Konvex und Abgeschlossenheit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei L [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] ein kompakter, nichtleerer und konvexer Unterraum, V [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] ein linearer Unterraum, L [mm] \cap [/mm] V [mm] =\emptyset
[/mm]
Zeige, dass M := L-V = [mm] \{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \} [/mm] geschlossen, konvex und nichtleer ist. |
Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll, bisher habe ich:
[mm] \forall \delta \in [/mm] [0,1] , x, y [mm] \in [/mm] M
[mm] x=l_{1}- v_{1} [/mm] , [mm] y=l_{2}- v_{2}
[/mm]
[mm] \delta [/mm] x + [mm] (1-\delta) [/mm] y [mm] \in [/mm] M
[mm] =\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} [/mm] - [mm] \delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}
[/mm]
wobei [mm] \delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in [/mm] L, [mm] \delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in [/mm] V
Lässt sich damit etwas anfangen?
Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Mo 10.02.2020 | | Autor: | fred97 |
> Sei L [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein kompakter, nichtleerer und
> konvexer Unterraum, V [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein linearer
> Unterraum, L [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]
> Zeige, dass M := L-V = [mm]\{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \}[/mm]
> geschlossen, konvex und nichtleer ist.
> Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll, bisher
> habe ich:
>
> [mm]\forall \delta \in[/mm] [0,1] , x, y [mm]\in[/mm] M
>
> [mm]x=l_{1}- v_{1}[/mm] , [mm]y=l_{2}- v_{2}[/mm]
>
> [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
In diesem Schritt willst Du doch die Konvexität von M zeigen.
Du willst also zeigen(!): [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
> [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm]
Hier fehlen Klammern !
[mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
[mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - ( [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm])
Richtig ist
>
> wobei [mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L, [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm]
> V
>
> Lässt sich damit etwas anfangen?
Ja. Du bist fast am Ziel.
Es ist [mm][mm] \delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in [/mm] L , weil L konvex ist. Es ist [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm] [mm] \in [/mm] V, weil V ein linearer Unterraum ist.
Damit ist : [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M.
>
> Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?
Z.B. so: sei [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Folge in M und [mm] x_0 [/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm] x_0 \in [/mm] M.
Es gibt Folgen [mm] (l_n) [/mm] in L und [mm] (v_n) [/mm] in V mit
[mm] x_n =l_n-v_n [/mm] für alle n.
L ist kompakt, also enthält [mm] (v_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (v_{n_k}) [/mm] mit Grenzwert [mm] v_0 \in [/mm] L. Dann ist
[mm] l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k} [/mm] für alle k.
Damit ist ( [mm] l_{n_k}) [/mm] konvergent und hat den Grenzwert [mm] l_0:=x_0+v_0, [/mm] also
[mm] x_0=l_0-v_0.
[/mm]
Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm] l_0 \in [/mm] V ist, sind wir fertig.
Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes ist abgeschlossen ! Damit ist [mm] l_0 \in [/mm] V.
Fazit: [mm] x_0 \in [/mm] M.
>
Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm] \ne \emptyset [/mm] ist.
Das ist aber einfach: wegen 0 [mm] \in [/mm] V ist L [mm] \subseteq [/mm] M und L [mm] \ne \emptyset.
[/mm]
Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung $L [mm] \cap V=\emptyset [/mm] $ haben wir nicht benötigt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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Hallo Fred,
vielen Dank für Deine Antwort.
> > Sei L [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein kompakter, nichtleerer und
> > konvexer Unterraum, V [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein linearer
> > Unterraum, L [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]
> > Zeige, dass M := L-V = [mm]\{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \}[/mm]
> > geschlossen, konvex und nichtleer ist.
> > Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll, bisher
> > habe ich:
> >
> > [mm]\forall \delta \in[/mm] [0,1] , x, y [mm]\in[/mm] M
> >
> > [mm]x=l_{1}- v_{1}[/mm] , [mm]y=l_{2}- v_{2}[/mm]
> >
> > [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>
> In diesem Schritt willst Du doch die Konvexität von M
> zeigen.
>
> Du willst also zeigen(!): [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>
>
> > [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm]
>
> Hier fehlen Klammern !
Richtig, die habe ich vergessen abzutippen.
