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Konvex und Abgeschlossenheit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 So 09.02.2020
Autor: kiwi_1234

Aufgabe
Sei L [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] ein kompakter, nichtleerer und konvexer Unterraum, V  [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] ein linearer Unterraum, L [mm] \cap [/mm] V [mm] =\emptyset [/mm]
Zeige, dass M := L-V = [mm] \{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \} [/mm] geschlossen, konvex und nichtleer ist.

Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll, bisher habe ich:

[mm] \forall \delta \in [/mm] [0,1] , x, y [mm] \in [/mm] M

[mm] x=l_{1}- v_{1} [/mm] , [mm] y=l_{2}- v_{2} [/mm]

[mm] \delta [/mm] x + [mm] (1-\delta) [/mm] y [mm] \in [/mm] M
[mm] =\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} [/mm] - [mm] \delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} [/mm]

wobei  [mm] \delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in [/mm] L, [mm] \delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in [/mm] V

Lässt sich damit etwas anfangen?

Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:42 Mo 10.02.2020
Autor: fred97


> Sei L [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein kompakter, nichtleerer und
> konvexer Unterraum, V  [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein linearer
> Unterraum, L [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]
>  Zeige, dass M := L-V = [mm]\{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \}[/mm]
> geschlossen, konvex und nichtleer ist.
>  Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll, bisher
> habe ich:
>  
> [mm]\forall \delta \in[/mm] [0,1] , x, y [mm]\in[/mm] M
>  
> [mm]x=l_{1}- v_{1}[/mm] , [mm]y=l_{2}- v_{2}[/mm]
>  
> [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M

In diesem Schritt willst Du doch die Konvexität von M zeigen.

Du willst also zeigen(!): [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M


>  [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm]

Hier fehlen Klammern !

[mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
[mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - ( [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm])

Richtig ist

>  
> wobei  [mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L, [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm]
> V
>  
> Lässt sich damit etwas anfangen?

Ja. Du bist fast am Ziel.

Es ist [mm][mm] \delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in [/mm] L , weil L konvex ist. Es ist  [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm] [mm] \in [/mm] V, weil V ein linearer Unterraum ist.

Damit ist : [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M.


>  
> Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

Z.B. so: sei [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Folge in M und [mm] x_0 [/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm] x_0 \in [/mm] M.

Es gibt Folgen [mm] (l_n) [/mm] in L und [mm] (v_n) [/mm] in V mit

    [mm] x_n =l_n-v_n [/mm] für alle n.

L ist kompakt, also enthält [mm] (v_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (v_{n_k}) [/mm] mit Grenzwert [mm] v_0 \in [/mm] L. Dann ist

   [mm] l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k} [/mm]  für alle k.

Damit ist ( [mm] l_{n_k}) [/mm] konvergent und hat den Grenzwert [mm] l_0:=x_0+v_0, [/mm] also

   [mm] x_0=l_0-v_0. [/mm]

Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm] l_0 \in [/mm] V ist, sind wir fertig.

Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes ist abgeschlossen !  Damit ist [mm] l_0 \in [/mm] V.

Fazit:  [mm] x_0 \in [/mm] M.


>  

Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm] \ne \emptyset [/mm] ist.

Das ist aber einfach: wegen 0 [mm] \in [/mm] V ist L [mm] \subseteq [/mm] M und L [mm] \ne \emptyset. [/mm]


Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung $L [mm] \cap V=\emptyset [/mm] $ haben wir nicht benötigt.


>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:54 Mo 10.02.2020
Autor: kiwi_1234

Hallo Fred,

vielen Dank für Deine Antwort.

> > Sei L [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein kompakter, nichtleerer und
> > konvexer Unterraum, V  [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein linearer
> > Unterraum, L [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]
>  >  Zeige, dass M := L-V = [mm]\{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \}[/mm]
> > geschlossen, konvex und nichtleer ist.
>  >  Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll, bisher
> > habe ich:
>  >  
> > [mm]\forall \delta \in[/mm] [0,1] , x, y [mm]\in[/mm] M
>  >  
> > [mm]x=l_{1}- v_{1}[/mm] , [mm]y=l_{2}- v_{2}[/mm]
>  >  
> > [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  
> In diesem Schritt willst Du doch die Konvexität von M
> zeigen.
>
> Du willst also zeigen(!): [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  
>
> >  [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm]

>  
>  Hier fehlen Klammern !

Richtig, die habe ich vergessen abzutippen.

