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| Aufgabe | Gegeben sei ein Approximationsproblem mit den Daten (X, [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel), [/mm] M [mm] \subset [/mm] X und z [mm] \in [/mm] X. Man zeige:
a) Ist M [mm] \subset [/mm] X konvex, so ist die Menge der besten Approximierenden an z bezüglich M ebenfalls eine konvexe Menge.
b) Ist M [mm] \subset [/mm] X konvex und die Norm [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] strikt, d.h. gilt die Implikation [mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel=\parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel \Rightarrow [/mm] x und y sind linear abhängig, so existiert höchstens eine beste Approximierende an z bezüglich M.
c) Ist [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] durch ein inneres Produkt (*,*) erzeugt, so ist die Norm [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] strikt. Fernen gilt die sogeannte Parallelogrammgleichung. |
Hi Leute, zu a) und b) habe ich eine Lösung. Die ich aber leider nicht ganz so verstehe.
a) Sei B(z,M) die Menge der besten Approx. an z bzgl. M. Weiterhin kennen wir die abgeschlossene Normkugel mit [mm] \overline{K_r}(z):=(y\in \IR: \parallel [/mm] g-z [mm] \parallel \le [/mm] r) und wissen, dass diese auch stets konvex ist. Dann folgt mit
[mm] B(z,M)=V\cap \overline{K_r}(z), [/mm] d.h. als Schnitt konvexer Mengen muss auch B(z,M) konvex sein!
Hier meine erste Frage, wieso gilt denn überhaupt [mm] B(z,M)=V\cap \overline{K_r}(z), [/mm] woran erkennt man das?
b) O.B.d.A seinen [mm] p_1 \not= p_2 \in [/mm] X beste Approx. von z, so ist nach a) auch [mm] p:=\bruch{1}{2}(p_1+p_2) \in [/mm] X eine beste App. von z aus X. Nach Voraussetzung liegt dieser jedoch im Inneren der Normkugel [mm] \overline{K_d}(z)( d:=d_m(z) [/mm] entspricht den minimalen Abstand), d.h. [mm] \parallel [/mm] z-p [mm] \parallel [/mm] < [mm] d_m(z), [/mm] im Wiederspruch zur Minimalität von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2.
[/mm]
So, bei dieer Aufgabe habe ich noch mehr Verständnisprobleme.
Wieso folgt nach a) [mm] p:=\bruch{1}{2}(p_1+p_2) \in [/mm] X eine beste App. von z aus X. Und wieso seht [mm] \parallel [/mm] z-p [mm] \parallel [/mm] < [mm] d_m(z), [/mm] im Wiederspruch zur Minimalität von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2???
[/mm]
Danke für Erklärungen.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei ein Approximationsproblem mit den Daten (X,
> [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel),[/mm] M [mm]\subset[/mm] X und z [mm]\in[/mm] X. Man
> zeige:
>
> a) Ist M [mm]\subset[/mm] X konvex, so ist die Menge der besten
> Approximierenden an z bezüglich M ebenfalls eine konvexe
> Menge.
>
> b) Ist M [mm]\subset[/mm] X konvex und die Norm [mm]\parallel[/mm] *
> [mm]\parallel[/mm] strikt, d.h. gilt die Implikation [mm]\parallel[/mm] x+y
> [mm]\parallel=\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] + [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel \Rightarrow[/mm]
> x und y sind linear abhängig, so existiert höchstens eine
> beste Approximierende an z bezüglich M.
>
> c) Ist [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] durch ein inneres Produkt
> (*,*) erzeugt, so ist die Norm [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm]
> strikt. Fernen gilt die sogeannte Parallelogrammgleichung.
> Hi Leute, zu a) und b) habe ich eine Lösung. Die ich aber
> leider nicht ganz so verstehe.
>
> a) Sei B(z,M) die Menge der besten Approx. an z bzgl. M.
