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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Konvergez auf kompakten Mengen
Konvergez auf kompakten Mengen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergez auf kompakten Mengen: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Mi 26.04.2006
Autor: c.t.

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Reihe  [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^k}{1+z^(2k)} [/mm] auf allen kompakten Mengen gleichmäßig konvergiert, die den Einheitskreis nicht schneidet

Bis jetzt habe ich mir überlegt, dass es genügen würde, die gleichmäßige Konvergenz auf den Mengen { z [mm] \in \IC [/mm] | |z| [mm] \le [/mm] r, r<1} und { z [mm] \in \IC [/mm] | |z| [mm] \ge [/mm] R, R > 1} zu zeigen. Denn dann hätte man ja das Geforderte für alle geeigneten Kompakten Mengen gezeigt.

Leider habe ich noch Probleme mit den Sätzen über Konvergenzradien und bitte daher um Hilfe


Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforum gestellt

        
Bezug
Konvergez auf kompakten Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 So 30.04.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Zeigen Sie, dass die Reihe  [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^k}{1+z^(2k)}[/mm]
> auf allen kompakten Mengen gleichmäßig konvergiert, die den
> Einheitskreis nicht schneidet
>  Bis jetzt habe ich mir überlegt, dass es genügen würde,
> die gleichmäßige Konvergenz auf den Mengen [mm]\{ z \in \IC \mid |z| \le r, r<1\}[/mm] und [mm]\{ z \in \IC \mid |z| \ge R, R > 1\}[/mm] zu
> zeigen. Denn dann hätte man ja das Geforderte für alle
> geeigneten Kompakten Mengen gezeigt.

Genau. Wobei du die Mengen falsch aufgeschrieben hast, du meinst [mm]\{ z \in \IC \mid |z| \le r\}[/mm], $r < 1$ und [mm]\{ z \in \IC \mid |z| \ge R\}[/mm], $R > 1$.

> Leider habe ich noch Probleme mit den Sätzen über
> Konvergenzradien und bitte daher um Hilfe

Konvergenzradien bringen dir hier nix, da du hier keine Potenzreihe hast!

Versuch es doch mal mit dem Majorantenkriterium: Ist $|z| [mm] \le [/mm] r < 1$, so ist [mm] $\left| \frac{z^k}{1 + z^k} \right| \le \frac{r^k}{|1 + z^k|} \le \frac{r^k}{1 - r}$ [/mm] (weisst du warum?).

Kommst du damit weiter?

Wenn $|z| [mm] \ge [/mm] r > 1$ ist, dann ist [mm] $|z^k| \le r^k$ [/mm] und $|1 + [mm] z^k| \ge r^k [/mm] - 1$. Damit kannst du ebenfalls abschaetzen.

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Konvergez auf kompakten Mengen: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Mo 01.05.2006
Autor: c.t.

erstmal vielen Dank für deine Antwort. Für r<1 habe ich alles gezeigt.

Aber warum gilt bei r>1 [mm] |z^k| \le |r^k|, [/mm] wenn |z| [mm] \ge [/mm] r ?


Und wie kann man weiter arbeiten, wenn man den Zähler mit [mm] \le, [/mm] aber den Nenner mit [mm] \ge [/mm] abschätzt?


Ich hoffe, dass du mir das noch erklären kannst, oder jemand anderes

Grüße
c.t.

Bezug
                
Bezug
Konvergez auf kompakten Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mo 01.05.2006
Autor: felixf

Hallo!

> erstmal vielen Dank für deine Antwort. Für r<1 habe ich
> alles gezeigt.

Ok.

> Aber warum gilt bei r>1 [mm]|z^k| \le |r^k|,[/mm] wenn |z| [mm]\ge[/mm] r ?

Whooops, das gilt natuerlich nicht (es sei denn $|z| = r$)...

> Und wie kann man weiter arbeiten, wenn man den Zähler mit
> [mm]\le,[/mm] aber den Nenner mit [mm]\ge[/mm] abschätzt?

Nunja, wenn $|a| [mm] \le [/mm] b$ und $|c| [mm] \ge [/mm] d$ ist, dann ist $|a/c| [mm] \le [/mm] b/d$.

Zurueck zu $|z| [mm] \ge [/mm] r > 1$: Du hast [mm] $\frac{z^k}{1 + z^{2 k}} [/mm] = [mm] \frac{1}{z^{-k} + z^k}$ [/mm] und [mm] $|z^{-k} [/mm] + [mm] z^k| \ge |z^k| [/mm] - [mm] |z^{-k}| \ge r^k [/mm] - 1$. Kommst du damit weiter?

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Konvergez auf kompakten Mengen: anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 Mo 01.05.2006
Autor: c.t.

Danke Felix,

nun ist alles klar.
Nach einem kurzen Blick ins Analysisforum hast du dir ja heute den Titel "König der Reihen" verdient :-)

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