)
Mir ist aber nicht klar, warum dies für den Konvergenzradius nicht von Interesse ist.
Eine Theorie von mir wäre, dass man diesen nur untersuchen muss, wenn nach dem
Konv. KREIS gefragt ist (Ränder konvergent -> offener Kreis Ränder divergent -> geschlossener Kreis),ber nicht wenn nur der
Konv RADIUS gesucht ist.
Grüße Philipp
PS: Hatte einen Fehler in der 3ten Formel, habe ich gerade korrigiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 So 07.11.2010 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | | Status eines beantworteten Artikels in "unbeantwortet" ändern |
Um alle relevanten Infos in dem als "unbeantwortet" markierten Artikel unterzubringen wollte ich den Status meiner bearbeitete Anfangsfrage ändern.
Habe ich es nur nicht gefunden oder geht es schlicht und einfach nicht?
Grüße Philipp
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> Warum sind die Ränder des Konvergenzkreises irrelevant?
> Den Radius habe ich problemlos berechnet, aber das mit den
> Rändern verstehe ich nicht :-(
Hallo,
es kommt auf die Fragestellung an.
Der Konvergenzradius r einer Potenzreihe [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n [/mm] ist ja die größte Zahl r für welche die Reihe für alle x mit [mm] |x-x_0|
Wenn also nach dem Konvergenzradius gefragt ist, dann berechnet man diesen, und fertig.
Es gibt aber eine andere Fragestellung, nämlich die nach der Menge der x, für welche die Potenzreihe konvergiert.
Hier muß man sich, wenn man den Konvergenzradius berechnet hat, auch noch Gedanken über die Ränder machen.
So hattest Du Dir das ja auch schon zusammengereimt.
Gruß v. Angela
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>
> Hier noch die Musterlösung für die Datenbank:
>
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} \wurzel[i]{|\bruch{(2+x)^2^i}{(2+\bruch{1}{i})^i}|}[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i] = |(2+x)|^2 \limes_{i\rightarrow\infty} {\bruch{1}{(2+\bruch{1}{i})}[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i] = \bruch{|(2+x)|^2}{2} < 1[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Wenn nun die Ungleichung aufgelöst wird erhält man einen [/i][/mm]
> [mm][i]Konvergenzkreis von x\in\IC |x+2| < \wurzel{2}[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]sowie einen[/i][/mm]
> [mm][i] Konvergenzradius von r=\wurzel{2}[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mo 08.11.2010 | | Autor: | pppppp |
An alle Antworter!
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