>  
> [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>   [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - ( [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm])
>  
> Richtig ist
>  >  
> > wobei  [mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L, [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm]
> > V
>  >  
> > Lässt sich damit etwas anfangen?
>  
> Ja. Du bist fast am Ziel.
>
> Es ist [mm][mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L , weil L konvex >ist. Es ist  [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm] [mm]\in[/mm] V, >weil V ein linearer Unterraum ist.

> Damit ist : [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M.

Das habe ich verstanden.


>  
>  Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

> Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.

> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit

> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.

Soweit ist es mir klar.

> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist

> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.


So und hier steige ich jetzt leider aus.
Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert [mm] x_{0} [/mm] enthält, wenn L [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset [/mm]
Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V. Dass der Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass die "Ränder" aneinander grenzen? Und daher muss der Grenzwert von V in K liegen, weil V offen und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber abgeschlossen, oder ? Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium ist schon etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man merkt)

> Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent

weil [mm] x_{n} [/mm] und [mm] v_{n} [/mm] konvergent sind?

> und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also

[mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]

> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir > fertig.

> Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes > ist abgeschlossen !  Damit ist [mm]l_0 \in[/mm] V.

> Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.


>  

> Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.

> Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm]  > M und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]


> Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] > haben wir nicht benötigt.


>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>  

>  



Bezug
                        
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:49 Mo 10.02.2020
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> vielen Dank für Deine Antwort.
>
> > > Sei L [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein kompakter, nichtleerer und
> > > konvexer Unterraum, V  [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein linearer
> > > Unterraum, L [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]
>  >  >  Zeige, dass M := L-V = [mm]\{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \}[/mm]
> > > geschlossen, konvex und nichtleer ist.
>  >  >  Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll,
> bisher
> > > habe ich:
>  >  >  
> > > [mm]\forall \delta \in[/mm] [0,1] , x, y [mm]\in[/mm] M
>  >  >  
> > > [mm]x=l_{1}- v_{1}[/mm] , [mm]y=l_{2}- v_{2}[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  >  
> > In diesem Schritt willst Du doch die Konvexität von M
> > zeigen.
> >
> > Du willst also zeigen(!): [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  >  
> >
> > >  [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm]

>  
> >  

> >  Hier fehlen Klammern !

>  
>  Richtig, die habe ich vergessen abzutippen.
>
> >  

> > [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  >   [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - ( [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm])
>  
> >  

> > Richtig ist
>  >  >  
> > > wobei  [mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L, [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm]
> > > V
>  >  >  
> > > Lässt sich damit etwas anfangen?
>  >  
> > Ja. Du bist fast am Ziel.
> >
> > Es ist [mm][mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L , weil L konvex >ist. Es ist  [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm] [mm]\in[/mm] V, >weil V ein linearer Unterraum ist.

  

> Damit ist : [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M.

  

>  Das habe ich verstanden.


>  
>  Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

  

> Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.

  

> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit

> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.

> Soweit ist es mir klar.

  

> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist

  

> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.


> So und hier steige ich jetzt leider aus.
> Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert > [mm]x_{0}[/mm] enthält,

Das hat doch niemand gesagt ! Gesagt habe ich: [mm] v_0 \in [/mm] L.

Schau nochmal nach, was Kompaktheit in metrischen Räumen bedeutet.



> wenn L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]

Ich habe Dir in meiner ersten Antwort gesagt, dass man  L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]  nicht benötigt.


> Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V. Dass der Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass die "Ränder" aneinander grenzen? Und daher muss der Grenzwert von V in K liegen,

Was ist denn K ?????


>  weil V offen

V ist nur dann offen, wenn V= [mm] \IR^n [/mm] ist !

> und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber abgeschlossen, oder ?


> Ja, das habe ich Dir doch schon gesagt. V ist ein linearer Unterraum des [mm] \IR^n [/mm] und daher abgeschlossen.



> Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium ist schon etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man merkt)

Was soll das Ganze ? Lass doch den Schnickschnack mit  L $ [mm] \cap [/mm] $ V $ [mm] =\emptyset [/mm] $  einfach weg.


>  >  

  

> Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent

>  weil [mm]x_{n}[/mm] und [mm]v_{n}[/mm] konvergent sind?

Das ist mühsam ! Wir haben  [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.


( [mm] v_{n_k}) [/mm] und [mm] (x_{n_k}) [/mm] sind konvergent, also ist [mm] (l_{n_k}) [/mm] konvergent.