>
> [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
> [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - ( [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm])
>
> Richtig ist
> >
> > wobei [mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L, [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm]
> > V
> >
> > Lässt sich damit etwas anfangen?
>
> Ja. Du bist fast am Ziel.
>
> Es ist [mm][mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L , weil L konvex >ist. Es ist [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm] [mm]\in[/mm] V, >weil V ein linearer Unterraum ist.
> Damit ist : [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M.
Das habe ich verstanden.
>
> Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?
> Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.
> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
Soweit ist es mir klar.
> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm] für alle k.
So und hier steige ich jetzt leider aus.
Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert [mm] x_{0} [/mm] enthält, wenn L [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset [/mm]
Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V. Dass der Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass die "Ränder" aneinander grenzen? Und daher muss der Grenzwert von V in K liegen, weil V offen und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber abgeschlossen, oder ? Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium ist schon etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man merkt)
> Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent
weil [mm] x_{n} [/mm] und [mm] v_{n} [/mm] konvergent sind?
> und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also
[mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir > fertig.
> Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes > ist abgeschlossen ! Damit ist [mm]l_0 \in[/mm] V.
> Fazit: [mm]x_0 \in[/mm] M.
>
> Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.
> Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm] > M und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]
> Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] > haben wir nicht benötigt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Mo 10.02.2020 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> vielen Dank für Deine Antwort.
>
> > > Sei L [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein kompakter, nichtleerer und
> > > konvexer Unterraum, V [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein linearer
> > > Unterraum, L [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]
> > > Zeige, dass M := L-V = [mm]\{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \}[/mm]
> > > geschlossen, konvex und nichtleer ist.
> > > Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll,
> bisher
> > > habe ich:
> > >
> > > [mm]\forall \delta \in[/mm] [0,1] , x, y [mm]\in[/mm] M
> > >
> > > [mm]x=l_{1}- v_{1}[/mm] , [mm]y=l_{2}- v_{2}[/mm]
> > >
> > > [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
> >
> > In diesem Schritt willst Du doch die Konvexität von M
> > zeigen.
> >
> > Du willst also zeigen(!): [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
> >
> >
> > > [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm]
>
> >
> > Hier fehlen Klammern !
>
> Richtig, die habe ich vergessen abzutippen.
>
> >
> > [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
> > [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - ( [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm])
>
> >
> > Richtig ist
> > >
> > > wobei [mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L, [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm]
> > > V
> > >
> > > Lässt sich damit etwas anfangen?
> >
> > Ja. Du bist fast am Ziel.
> >
> > Es ist [mm][mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L , weil L konvex >ist. Es ist [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm] [mm]\in[/mm] V, >weil V ein linearer Unterraum ist.
> Damit ist : [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M.
> Das habe ich verstanden.
>
> Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?
> Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.
> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
> Soweit ist es mir klar.
> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm] für alle k.
> So und hier steige ich jetzt leider aus.
> Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert > [mm]x_{0}[/mm] enthält,
Das hat doch niemand gesagt ! Gesagt habe ich: [mm] v_0 \in [/mm] L.
Schau nochmal nach, was Kompaktheit in metrischen Räumen bedeutet.
> wenn L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]
Ich habe Dir in meiner ersten Antwort gesagt, dass man L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm] nicht benötigt.
> Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V. Dass der Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass die "Ränder" aneinander grenzen? Und daher muss der Grenzwert von V in K liegen,
Was ist denn K ?????
> weil V offen
V ist nur dann offen, wenn V= [mm] \IR^n [/mm] ist !
> und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber abgeschlossen, oder ?
> Ja, das habe ich Dir doch schon gesagt. V ist ein linearer Unterraum des [mm] \IR^n [/mm] und daher abgeschlossen.
> Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium ist schon etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man merkt)
Was soll das Ganze ? Lass doch den Schnickschnack mit L $ [mm] \cap [/mm] $ V $ [mm] =\emptyset [/mm] $ einfach weg.
> >
> Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent
> weil [mm]x_{n}[/mm] und [mm]v_{n}[/mm] konvergent sind?
Das ist mühsam ! Wir haben [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm] für alle k.
( [mm] v_{n_k}) [/mm] und [mm] (x_{n_k}) [/mm] sind konvergent, also ist [mm] (l_{n_k}) [/mm] konvergent.
> und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also
[mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir > fertig.
> Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes > ist abgeschlossen ! Damit ist [mm]l_0 \in[/mm] V.
> Fazit: [mm]x_0 \in[/mm] M.
>
> Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.
> Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm] > M und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]
> Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] > haben wir nicht benötigt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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Hallo Fred,
oh, das tut mir leid, ich war scheinbar nicht ganz bei der Sache und habe Fehler eingebaut - ich korrigiere es unten noch mal. Ich habe von K statt von L gesprochen und von [mm] x_{0} [/mm] statt von [mm] v_{0}.
[/mm]
> > Sei L [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein kompakter, nichtleerer und
> > konvexer Unterraum, V [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein linearer
> > Unterraum, L [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]
> > Zeige, dass M := L-V = [mm]\{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \}[/mm]
> > geschlossen, konvex und nichtleer ist.
> > Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll, bisher
> > habe ich:
> >
> > [mm]\forall \delta \in[/mm] [0,1] , x, y [mm]\in[/mm] M
> >
> > [mm]x=l_{1}- v_{1}[/mm] , [mm]y=l_{2}- v_{2}[/mm]
> >
> > [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>
> In diesem Schritt willst Du doch die Konvexität von M
> zeigen.
>
> Du willst also zeigen(!): [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>
>
> > [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm]
>
> Hier fehlen Klammern !
Richtig, die habe ich vergessen abzutippen.
>
> [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
> [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - ( [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm])
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> Richtig ist
> >
> > wobei [mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L, [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm]
> > V
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> > Lässt sich damit etwas anfangen?
>
> Ja. Du bist fast am Ziel.
>
> Es ist [mm][mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L , weil L konvex >ist. Es ist [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm] [mm]\in[/mm] V, >weil V ein linearer Unterraum ist.
> Damit ist : [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M.
Das habe ich verstanden.
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> Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?
> Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.
> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
Soweit ist es mir klar.
> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm] für alle k.
So und hier steige ich jetzt leider aus.
Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert [mm] v_{0} [/mm] enthält, wenn L [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset [/mm]
Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V. Dass der Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass die "Ränder" aneinander grenzen? Und daher muss der Grenzwert von V in L liegen, weil V offen und L abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber abgeschlossen, oder ? Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium ist schon etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man merkt)
> Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent
weil [mm] x_{n} [/mm] und [mm] v_{n} [/mm] konvergent sind?
> und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also
[mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir > fertig.
> Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes > ist abgeschlossen ! Damit ist [mm]l_0 \in[/mm] V.
> Fazit: [mm]x_0 \in[/mm] M.
>
> Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.
> Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm] > M und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]
> Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] > haben wir nicht benötigt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mo 10.02.2020 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> oh, das tut mir leid, ich war scheinbar nicht ganz bei der
> Sache und habe Fehler eingebaut - ich korrigiere es unten
> noch mal. Ich habe von K statt von L gesprochen und von
> [mm]x_{0}[/mm] statt von [mm]v_{0}.[/mm]
Ich hab mir schon gedacht, dass Du K statt L und [mm] x_0 [/mm] statt [mm] v_0 [/mm] geschrieben hast.
Alle weiteren Fragen habe ich Dir schon beantwortet !!
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> Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?
> Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.
> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
> Soweit ist es mir klar.
> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm] für alle k.
> So und hier steige ich jetzt leider aus.
> Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert > [mm]x_{0}[/mm] enthält,
> Das hat doch niemand gesagt ! Gesagt habe ich: [mm]v_0 \in[/mm] L.
Es tut mir wirklich leid, aber dieser Schritt ist mir leider vollkommen unklar. Den Rest kann ich nachvollziehen. Ich weiß nicht, wieso [mm]v_0 \in[/mm] L gilt.
Ich weiß, dass du mir gesagt hast, dass wir die Eigenschaft nicht benutzen, dass der Schnitt von L und V leer ist. Aber genau da liegt mein Problem, wieso ich es nicht verstehe, wenn der Schnitt leer ist, V und L abgeschlossen sind, wieso ist dann [mm]v_0 \in[/mm] L?
Ich will nur erklären, wo mein Problem liegt - ich denke, ich habe da irgendwas Grundlegendes nicht verstanden.
Danke für deine Mühe.
> Schau nochmal nach, was Kompaktheit in metrischen Räumen bedeutet.