> Weiterhin kennen wir die abgeschlossene Normkugel mit
> [mm]\overline{K_r}(z):=(y\in \IR: \parallel[/mm] g-z [mm]\parallel \le[/mm]
> r) und wissen, dass diese auch stets konvex ist. Dann folgt
> mit
>
> [mm]B(z,M)=V\cap \overline{K_r}(z),[/mm] d.h. als Schnitt konvexer
> Mengen muss auch B(z,M) konvex sein!
>
> Hier meine erste Frage, wieso gilt denn überhaupt
> [mm]B(z,M)=V\cap \overline{K_r}(z),[/mm] woran erkennt man das?
es geht leider nicht hervor, was das [mm] $\,V$ [/mm] dabei ist. Aber generell ist hier nur eine Mengengleichheit einzusehen, d.h. Du musst nur zeigen, dass sowohl $B(z,M) [mm] \subseteq V\cap \overline{K_r}(z)$ [/mm] als auch [mm] $V\cap \overline{K_r}(z) \subseteq [/mm] B(z,M)$ gilt.
> b) O.B.d.A seinen [mm]p_1 \not= p_2 \in[/mm] X beste Approx. von z,
> so ist nach a) auch [mm]p:=\bruch{1}{2}(p_1+p_2) \in[/mm] X eine
> beste App. von z aus X. Nach Voraussetzung liegt dieser
> jedoch im Inneren der Normkugel [mm]\overline{K_d}(z)( d:=d_m(z)[/mm]
> entspricht den minimalen Abstand), d.h. [mm]\parallel[/mm] z-p
> [mm]\parallel[/mm] < [mm]d_m(z),[/mm] im Wiederspruch zur Minimalität von
> [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2.[/mm]
>
> So, bei dieer Aufgabe habe ich noch mehr
> Verständnisprobleme.
>
> Wieso folgt nach a) [mm]p:=\bruch{1}{2}(p_1+p_2) \in[/mm] X eine
> beste App. von z aus X.
Ganz einfach: Die Menge der besten Approx. ist konvex, also gilt, weil [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] beste Approx. sind, dass auch jede Konvexkombination [mm] $p(\lambda):=\lambda*p_1+(1-\lambda)*p_2$, [/mm] wobei [mm] $\lambda \in [/mm] [0,1]$, eine beste Approx. ist. Setze in [mm] $p(\lambda)$ [/mm] speziell [mm] $\lambda=1/2$ [/mm] ein, und Du erkennst, dass insbesondere $p=p(1/2)$ eine beste Approx. ist.
> Und wieso seht [mm]\parallel[/mm] z-p
> [mm]\parallel[/mm] < [mm]d_m(z),[/mm] im Wiederspruch zur Minimalität von
> [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2???[/mm]
Zur Sprache:
Es wird hier nicht wieder gesprochen, sondern widersprochen. (wider=gegen) 
Und der Widerspruch ergibt sich doch folgendermaßen:
Ein bestes Approximierendes hat doch den Abstand [mm] $d=d_M(z)$ [/mm] (ich denke, dass das kleine [mm] $m\,$ [/mm] bei [mm] $d_m(z)$ [/mm] ein Verschreiber deinerseits war) zu [mm] $z\,,$ [/mm] und dabei ist [mm] $d_M(z)$ [/mm] das Infimum gebildet über die Menge aller Abstände zwischen Elementen aus [mm] $M\,$ [/mm] und dem Element $z [mm] \in X\,.$ [/mm]
(Das heißt insbesondere, dass man in [mm] $M\,$ [/mm] kein Element finden kann, welches einen Abstand zu [mm] $z\,$ [/mm] hat, der kleiner als [mm] $d\,$ [/mm] ist. Beachte: I.A. muss das Infimum nicht angenommen werden. Oben könnte man anstatt Infimum auch Minimum schreiben, weil dieses Infimum ja für z.B. [mm] $p_1 \in [/mm] M$ (nach Voraussetzung) angenommen wird!)