> und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also

  
[mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
  

> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir > fertig.

  

> Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes > ist abgeschlossen !  Damit ist [mm]l_0 \in[/mm] V.

  

> Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.

  

>  

> Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.

  

> Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm]  > M und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]

  

> Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] > haben wir nicht benötigt.

  

>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

  >  

>  




Bezug
                                
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Mo 10.02.2020
Autor: kiwi_1234

Hallo Fred,

oh, das tut mir leid, ich war scheinbar nicht ganz bei der Sache und habe Fehler eingebaut - ich korrigiere es unten noch mal. Ich habe von K statt von L gesprochen und von [mm] x_{0} [/mm] statt von [mm] v_{0}. [/mm]

> > Sei L [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein kompakter, nichtleerer und
> > konvexer Unterraum, V  [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein linearer
> > Unterraum, L [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]
>  >  Zeige, dass M := L-V = [mm]\{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \}[/mm]
> > geschlossen, konvex und nichtleer ist.
>  >  Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll, bisher
> > habe ich:
>  >  
> > [mm]\forall \delta \in[/mm] [0,1] , x, y [mm]\in[/mm] M
>  >  
> > [mm]x=l_{1}- v_{1}[/mm] , [mm]y=l_{2}- v_{2}[/mm]
>  >  
> > [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  
> In diesem Schritt willst Du doch die Konvexität von M
> zeigen.
>
> Du willst also zeigen(!): [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  
>
> >  [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm]

>  
>  Hier fehlen Klammern !

Richtig, die habe ich vergessen abzutippen.

>  
> [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>   [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - ( [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm])
>  
> Richtig ist
>  >  
> > wobei  [mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L, [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm]
> > V
>  >  
> > Lässt sich damit etwas anfangen?
>  
> Ja. Du bist fast am Ziel.
>
> Es ist [mm][mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L , weil L konvex >ist. Es ist  [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm] [mm]\in[/mm] V, >weil V ein linearer Unterraum ist.

> Damit ist : [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M.

Das habe ich verstanden.


>  
>  Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

> Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.

> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit

> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.

Soweit ist es mir klar.

> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist

> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.


So und hier steige ich jetzt leider aus.
Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert [mm] v_{0} [/mm] enthält, wenn L [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset [/mm]
Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V. Dass der Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass die "Ränder" aneinander grenzen? Und daher muss der Grenzwert von V in L liegen, weil V offen und L abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber abgeschlossen, oder ? Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium ist schon etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man merkt)

> Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent

weil [mm] x_{n} [/mm] und [mm] v_{n} [/mm] konvergent sind?

> und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also

[mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]

> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir > fertig.

> Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes > ist abgeschlossen !  Damit ist [mm]l_0 \in[/mm] V.

> Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.


>  

> Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.

> Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm]  > M und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]


> Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] > haben wir nicht benötigt.


>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>  

>  



Bezug
                                        
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Mo 10.02.2020
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> oh, das tut mir leid, ich war scheinbar nicht ganz bei der
> Sache und habe Fehler eingebaut - ich korrigiere es unten
> noch mal. Ich habe von K statt von L gesprochen und von
> [mm]x_{0}[/mm] statt von [mm]v_{0}.[/mm]

Ich hab mir schon gedacht, dass Du K statt L und [mm] x_0 [/mm] statt [mm] v_0 [/mm] geschrieben hast.

Alle weiteren Fragen habe ich Dir schon beantwortet !!

Bezug
                                
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Mo 10.02.2020
Autor: kiwi_1234


>  Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

  

> Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.

  

> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit

> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.

  

> Soweit ist es mir klar.

  

> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist

  

> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.

  

> So und hier steige ich jetzt leider aus.
> Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert > [mm]x_{0}[/mm] enthält,

> Das hat doch niemand gesagt ! Gesagt habe ich: [mm]v_0 \in[/mm] L.

Es tut mir wirklich leid, aber dieser Schritt ist mir leider vollkommen unklar. Den Rest kann ich nachvollziehen. Ich weiß nicht, wieso [mm]v_0 \in[/mm] L gilt.
Ich weiß, dass du mir gesagt hast, dass wir die Eigenschaft nicht benutzen, dass der Schnitt von L und V leer ist. Aber genau da liegt mein Problem, wieso ich es nicht verstehe, wenn der Schnitt leer ist, V und L abgeschlossen sind, wieso ist dann [mm]v_0 \in[/mm] L?
Ich will nur erklären, wo mein Problem liegt - ich denke, ich habe da irgendwas Grundlegendes nicht verstanden.