> wenn L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]
Ich habe Dir in meiner ersten Antwort gesagt, dass man L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm] nicht benötigt.
> Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V. Dass der
> Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass die "Ränder" > aneinander grenzen? Und daher muss der Grenzwert von V in K liegen,
> Was ist denn K ?????
> weil V offen
> V ist nur dann offen, wenn V= [mm]\IR^n[/mm] ist !
> und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber abgeschlossen, oder ?
> Ja, das habe ich Dir doch schon gesagt. V ist ein linearer Unterraum des [mm]\IR^n[/mm] und daher abgeschlossen.
> Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium ist schon
> etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man merkt)
> Was soll das Ganze ? Lass doch den Schnickschnack mit L > [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm] einfach weg.
> >
> Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent
> weil [mm]x_{n}[/mm] und [mm]v_{n}[/mm] konvergent sind?
> Das ist mühsam ! Wir haben [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm] für > alle k.
> ( [mm]v_{n_k})[/mm] und [mm](x_{n_k})[/mm] sind konvergent, also ist > [mm](l_{n_k})[/mm] konvergent.
> und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also
[mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir > fertig.
> Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes > ist abgeschlossen ! Damit ist [mm]l_0 \in[/mm] V.
> Fazit: [mm]x_0 \in[/mm] M.
>
> Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.
> Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm] > M und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]
> Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] > haben wir nicht benötigt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Mo 10.02.2020 | | Autor: | fred97 |
> > Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?
>
> > Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> > [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.
>
> > Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
>
> > [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
>
> > Soweit ist es mir klar.
>
> > L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente
> Teilfolge
> > [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
>
> > [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm] für alle k.
>
>
> > So und hier steige ich jetzt leider aus.
> > Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert >
> [mm]x_{0}[/mm] enthält,
>
> > Das hat doch niemand gesagt ! Gesagt habe ich: [mm]v_0 \in[/mm] L.
>
> Es tut mir wirklich leid, aber dieser Schritt ist mir
> leider vollkommen unklar. Den Rest kann ich nachvollziehen.
> Ich weiß nicht, wieso [mm]v_0 \in[/mm] L gilt.
Wie habt Ihr denn Kompaktheit in metrischen Räumen definiert bzw. charakterisiert ?
Sei (X;d) ein metrischer Raum und A eine Teilmenge von X.
Dann gilt: A ist kompakt [mm] \gdw [/mm] jede Folge in A enthält eine konvergente Teilfolg mit Grenzwert in A.
In Deiner Aufgabe ist ist X= [mm] \IR^n, [/mm] d die übliche euklidische Distanz, A=L und [mm] (a_n)=(v_n).
[/mm]
> Ich weiß, dass du mir gesagt hast, dass wir die
> Eigenschaft nicht benutzen, dass der Schnitt von L und V
> leer ist. Aber genau da liegt mein Problem, wieso ich es
> nicht verstehe, wenn der Schnitt leer ist, V und L
> abgeschlossen sind, wieso ist dann [mm]v_0 \in[/mm] L?
> Ich will nur erklären, wo mein Problem liegt - ich denke,
> ich habe da irgendwas Grundlegendes nicht verstanden.
>
> Danke für deine Mühe.
>
>
> > Schau nochmal nach, was Kompaktheit in metrischen Räumen
> bedeutet.
>
>
>
> > wenn L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]
>
> Ich habe Dir in meiner ersten Antwort gesagt, dass man L
> [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm] nicht benötigt.
>
>
> > Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V.
> Dass der
> > Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass
> die "Ränder" > aneinander grenzen? Und daher muss der
> Grenzwert von V in K liegen,
>
> > Was ist denn K ?????
>
>
> > weil V offen
>
> > V ist nur dann offen, wenn V= [mm]\IR^n[/mm] ist !
>
> > und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber
> abgeschlossen, oder ?
>
>
> > Ja, das habe ich Dir doch schon gesagt. V ist ein linearer
> Unterraum des [mm]\IR^n[/mm] und daher abgeschlossen.
>
>
>
> > Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium
> ist schon
> > etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man
> merkt)
>
> > Was soll das Ganze ? Lass doch den Schnickschnack mit L >
> [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm] einfach weg.