Nun sind oben aber [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] beste Approximierende an [mm] $z\,,$ [/mm] d.h. insbesondere, dass beides auch Elemente aus [mm] $M\,$ [/mm] sind, und ferner gilt nach Definition von [mm] $d=d_M(z)$ [/mm] somit
[mm] $$\|z-p_1\|=\|z-p_2\|=d\,.$$ [/mm]
Weil [mm] $M\,$ [/mm] konvex ist, ist auch $p [mm] \in M\,,$ [/mm] und daher muss nach Definition von [mm] $d=\text{inf}\{\|z-m\|:m \in M\}$ [/mm] somit
[mm] $$\|z-p\| \ge [/mm] d$$
gelten, wobei wir wegen a) wissen, dass [mm] $p\in [/mm] M$ sogar ein bestes Approximierendes ist, also muss
[mm] $$\|z-p\|=d$$
[/mm]
sein.
Wegen der Abschätzung [mm] $\|z-p\| [/mm] < [mm] d=d_M(z)$ [/mm] ist aber [mm] $\|z-p\| [/mm] < [mm] \|z-p_1\|=d=\|z-p_2\|\,,$
[/mm]
woraus folgt, dass [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] nicht beides beste Approximierende an [mm] $z\,$ [/mm] gewesen sein können.
(Oder nochmal anders gesagt:
Wir haben angenommen, dass die Funktion $m [mm] \mapsto \|m-z\|$ [/mm] ihr Infimum [mm] $d:=d_M(z):=\text{inf}\{\|z-m\|: m \in M\}$ [/mm] an den Stellen [mm] $m=p_1$ [/mm] und [mm] $m=p_2$ [/mm] annimmt, aber dadurch erkannt, dass es dann aber ein $p [mm] \in [/mm] M$ gibt mit [mm] $\|p-z\| [/mm] < d$. Nach Definition von [mm] $\text{inf}\{\|z-m\|: m \in M\}$ [/mm] - unter Beachtung von $p [mm] \in [/mm] M$ - muss aber [mm] $d=\text{inf}\{\|z-m\|: m \in M\} \le \|p-z\|$ [/mm] sein. Zusammen bedeutet dies [mm] $\|p-z\| [/mm] < d [mm] \le \|p-z\|$, [/mm] woraus [mm] $\|p-z\| [/mm] < [mm] \|p-z\|$ [/mm] folgt. Widerspruch. Also muss die Annahme, dass [mm] $p_1 \not=p_2$ [/mm] beste Approximierende an [mm] $z\,$ [/mm] sein, verworfen werden.)
Beste Grüße,
Marcel
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HI Marcel,
> es geht leider nicht hervor, was das $ [mm] \,V [/mm] $ dabei ist. Aber generell ist hier nur eine Mengengleichheit einzusehen, d.h. Du musst nur zeigen, dass sowohl $ B(z,M) [mm] \subseteq V\cap \overline{K_r}(z) [/mm] $ als auch $ [mm] V\cap \overline{K_r}(z) \subseteq [/mm] B(z,M) $ gilt.
Hier hatte ich mich verschrieben. Statt V muss es natürlich M heißen. Kann man sich diese Mengengleichheit irgendwie graphisch vorstellen? Ich bin nähmlich gerade am Überlegen, kriege aber nicht hin, wie das aussehen könnte...
Hast du vielleicht auch noch paar Tipps für den Teil c)? Das mit der Parallelogrammgleichung habe ich hinbekommen. Weiß gerade nur nicht, wie ich das erste zeige, also:
Ist $ [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] $ durch ein inneres Produkt (*,*) erzeugt, so ist die Norm [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] strikt.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> HI Marcel,
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> > es geht leider nicht hervor, was das [mm]\,V[/mm] dabei ist. Aber
> generell ist hier nur eine Mengengleichheit einzusehen,
> d.h. Du musst nur zeigen, dass sowohl [mm]B(z,M) \subseteq V\cap \overline{K_r}(z)[/mm]
> als auch [mm]V\cap \overline{K_r}(z) \subseteq B(z,M)[/mm] gilt.
