Konvergenzverhalten von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 So 23.11.2008 | | Autor: | Rowddy |
| Aufgabe | Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der durch die Folgenglieder gegebenen reelen Zahlenfolgen und bestimmen sie ggf. den Limes. Verwenden Sie dazu die Grenzwertdefinition bzw. die Definitioen der bestimmten oder unbestimmten Divergenz.
a) [mm] a_{j}=\bruch{j+4}{j^2}
[/mm]
b) [mm] b_{j}=3^j [/mm] - 5
c) [mm] c_{j}=(-1)^j \* j^2 [/mm] |
Hallo! :)
Für a) und b) habe ich jeweils Lösungen, nur was kann ich bei Aufgabe c) denn tun? Sie müsste ja bestimmt gegen [mm] \pm \infty [/mm] divergieren... oder irre ich mich? Wie weise ich das nach?
a) und b) habe ich jeweils mit Hilfe von einem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und der Vorrausetzung [mm] a_j \le \varepsilon [/mm] bzw. [mm] b_j [/mm] > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] gelöst, was auch gut gegangen ist....
Vielen Dank für die Hilfe! 
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Hallo Rowddy,
> Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der durch die
> Folgenglieder gegebenen reelen Zahlenfolgen und bestimmen
> sie ggf. den Limes. Verwenden Sie dazu die
> Grenzwertdefinition bzw. die Definitioen der bestimmten
> oder unbestimmten Divergenz.
>
> a) [mm]a_{j}=\bruch{j+4}{j^2}[/mm]
> b) [mm]b_{j}=3^j[/mm] - 5
> c) [mm]c_{j}=(-1)^j \* j^2[/mm]
> Hallo! :)
>
> Für a) und b) habe ich jeweils Lösungen, nur was kann ich
> bei Aufgabe c) denn tun? Sie müsste ja bestimmt gegen [mm]\pm \infty[/mm]
> divergieren... oder irre ich mich? Wie weise ich das nach?
>
> a) und b) habe ich jeweils mit Hilfe von einem [mm]\varepsilon[/mm]
> > 0 und der Vorrausetzung [mm]a_j \le \varepsilon[/mm] bzw. [mm]b_j[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] gelöst, was auch gut gegangen
> ist....
Hää?
Was heißt denn: "nach Vor. ist [mm] $a_j \le \varepsilon$" [/mm] ??
Du musst doch wohl zu beliebig vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N(\varepsilon)\in\IN$ [/mm] angeben, so dass für alle [mm] $j\ge N(\varepsilon)$ [/mm] gilt: [mm] $|a_j-GW|<\varepsilon$, [/mm] also hier [mm] $|a_j-0|=|a_j|<\varepsilon$
[/mm]
Wie sieht das [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] denn aus?
So wie ich das sehe ist bei (b) die Folge [mm] $(b_j)_{j\in\IN}$ [/mm] doch höchst divergent (bestimmt divergent), das [mm] $3^j$ [/mm] haut doch wahnsinnig schnell ab ins Unendliche ...
Bei (c) schaue dir die beiden Teilfolgen für gerades und ungerades j an, also [mm] $(c_{2k})_{k\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(c_{2k+1})_{k\in\IN}$
[/mm]
Was passiert?
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> Vielen Dank für die Hilfe!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 So 23.11.2008 | | Autor: | Rowddy |
Was passiert? > Hallo Rowddy,
>
> Hää?
>
> Was heißt denn: "nach Vor. ist [mm]a_j \le \varepsilon[/mm]" ??
>
> Du musst doch wohl zu beliebig vorgegebenem [mm]\varepsilon>0[/mm]
> ein [mm]N(\varepsilon)\in\IN[/mm] angeben, so dass für alle [mm]j\ge N(\varepsilon)[/mm]
> gilt: [mm]|a_j-GW|<\varepsilon[/mm], also hier
> [mm]|a_j-0|=|a_j|<\varepsilon[/mm]
>
So hab ichs auch gemacht, nur eben völlig falsch ausgedrückt. xP
> So wie ich das sehe ist bei (b) die Folge [mm](b_j)_{j\in\IN}[/mm]
> doch höchst divergent (bestimmt divergent), das [mm]3^j[/mm] haut
> doch wahnsinnig schnell ab ins Unendliche ...
Ja, deswegen hab ich [mm] b_j>\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] 'gezeigt'. Naja, wie du siehst ist das hier nicht meine Stärke... xP
>
> Bei (c) schaue dir die beiden Teilfolgen für gerades und
> ungerades j an, also [mm](c_{2k})_{k\in\IN}[/mm] und
> [mm](c_{2k+1})_{k\in\IN}[/mm]
>
> Was passiert?
>
[mm] (c_{2k+1})_{k\in\IN} [/mm] divergiert gegen -unendlich, die gerade Folge gegen +unendlich. So hab ich mir das auch gedacht, nur was beduetet das für die Ausgangsfolge?
>
>
> LG
>
> schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 So 23.11.2008 | | Autor: | tasse |
und wie zeigt man anhand der definition für divergenz, dass b) divergent ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 So 23.11.2008 | | Autor: | Rowddy |
Ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] sei gegeben. Dann wähle man ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] 3^N-5>\bruch{1}{\varepsilon}. [/mm]
Für j>N gilt dann:
[mm] b_j=3^j-5>3^N-5>\bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
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