>
>
> > >
>
> > Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent
>
> > weil [mm]x_{n}[/mm] und [mm]v_{n}[/mm] konvergent sind?
>
> > Das ist mühsam ! Wir haben [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm] für
> > alle k.
>
>
> > ( [mm]v_{n_k})[/mm] und [mm](x_{n_k})[/mm] sind konvergent, also ist >
> [mm](l_{n_k})[/mm] konvergent.
>
>
> > und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also
>
> [mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
>
> > Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist,
> sind wir > fertig.
>
> > Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen
> normierten Raumes > ist abgeschlossen ! Damit ist [mm]l_0 \in[/mm]
> V.
>
> > Fazit: [mm]x_0 \in[/mm] M.
>
>
> >
>
> > Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.
>
> > Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm] > M
> und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]
>
>
> > Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] >
> haben wir nicht benötigt.
>
>
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> >
>
>
>
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> > > Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?
> >
> > > Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> > > [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.
> >
> > > Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> >
> > > [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
> >
> > > Soweit ist es mir klar.
> >
> > > L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente
> > Teilfolge
> > > [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
> >
> > > [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm] für alle k.
> >
> >
> > > So und hier steige ich jetzt leider aus.
> > > Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert >
> > [mm]x_{0}[/mm] enthält,
> >
> > > Das hat doch niemand gesagt ! Gesagt habe ich: [mm]v_0 \in[/mm] L.
> >
> > Es tut mir wirklich leid, aber dieser Schritt ist mir
> > leider vollkommen unklar. Den Rest kann ich nachvollziehen.
> > Ich weiß nicht, wieso [mm]v_0 \in[/mm] L gilt.
>
> Wie habt Ihr denn Kompaktheit in metrischen Räumen
> definiert bzw. charakterisiert ?
Mein Studium liegt ein paar Jahre zurück. Ich beschäftige mich eben mit Finanzmathematik, weil es mich interessiert - da bin ich auf die Aufgabe gestoßen. Daher fehlen mir einige Grundkenntnisse.
Wie ich jetzt aus den beiden Mitteilungen entnehme:
Es ist nicht [mm]v_0 \in[/mm] L sondern [mm]l_0 \in[/mm] L ?
Dann hätten sich meine Fragen erübrigt.
Denn mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, wieso [mm]v_0 \in[/mm] L, wo meiner Meinung nach gelten sollte [mm]v_0 \in[/mm] V
Ich hoffe, das ist es nun. Dann wäre mir der Lösungsweg klar.
Danke an alle Beteiligten ;)
>
> Sei (X;d) ein metrischer Raum und A eine Teilmenge von X.
>
> Dann gilt: A ist kompakt [mm]\gdw[/mm] jede Folge in A enthält eine
> konvergente Teilfolg mit Grenzwert in A.
>
> In Deiner Aufgabe ist ist X= [mm]\IR^n,[/mm] d die übliche
> euklidische Distanz, A=L und [mm](a_n)=(v_n).[/mm]
>
>
>
>
>
>
> > Ich weiß, dass du mir gesagt hast, dass wir die
> > Eigenschaft nicht benutzen, dass der Schnitt von L und V
> > leer ist. Aber genau da liegt mein Problem, wieso ich es
> > nicht verstehe, wenn der Schnitt leer ist, V und L
> > abgeschlossen sind, wieso ist dann [mm]v_0 \in[/mm] L?
> > Ich will nur erklären, wo mein Problem liegt - ich
> denke,
> > ich habe da irgendwas Grundlegendes nicht verstanden.
> >
> > Danke für deine Mühe.
> >
> >
> > > Schau nochmal nach, was Kompaktheit in metrischen Räumen
> > bedeutet.
> >
> >
> >
> > > wenn L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]
> >
> > Ich habe Dir in meiner ersten Antwort gesagt, dass man L
> > [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm] nicht benötigt.
> >
> >
> > > Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V.
> > Dass der
> > > Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass
> > die "Ränder" > aneinander grenzen? Und daher muss der
> > Grenzwert von V in K liegen,
> >
> > > Was ist denn K ?????
> >
> >
> > > weil V offen
> >
> > > V ist nur dann offen, wenn V= [mm]\IR^n[/mm] ist !
> >
> > > und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber
> > abgeschlossen, oder ?
