matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentiationKonvexe & diff'bare Funktionen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Differentiation" - Konvexe & diff'bare Funktionen
Konvexe & diff'bare Funktionen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvexe & diff'bare Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Sa 15.06.2013
Autor: Die_Suedkurve

Aufgabe
Seien f, g: [mm] \IR \to \IR [/mm] konvexe Funktionen.

a) Zeigen Sie, dass die Funktionen f+g und [mm] \lambda [/mm] f für [mm] \lambda \ge [/mm] 0 wieder konvex sind.

b) Zeigen Sie, dass f [mm] \circ [/mm] g konvex ist, falls f monoton steigend ist. Finden Sie außerdem ein Gegenbeispiel für den Fall, dass f nicht monoton steigend ist.

c) Sei J eine Menge, [mm] f_j: \IR \to \IR [/mm] eine konvexe Funktion für jedes j [mm] \in [/mm] J. Zeigen Sie, dass [mm] sup_{j \in J}f_j [/mm] wieder konvex ist, wobei [mm] (sup_{j \in J}f_j)(x) [/mm] := [mm] sup\{f_j(x) | j \in J\}. [/mm]

d) Für n [mm] \in \IN [/mm] seien [mm] f_1,...,f_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] 2-mal differenzierbare konvexe Funktionen. Zeigen Sie, dass die folgende Funktion konvex ist: F(x) := [mm] log(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))) [/mm]

Hallo,

Aufgabenteile a) bis c) habe ich gelöst. Probleme habe ich bei Teil d).
Meine Idee ist zu zeigen, dass F'' [mm] \ge [/mm] 0 ist (die zweite Ableitung existiert, weil [mm] f_i [/mm] 2-mal diff'bar ist). Hieraus würden dann folgen, dass F' monoton wachsend ist, und somit F konvex ist.

Zuerst die Ableitungen von F:

F'(x) = [mm] \bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)) [/mm]

F''(x) = [mm] -\bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))^2}*(\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)))^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}[f''_i(x)exp(f_i(x)) [/mm] + [mm] (f'_i(x))^2*exp(f_i(x))] [/mm]

Bleibt zu zeigen, dass [mm] \bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))^2}*(\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)))^2 \le \bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}[f''_i(x)exp(f_i(x)) [/mm] + [mm] (f'_i(x))^2*exp(f_i(x))] [/mm] ist, aber wie mache ich das?

Grüsse
Alex

        
Bezug
Konvexe & diff'bare Funktionen: Anderer Ansatz
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:18 Sa 15.06.2013
Autor: weightgainer


> Seien f, g: [mm]\IR \to \IR[/mm] konvexe Funktionen.
>  
> a) Zeigen Sie, dass die Funktionen f+g und [mm]\lambda[/mm] f für
> [mm]\lambda \ge[/mm] 0 wieder konvex sind.
>  
> b) Zeigen Sie, dass f [mm]\circ[/mm] g konvex ist, falls f monoton
> steigend ist. Finden Sie außerdem ein Gegenbeispiel für
> den Fall, dass f nicht monoton steigend ist.
>  
> c) Sei J eine Menge, [mm]f_j: \IR \to \IR[/mm] eine konvexe Funktion
> für jedes j [mm]\in[/mm] J. Zeigen Sie, dass [mm]sup_{j \in J}f_j[/mm]
> wieder konvex ist, wobei [mm](sup_{j \in J}f_j)(x)[/mm] :=
> [mm]sup\{f_j(x) | j \in J\}.[/mm]
>  
> d) Für n [mm]\in \IN[/mm] seien [mm]f_1,...,f_n[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] 2-mal
> differenzierbare konvexe Funktionen. Zeigen Sie, dass die
> folgende Funktion konvex ist: F(x) :=
> [mm]log(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))[/mm]
>  Hallo,
>  
> Aufgabenteile a) bis c) habe ich gelöst. Probleme habe ich
> bei Teil d).
>  Meine Idee ist zu zeigen, dass F'' [mm]\ge[/mm] 0 ist (die zweite
> Ableitung existiert, weil [mm]f_i[/mm] 2-mal diff'bar ist). Hieraus
> würden dann folgen, dass F' monoton wachsend ist, und
> somit F konvex ist.
>  
> Zuerst die Ableitungen von F:
>  
> F'(x) =
> [mm]\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x))[/mm]
>  
> F''(x) =
> [mm]-\bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))^2}*(\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)))^2[/mm]
> +
> [mm]\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}[f''_i(x)exp(f_i(x))[/mm]
> + [mm](f'_i(x))^2*exp(f_i(x))][/mm]
>  
> Bleibt zu zeigen, dass
> [mm]\bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))^2}*(\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)))^2 \le \bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}[f''_i(x)exp(f_i(x))[/mm]
> + [mm](f'_i(x))^2*exp(f_i(x))][/mm] ist, aber wie mache ich das?
>  
> Grüsse
>  Alex

