Konvergenzsatz < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es sei A eine nichtsinguläre Matrix, die das starke Zeilensummenkriterium erfüllt. Dann ist das Einzelschrittverfahren zur Lösung des linearen Gleichungssystems konvergent, und die Konvergenz ist mindestens so schnell wie beim Gesamtschrittverfahren. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich muss diesen Satz im Rahmen eines Referats beweisen. Der Beweis im Buch ist per Induktion geführt.
Es wird z:= (CE)y, wobei CE die Iterationsmatrix des Einzelschrittverfahrens ist, und CG die Iterationsmatrix des Gesamtschrittverfahrens.
Wir wollen per Induktion zeigen, dass [mm] |z_{i}|\le \summe_{j=1,j\not=i} |a_{ij}|/|a_{ii}| \parallel(y)\parallel_{\infty} [/mm] (=Induktionsvoraussetzung)
Mann schreibt die Gleichung um in (D-L)z=Ry
für i=1 ist die Abschätzung noch klar...
[mm] |z_{1}| \le \summe_{j=2}^{n} |a_{1j}|/|a_{11}| |y_{j}| \le \summe_{j=2}^{n} |a_{1j}|/|a_{11}| \parallel(y)\parallel_{\infty}
[/mm]
Und nun soll mit dem Induktionsschritt und der Definintion des Einzelschrittverfahrens folgende Abschätzung gelten (und ich verstehe schon die erste Ungleichung nicht:)
[mm] |z_{i}| \le 1/|a_{ii}| [/mm] ( [mm] \summe_{j=1}^{i-1} |a_{ij}| |z_{j}| [/mm] + [mm] \summe_{j=i+1}^{n} |a_{ij}| |y_{j}| [/mm] ) ...
Verstehe ich es richtig, wenn ich in der Induktionsvoraussetzung [mm] 1/|a_{ii} [/mm] rausziehe und den rest irgendwie in der Schreibweitse des Einzelschrittverfahrens darstelle?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 08.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
