Konvex - Norm < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:52 So 09.11.2008 | | Autor: | ow... |
| Aufgabe | Hallo,
kann jemand mich bitte bestaetigen dass was ich gemacht habe ist richtig ???
Aufgabe:
Sei ||.|| : [mm] $\IR^n \rightarrow \IR^+$ [/mm] eine Norm. Zeigen Sie :
a). ||.|| ist konvex
b). Die Funktion $f: [mm] \IR^n \rightarrow \IR^+$, [/mm] $x [mm] \rightarrow [/mm] ||Ax +b||$, [mm] $A\in \IR^{m\timesn},b \in \IR^m$ [/mm] ist konvex
Antwort :
a). Seien x,y [mm] $\in \IR$ [/mm] beliebig
$|| [mm] (1-\lambda)x+\lambda [/mm] y|| [mm] \leq ||(1-\lambda) [/mm] x || + || [mm] \lambda [/mm] y ||$ (wegen Dreiecksungleichung)
Und [mm] $||(1-\lambda) [/mm] x || + || [mm] \lambda [/mm] y ||$ $= [mm] (1-\lambda) [/mm] ||x|| + [mm] \lambda [/mm] ||y||$ ( wegen Homogenitaet des Normes)
Also ist ||.|| konvex
b). [mm] $f((1-\lambda)x [/mm] + [mm] \lambda [/mm] y) = || [mm] (1-\lambda). [/mm] (Ax+b) + [mm] \lambda [/mm] (Ay+b)|| [mm] \leq (1-\lambda) [/mm] ||Ax+b|| + [mm] \lambda [/mm] || Ay+b||= [mm] (1-\lambda) [/mm] f(x) + [mm] \lambda [/mm] f(y)$
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo,
kann jemand mich bitte bestaetigen dass was ich gemacht habe ist richtig ???
Aufgabe:
Sei ||.|| : [mm] $\IR^n \rightarrow \IR^+$ [/mm] eine Norm. Zeigen Sie :
a). ||.|| ist konvex
b). Die Funktion $f: [mm] \IR^n \rightarrow \IR^+$, [/mm] $x [mm] \rightarrow [/mm] ||Ax +b||$, [mm] $A\in \IR^{m\timesn},b \in \IR^m$ [/mm] ist konvex
Antwort :
a). Seien x,y [mm] $\in \IR$ [/mm] beliebig
$|| [mm] (1-\lambda)x+\lambda [/mm] y|| [mm] \leq ||(1-\lambda) [/mm] x || + || [mm] \lambda [/mm] y ||$ (wegen Dreiecksungleichung)
Und [mm] $||(1-\lambda) [/mm] x || + || [mm] \lambda [/mm] y ||$ $= [mm] (1-\lambda) [/mm] ||x|| + [mm] \lambda [/mm] ||y||$ ( wegen Homogenitaet des Normes)
Also ist ||.|| konvex
b). [mm] $f((1-\lambda)x [/mm] + [mm] \lambda [/mm] y) = || [mm] (1-\lambda). [/mm] (Ax+b) + [mm] \lambda [/mm] (Ay+b)|| [mm] \leq (1-\lambda) [/mm] ||Ax+b|| + [mm] \lambda [/mm] || Ay+b||= [mm] (1-\lambda) [/mm] f(x) + [mm] \lambda [/mm] f(y)$
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 11.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