Danke für deine Mühe.


> Schau nochmal nach, was Kompaktheit in metrischen Räumen bedeutet.



> wenn L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]

Ich habe Dir in meiner ersten Antwort gesagt, dass man  L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]  nicht benötigt.


> Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V. Dass der  
> Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass die "Ränder" > aneinander grenzen? Und daher muss der Grenzwert von V in K liegen,

> Was ist denn K ?????


>  weil V offen

> V ist nur dann offen, wenn V= [mm]\IR^n[/mm] ist !

> und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber abgeschlossen, oder ?


> Ja, das habe ich Dir doch schon gesagt. V ist ein linearer Unterraum des [mm]\IR^n[/mm] und daher abgeschlossen.



> Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium ist schon

> etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man merkt)

> Was soll das Ganze ? Lass doch den Schnickschnack mit  L > [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]  einfach weg.


>  >  

> Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent

>  weil [mm]x_{n}[/mm] und [mm]v_{n}[/mm] konvergent sind?

> Das ist mühsam ! Wir haben  [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für > alle k.


> ( [mm]v_{n_k})[/mm] und [mm](x_{n_k})[/mm] sind konvergent, also ist > [mm](l_{n_k})[/mm] konvergent.


> und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also

  
[mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
  

> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir > fertig.

  

> Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes > ist abgeschlossen !  Damit ist [mm]l_0 \in[/mm] V.

  

> Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.

  

>  

> Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.

  

> Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm]  > M und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]

  

> Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] > haben wir nicht benötigt.

  

>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

   >  

>  





Bezug
                                        
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Mo 10.02.2020
Autor: fred97


> >  Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

>    
> > Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> > [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.
>    
> > Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
>
> > [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
>    
> > Soweit ist es mir klar.
>    
> > L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente
> Teilfolge
> > [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
>    
> > [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.
>    
>
> > So und hier steige ich jetzt leider aus.
> > Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert >
> [mm]x_{0}[/mm] enthält,
>
> > Das hat doch niemand gesagt ! Gesagt habe ich: [mm]v_0 \in[/mm] L.
>
> Es tut mir wirklich leid, aber dieser Schritt ist mir
> leider vollkommen unklar. Den Rest kann ich nachvollziehen.
> Ich weiß nicht, wieso [mm]v_0 \in[/mm] L gilt.

Wie habt Ihr denn Kompaktheit in metrischen Räumen definiert bzw. charakterisiert ?

Sei (X;d) ein metrischer Raum und A eine Teilmenge von X.

Dann gilt: A ist kompakt [mm] \gdw [/mm] jede Folge in A enthält eine konvergente Teilfolg mit Grenzwert in A.

In Deiner Aufgabe ist ist X= [mm] \IR^n, [/mm] d die übliche euklidische Distanz, A=L und [mm] (a_n)=(v_n). [/mm]






>  Ich weiß, dass du mir gesagt hast, dass wir die
> Eigenschaft nicht benutzen, dass der Schnitt von L und V
> leer ist. Aber genau da liegt mein Problem, wieso ich es
> nicht verstehe, wenn der Schnitt leer ist, V und L
> abgeschlossen sind, wieso ist dann [mm]v_0 \in[/mm] L?
>  Ich will nur erklären, wo mein Problem liegt - ich denke,
> ich habe da irgendwas Grundlegendes nicht verstanden.
>  
> Danke für deine Mühe.
>  
>
> > Schau nochmal nach, was Kompaktheit in metrischen Räumen
> bedeutet.
>  
>
>
> > wenn L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]
>
> Ich habe Dir in meiner ersten Antwort gesagt, dass man  L
> [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]  nicht benötigt.
>  
>
> > Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V.
> Dass der  
> > Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass
> die "Ränder" > aneinander grenzen? Und daher muss der
> Grenzwert von V in K liegen,
>  
> > Was ist denn K ?????
>  
>
> >  weil V offen

>
> > V ist nur dann offen, wenn V= [mm]\IR^n[/mm] ist !
>  
> > und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber
> abgeschlossen, oder ?
>
>
> > Ja, das habe ich Dir doch schon gesagt. V ist ein linearer
> Unterraum des [mm]\IR^n[/mm] und daher abgeschlossen.
>  
>
>
> > Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium
> ist schon
>   > etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man

> merkt)
>  
> > Was soll das Ganze ? Lass doch den Schnickschnack mit  L >
> [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]  einfach weg.
>  
>
> >  >  

>
> > Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent
>
> >  weil [mm]x_{n}[/mm] und [mm]v_{n}[/mm] konvergent sind?