> >
> >
> > > Ja, das habe ich Dir doch schon gesagt. V ist ein linearer
> > Unterraum des [mm]\IR^n[/mm] und daher abgeschlossen.
> >
> >
> >
> > > Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium
> > ist schon
> > > etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie
> man
> > merkt)
> >
> > > Was soll das Ganze ? Lass doch den Schnickschnack mit L >
> > [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm] einfach weg.
> >
> >
> > > >
> >
> > > Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent
> >
> > > weil [mm]x_{n}[/mm] und [mm]v_{n}[/mm] konvergent sind?
> >
> > > Das ist mühsam ! Wir haben [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm] für
> > > alle k.
> >
> >
> > > ( [mm]v_{n_k})[/mm] und [mm](x_{n_k})[/mm] sind konvergent, also ist >
> > [mm](l_{n_k})[/mm] konvergent.
> >
> >
> > > und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also
> >
> > [mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
> >
> > > Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist,
> > sind wir > fertig.
> >
> > > Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen
> > normierten Raumes > ist abgeschlossen ! Damit ist [mm]l_0 \in[/mm]
> > V.
> >
> > > Fazit: [mm]x_0 \in[/mm] M.
> >
> >
> > >
> >
> > > Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.
> >
> > > Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm] > M
> > und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]
> >
> >
> > > Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] >
> > haben wir nicht benötigt.
> >
> >
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> > >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Mo 10.02.2020 | | Autor: | fred97 |
Es tut mir leid, dass ich für Verwirrung bei Dir gesorgt habe.
Dass Dir nun alles klar ist, freut mich.
Gruß Fred
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mo 10.02.2020 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo fred,
> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge [mm](v_{n_k}) [/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm] für alle k.
Hier muss ich mal kurz zwischengrätschen.
Kann es sein, dass du hier mit der Notation etwas durcheinander kommst?
Es ist doch: [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
Damit ist insbesondere: [mm]l_n = x_n + v_n[/mm]
Nun kann man damit argumentieren, dass L kompakt ist und damit [mm] $l_n$ [/mm] (und nicht [mm] $v_n$) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] $l_{n_k}$ [/mm] besitzt für die gilt:
[mm]l_{n_k} = x_{n_k} + v_{n_k}[/mm]
Nach Vorausetzung ist [mm] x_{n_k} [/mm] sowieso konvergent und damit auch [mm] $v_{n_k}$ [/mm] mit [mm] $v_0 [/mm] = [mm] l_0 [/mm] - [mm] x_0$
[/mm]
> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir fertig.
[mm] l_0 [/mm] wird im allgemeinen ja nicht in V sein, sondern in L.
Aber dass [mm] v_0 [/mm] in V liegt, liegt an der Abgeschlossenheit von $V$
> Fazit: [mm]x_0 \in[/mm] M.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Mo 10.02.2020 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> > Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> > [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
>
> > L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente
> Teilfolge [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
> > [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm] für alle k.
>
> Hier muss ich mal kurz zwischengrätschen.
> Kann es sein, dass du hier mit der Notation etwas
> durcheinander kommst?
Hallo Gono,
Du hast recht !
>
> Es ist doch: [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
> Damit ist insbesondere: [mm]l_n = x_n + v_n[/mm]
>
> Nun kann man damit argumentieren, dass L kompakt ist und
> damit [mm]l_n[/mm] (und nicht [mm]v_n[/mm]) eine konvergente Teilfolge
> [mm]l_{n_k}[/mm] besitzt für die gilt:
> [mm]l_{n_k} = x_{n_k} + v_{n_k}[/mm]
Ja, genau so hab ich das gemeint (und leider verdaddelt)
Danke für die Richtigstellung.
Gruß FRED
>
> Nach Vorausetzung ist [mm]x_{n_k}[/mm] sowieso konvergent und damit
> auch [mm]v_{n_k}[/mm] mit [mm]v_0 = l_0 - x_0[/mm]
>
> > Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist,
> sind wir fertig.
> [mm]l_0[/mm] wird im allgemeinen ja nicht in V sein, sondern in L.
> Aber dass [mm]v_0[/mm] in V liegt, liegt an der Abgeschlossenheit
> von [mm]V[/mm]
>
> > Fazit: [mm]x_0 \in[/mm] M.
>
>
> Gruß,
> Gono
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