>
> Hier hatte ich mich verschrieben. Statt V muss es
> natürlich M heißen. Kann man sich diese Mengengleichheit
> irgendwie graphisch vorstellen? Ich bin nähmlich gerade am
> Überlegen, kriege aber nicht hin, wie das aussehen
> könnte...
graphisch kann ich dazu nicht wirklich was sagen, weil Deine Menge [mm] $\overline{K_r}(z)$ [/mm] so jedenfalls nicht stimmen kann. Wahrscheinlich gehört da eher hin
[mm] $$\overline{K_r}(z)=\blue{\{}\blue{g \in V}: \|g-z\| \le r\blue{\}}\text{?}$$
[/mm]
Bist Du denn sicher, dass da $B(z,M)=M [mm] \cap \overline{K_r}(z)$ [/mm] steht? Denn das $B(z,M) [mm] \subseteq [/mm] M$ gilt, ist klar, aber dass diese Menge der besten Approximierenden quasi stets ein Schnitt eines abgeschlossenen Kreises aus [mm] $V\,$ [/mm] mit [mm] $M\,$ [/mm] sein soll..., das erschließt sich mir keinesfalls. Irgendwie scheint's mir, als wenn da noch irgendwas rechterhand fehlt.
Edit: Ich hatte gerade Zeit, kurz drüber nachzudenken. Doch, das ist schon klar, denn die Menge der Bestapproximierenden an [mm] $z\,$ [/mm] ist ja eine Teilmenge von [mm] $M\,,$, [/mm] deren Elemente alle auf dem Rand der Kugel um [mm] $z\,$ [/mm] mit Radius [mm] $d=d_M(z)$ [/mm] liegen (alle diese Elemente haben ja den Abstand [mm] $d\,$ [/mm] zu [mm] $z\,$). [/mm] Und innerhalb dieser Kugel darf es ja kein weiteres Element aus [mm] $M\,$ [/mm] geben.
> Hast du vielleicht auch noch paar Tipps für den Teil c)?
> Das mit der Parallelogrammgleichung habe ich hinbekommen.
> Weiß gerade nur nicht, wie ich das erste zeige, also:
>
> Ist [mm]\parallel * \parallel[/mm] durch ein inneres Produkt (*,*)
> erzeugt, so ist die Norm [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] strikt.
Zu diesem Aufgabenteil habe ich mir bisher noch keine Gedanken gemacht, daher kann ich Dir da auch leider noch keinen Tipp geben.
Beste Grüße,
Marcel
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Hi nochmal Marcel,
> graphisch kann ich dazu nicht wirklich was sagen, weil Deine Menge $ [mm] \overline{K_r}(z) [/mm] $ so jedenfalls nicht stimmen kann. Wahrscheinlich gehört da eher hin
> $ [mm] \overline{K_r}(z)=\blue{\{}\blue{g \in V}: \|g-z\| \le r\blue{\}}\text{?} [/mm] $
> Bist Du denn sicher, dass da $ B(z,M)=M [mm] \cap \overline{K_r}(z) [/mm] $ steht? Denn das $ B(z,M) [mm] \subseteq [/mm] M $ gilt, ist klar, aber dass diese Menge der besten Approximierenden quasi stets ein Schnitt eines abgeschlossenen Kreises aus $ [mm] V\, [/mm] $ mit $ [mm] M\, [/mm] $ sein soll, das erschließt sich mir keinesfalls. Irgendwie scheint's mir, als wenn da noch irgendwas rechterhand fehlt.