>  
> > Das ist mühsam ! Wir haben  [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für
> > alle k.
>  
>
> > ( [mm]v_{n_k})[/mm] und [mm](x_{n_k})[/mm] sind konvergent, also ist >
> [mm](l_{n_k})[/mm] konvergent.
>  
>
> > und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also
>    
> [mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
>    
> > Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist,
> sind wir > fertig.
>    
> > Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen
> normierten Raumes > ist abgeschlossen !  Damit ist [mm]l_0 \in[/mm]
> V.
>    
> > Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.
>    
>
> >  

>
> > Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.
>    
> > Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm]  > M
> und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]
>    
>
> > Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] >
> haben wir nicht benötigt.
>    
>
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>     >  
> >  

>
>
>
>  


Bezug
                                                
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Mo 10.02.2020
Autor: kiwi_1234


> > >  Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

>  >    
> > > Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> > > [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.
>  >    
> > > Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> >
> > > [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
>  >    
> > > Soweit ist es mir klar.
>  >    
> > > L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente
> > Teilfolge
> > > [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
>  >    
> > > [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.
>  >    
> >
> > > So und hier steige ich jetzt leider aus.
> > > Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert >
> > [mm]x_{0}[/mm] enthält,
> >
> > > Das hat doch niemand gesagt ! Gesagt habe ich: [mm]v_0 \in[/mm] L.
> >
> > Es tut mir wirklich leid, aber dieser Schritt ist mir
> > leider vollkommen unklar. Den Rest kann ich nachvollziehen.
> > Ich weiß nicht, wieso [mm]v_0 \in[/mm] L gilt.
>  
> Wie habt Ihr denn Kompaktheit in metrischen Räumen
> definiert bzw. charakterisiert ?


Mein Studium liegt ein paar Jahre zurück. Ich beschäftige mich eben mit Finanzmathematik, weil es mich interessiert - da bin ich auf die Aufgabe gestoßen. Daher fehlen mir einige Grundkenntnisse.

Wie ich jetzt aus den beiden Mitteilungen entnehme:

Es ist nicht  [mm]v_0 \in[/mm] L sondern  [mm]l_0 \in[/mm] L ?
Dann hätten sich meine Fragen erübrigt.
Denn mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, wieso  [mm]v_0 \in[/mm] L, wo meiner Meinung nach gelten sollte  [mm]v_0 \in[/mm] V

Ich hoffe, das ist es nun. Dann wäre mir der Lösungsweg klar.

Danke an alle Beteiligten ;)


>  
> Sei (X;d) ein metrischer Raum und A eine Teilmenge von X.
>  
> Dann gilt: A ist kompakt [mm]\gdw[/mm] jede Folge in A enthält eine
> konvergente Teilfolg mit Grenzwert in A.
>  
> In Deiner Aufgabe ist ist X= [mm]\IR^n,[/mm] d die übliche
> euklidische Distanz, A=L und [mm](a_n)=(v_n).[/mm]
>  
>
>
>
>
>
> >  Ich weiß, dass du mir gesagt hast, dass wir die

> > Eigenschaft nicht benutzen, dass der Schnitt von L und V
> > leer ist. Aber genau da liegt mein Problem, wieso ich es
> > nicht verstehe, wenn der Schnitt leer ist, V und L
> > abgeschlossen sind, wieso ist dann [mm]v_0 \in[/mm] L?
>  >  Ich will nur erklären, wo mein Problem liegt - ich
> denke,
> > ich habe da irgendwas Grundlegendes nicht verstanden.
>  >  
> > Danke für deine Mühe.
>  >  
> >
> > > Schau nochmal nach, was Kompaktheit in metrischen Räumen
> > bedeutet.
>  >  
> >
> >
> > > wenn L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]
> >
> > Ich habe Dir in meiner ersten Antwort gesagt, dass man  L
> > [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]  nicht benötigt.
>  >  
> >
> > > Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V.
> > Dass der  
> > > Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass
> > die "Ränder" > aneinander grenzen? Und daher muss der
> > Grenzwert von V in K liegen,
>  >  
> > > Was ist denn K ?????
>  >  
> >
> > >  weil V offen

> >
> > > V ist nur dann offen, wenn V= [mm]\IR^n[/mm] ist !
>  >  
> > > und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber
> > abgeschlossen, oder ?
> >
> >
> > > Ja, das habe ich Dir doch schon gesagt. V ist ein linearer
> > Unterraum des [mm]\IR^n[/mm] und daher abgeschlossen.
>  >  
> >
> >
> > > Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium
> > ist schon
>  >   > etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie

> man
> > merkt)
>  >  
> > > Was soll das Ganze ? Lass doch den Schnickschnack mit  L >
> > [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]  einfach weg.
>  >  
> >
> > >  >  

> >
> > > Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent
> >
> > >  weil [mm]x_{n}[/mm] und [mm]v_{n}[/mm] konvergent sind?

