Konvexe Punktmenge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:59 Fr 19.01.2007 | | Autor: | maggi20 |
| Aufgabe | Sei durch die Gleichung ax+by+c=0 ( Mit a, b nicht beide Null) eine gerade g in [mm] R^2 [/mm] gegeben. Zeigen Sie mit der analytischen Definition einer Halbebene, dass jede Halbebene von g eine konvexe Punktmenge ist. ( Mithilfe der Koordinatendarstellung: ( P= (x1+t(x2-x1), y1+t(y2-y1)) mit 0 kleiner t kleiner 1.
1b) Zeigen Sie, dass der Durchschnitt konvexer Punktmengen der Ebene wieder eine konvexe Punktmenge ist. |
Hallo,
kann mir bitte hier jemand weiterhelfen? Reicht es in Aufgabe 1a, wenn ich in x und y die Koordinaten von P einsetze in die Gleichung einer Halbebenen und
dann daran zeige, dass die Strecke P1P2 E H (= Halbebene). Und wie zeige ich dass der Durchschnitt onvexer Punktmenge wieder eine konvexe Punktmenge ist...mit der Abgeschlossenheit? Bitte helft mir.
Liebe Grüsse
MAGGI
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Hallo und guten Morgen,
vermutlich ist eine Halbebene zu g in analytischer Weise wie folgt dargestellt:
[mm] E=\{(x,y)\in\IR^2|\: ax+by+c\leq 0\} [/mm] bzw [mm] ''\geq [/mm] 0''
Sei dem mal so, dann musst Du doch nur zeigen, daß mit [mm] (x_1,y_1)\in [/mm] E, [mm] (x_2,y_2)\in [/mm] E und [mm] t\in [/mm] [0,1]
auch [mm] (tx_1+(1-t)x_2,ty_1+(1-t)y_2)\in [/mm] E gilt, na ja, und in E zu sein heißt die Ungleichung zu erfüllen, und
jede Linearkombination von Vektoren von E mit nicht-negativen Koeffizienten erfüllt halt dann auch die Ungleichung,
nicht wahr ?
Zum zweiten Teil: Im Schnitt konvexer Mengen [mm] \bigcap_{i\in I}C_izu [/mm] sein heißt für zwei Punkte ja, in allen diesen Mengen
zu liegen, was nach definition der Konvexität vor allem für alle diese konvexe Mengen [mm] C_i [/mm] impliziert,
dass ''die Strecke zwischen ihnen (den beiden Punkten) auch in [mm] C_i [/mm] liegt, und wenn dem also so ist für alle i, liegt die Strecke insbesondere im Schitt aller dieser [mm] C_i, [/mm] was nach Definition der Konvexität insbesondere die Konvexität von
[mm] \bigcap_{i\in I}C_i [/mm] impliziert.
Gruss,
Mathias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:27 Fr 19.01.2007 | | Autor: | maggi20 |
Hallo,
danke für deine schnelle Antwort. Ich muss also sozusagen die Abgeschloosenheit zeigen. Aber wie tue ich das. Ich habe zwei Punkte P1 und P2 E aus E und ich muss zeigen, dass die Strecke P1P2 E aus E mit der angegebenen Koordinatendarstellung mit tE aus dem Intervall von 0 bis 1. Soweit komme ich mit. Aber das mit den Linearkombinationen und Vektoren, da verstehe ich nur Bahnhof. gehts auch einfacher, so dass ich es verstehen kann. Liebe GRüsse maggi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 21.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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