Also das ganze hatte ich hier her: Seite 3, Satz 2.7
http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/approximation/approx02.pdf
grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi nochmal Marcel,
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> > graphisch kann ich dazu nicht wirklich was sagen, weil
> Deine Menge [mm]\overline{K_r}(z)[/mm] so jedenfalls nicht stimmen
> kann. Wahrscheinlich gehört da eher hin
> > [mm]\overline{K_r}(z)=\blue{\{}\blue{g \in V}: \|g-z\| \le r\blue{\}}\text{?}[/mm]
>
> > Bist Du denn sicher, dass da [mm]B(z,M)=M \cap \overline{K_r}(z)[/mm]
> steht? Denn das [mm]B(z,M) \subseteq M[/mm] gilt, ist klar, aber
> dass diese Menge der besten Approximierenden quasi stets
> ein Schnitt eines abgeschlossenen Kreises aus [mm]V\,[/mm] mit [mm]M\,[/mm]
> sein soll, das erschließt sich mir keinesfalls. Irgendwie
> scheint's mir, als wenn da noch irgendwas rechterhand
> fehlt.
>
> Also das ganze hatte ich hier her: Seite 3, Satz 2.7
>
> http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/approximation/approx02.pdf
ja, ich hab' gerade eben nochmal drüber nachgedacht und meine Antwort von vorhin editiert. Schau' Dir die editierte Version nochmal an.
Beste Grüße,
Marcel
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Ok Danke dir.
Habt vielleicht sonst noch jemand paar Tipps zum ersten Teil von Aufgabe c)
Wäre echt nett.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mo 24.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Habt vielleicht sonst noch jemand paar Tipps zum ersten
> Teil von Aufgabe c)
Caucy-Schwarz-Ungl.
> Wäre echt nett.
Simma imma!
SEcki
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Hi Seckik,
die Ungl. lautet ja:
Gegeben ist ein unitärer Vektorraum (V,<,>) und für alle a,b $ [mm] \in [/mm] $ V gilt:
$ [mm] ||^2 [/mm] $ ≤ <a,b><b,b>
Gleichheit gilt genau dann, wenn a und b linear abhängig sind.
Wie kann ich aber damit zeigen:
> Ist $ [mm] \parallel [/mm] $ * $ [mm] \parallel [/mm] $ durch ein inneres Produkt (*,*) erzeugt, so ist die Norm $ [mm] \parallel [/mm] $ * $ [mm] \parallel [/mm] $ strikt. Fernen gilt die sogeannte Parallelogrammgleichung
Wir wissen ja auch:
> gilt die Implikation $ [mm] \parallel [/mm] $ x+y $ [mm] \parallel=\parallel [/mm] $ x $ [mm] \parallel [/mm] $ + $ [mm] \parallel [/mm] $ y $ [mm] \parallel \Rightarrow [/mm] $ x und y sind linear abhängig, dann ist die Norm strikt.
Wie kann ich aber diese beiden Aussagen verknüpfen??
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Di 25.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> > gilt die Implikation [mm]\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel=\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel[/mm] + [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel \Rightarrow[/mm] x und y sind
> linear abhängig, dann ist die Norm strikt.
>
> Wie kann ich aber diese beiden Aussagen verknüpfen??
Quadrieren. Ueblicher Trick. Hast du bisher gar keine Sachen mit Normen und SKP durchgerechnet? Du willst ja die Wurzeln weghaben und quadrierst und setzt Definitionen ein. Mach mal!
SEcki
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heee,
was meinst du mit quadrieren? also was denn jetzt?
ich muss ja eigentlich von [mm] ||^2 [/mm] ≤ <a,b><b,b> nach [mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel=\parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] gelangen oder??
aber [mm] ||^2 [/mm] ist doch schon quadriert...
[mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel [/mm] zu quadrieren macht doch keinen Sinn, oder?
Weil dann hätte ich ja einfach: [mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel^2 \le [/mm] <x,y><x,y>=(x+y)(x+y)...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Mi 26.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Es sei $||x+y||= ||x||+||y||$ Zu zeigen: x und y sind linear abhängig.
Beweis:
[mm] $||x||^2+2||x||*||y||+||y||^2 [/mm] = [mm] (||x||+||y||)^2= ||x+y||^2= [/mm] <x+y,x+y>= [mm] ||x||^2+2+||y||^2 \le ||x||^2+2||x||*||y||+||y||^2$
[/mm]
Also ist $<x,y>= ||x||*||y||$
FRED
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