>  >  
> > > Das ist mühsam ! Wir haben  [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für
> > > alle k.
>  >  
> >
> > > ( [mm]v_{n_k})[/mm] und [mm](x_{n_k})[/mm] sind konvergent, also ist >
> > [mm](l_{n_k})[/mm] konvergent.
>  >  
> >
> > > und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also
>  >    
> > [mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
>  >    
> > > Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist,
> > sind wir > fertig.
>  >    
> > > Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen
> > normierten Raumes > ist abgeschlossen !  Damit ist [mm]l_0 \in[/mm]
> > V.
>  >    
> > > Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.
>  >    
> >
> > >  

> >
> > > Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.
>  >    
> > > Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm]  > M
> > und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]
>  >    
> >
> > > Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] >
> > haben wir nicht benötigt.
>  >    
> >
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
>  >     >  
> > >  

> >
> >
> >
> >  

>  


Bezug
                                                        
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Mo 10.02.2020
Autor: fred97

Es tut mir leid, dass ich für Verwirrung bei Dir gesorgt habe.

Dass Dir nun alles klar ist,  freut mich.

Gruß  Fred

Bezug
                
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 Mo 10.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hallo fred,

> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.

> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge [mm](v_{n_k}) [/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.

Hier muss ich mal kurz zwischengrätschen.
Kann es sein, dass du hier mit der Notation etwas durcheinander kommst?

Es ist doch: [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
Damit ist insbesondere: [mm]l_n = x_n + v_n[/mm]

Nun kann man damit argumentieren, dass L kompakt ist und damit [mm] $l_n$ [/mm] (und nicht [mm] $v_n$) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] $l_{n_k}$ [/mm] besitzt für die gilt:
[mm]l_{n_k} = x_{n_k} + v_{n_k}[/mm]

Nach Vorausetzung ist [mm] x_{n_k} [/mm] sowieso konvergent und damit auch [mm] $v_{n_k}$ [/mm] mit [mm] $v_0 [/mm] = [mm] l_0 [/mm] - [mm] x_0$ [/mm]

> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir fertig.

[mm] l_0 [/mm] wird im allgemeinen ja nicht in V sein, sondern in L.
Aber dass [mm] v_0 [/mm] in V liegt, liegt an der Abgeschlossenheit von $V$

> Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.

[ok]

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 Mo 10.02.2020
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> > Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> > [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
>  
> > L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente
> Teilfolge [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
>  > [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.

>  
> Hier muss ich mal kurz zwischengrätschen.
>  Kann es sein, dass du hier mit der Notation etwas
> durcheinander kommst?

Hallo Gono,

Du hast recht !

>
> Es ist doch: [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
>  Damit ist insbesondere: [mm]l_n = x_n + v_n[/mm]
>  
> Nun kann man damit argumentieren, dass L kompakt ist und
> damit [mm]l_n[/mm] (und nicht [mm]v_n[/mm]) eine konvergente Teilfolge
> [mm]l_{n_k}[/mm] besitzt für die gilt:
>  [mm]l_{n_k} = x_{n_k} + v_{n_k}[/mm]


Ja, genau so hab ich das gemeint (und leider verdaddelt)


Danke für die Richtigstellung.

Gruß FRED

>  
> Nach Vorausetzung ist [mm]x_{n_k}[/mm] sowieso konvergent und damit
> auch [mm]v_{n_k}[/mm] mit [mm]v_0 = l_0 - x_0[/mm]
>  
> > Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist,
> sind wir fertig.
>  [mm]l_0[/mm] wird im allgemeinen ja nicht in V sein, sondern in L.
>  Aber dass [mm]v_0[/mm] in V liegt, liegt an der Abgeschlossenheit
> von [mm]V[/mm]
>  
> > Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.
>  [ok]
>  
> Gruß,
>  Gono


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