Hi Alex,

ich glaube nicht, dass du die Konvexität mit der Definition prüfen musst, sondern das alleine mit den vorher bewiesenen Zusammenhängen machen kannst.
In Kürze:

[mm] $f_i$ [/mm] konvex, $exp$ konvex und monoton wachsend, also ist $exp [mm] \circ f_i$ [/mm] konvex, damit auch die Summe davon und dann nochmal die Verkettung mit dem log, der ebenfalls monoton wachsend und konvex ist.

Natürlich weiß ich nicht, welche Einzelschritte (Monotonie, Konvexität von log und exp) du noch im Detail nachweisen musst.

Ich hoffe, da ist kein Denkfehler drin... deswegen nur als Mitteilung, nicht als Antwort...

lg weightgainer


Bezug
                
Bezug
Konvexe & diff'bare Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:35 Sa 15.06.2013
Autor: Die_Suedkurve

Hallo weightgainer,

log ist leider konkav, und deswegen funktioniert das Ganze nicht. Mein Übungsleiter meinte, dass man auf jeden Fall sich die zweite Ableitung anschauen sollte.

Bezug
                        
Bezug
Konvexe & diff'bare Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:13 Sa 15.06.2013
Autor: weightgainer

Natürlich - oh man, sorry... wusste doch, dass ich nicht genau genug geschaut habe...

Bezug
        
Bezug
Konvexe & diff'bare Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Sa 15.06.2013
Autor: leduart

Hallo
yur Mitteilung~>
log muss doch nicht konvex sondern nur mon. steigend sein laut b)
bis dann lula

Bezug
                
Bezug
Konvexe & diff'bare Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Sa 15.06.2013
Autor: Die_Suedkurve

Ganz oben steht, dass f konvex ist. Das bezieht sich dann auf die gesamte Aufgabe.

Bezug
        
Bezug
Konvexe & diff'bare Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 So 16.06.2013
Autor: fred97


> Seien f, g: [mm]\IR \to \IR[/mm] konvexe Funktionen.
>  
> a) Zeigen Sie, dass die Funktionen f+g und [mm]\lambda[/mm] f für
> [mm]\lambda \ge[/mm] 0 wieder konvex sind.
>  
> b) Zeigen Sie, dass f [mm]\circ[/mm] g konvex ist, falls f monoton
> steigend ist. Finden Sie außerdem ein Gegenbeispiel für
> den Fall, dass f nicht monoton steigend ist.
>  
> c) Sei J eine Menge, [mm]f_j: \IR \to \IR[/mm] eine konvexe Funktion
> für jedes j [mm]\in[/mm] J. Zeigen Sie, dass [mm]sup_{j \in J}f_j[/mm]
> wieder konvex ist, wobei [mm](sup_{j \in J}f_j)(x)[/mm] :=
> [mm]sup\{f_j(x) | j \in J\}.[/mm]
>  
> d) Für n [mm]\in \IN[/mm] seien [mm]f_1,...,f_n[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] 2-mal
> differenzierbare konvexe Funktionen. Zeigen Sie, dass die
> folgende Funktion konvex ist: F(x) :=
> [mm]log(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))[/mm]
>  Hallo,
>  
> Aufgabenteile a) bis c) habe ich gelöst. Probleme habe ich
> bei Teil d).
>  Meine Idee ist zu zeigen, dass F'' [mm]\ge[/mm] 0 ist (die zweite
> Ableitung existiert, weil [mm]f_i[/mm] 2-mal diff'bar ist). Hieraus
> würden dann folgen, dass F' monoton wachsend ist, und
> somit F konvex ist.
>  
> Zuerst die Ableitungen von F:
>  
> F'(x) =
> [mm]\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x))[/mm]
>  
> F''(x) =
> [mm]-\bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))^2}*(\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)))^2[/mm]
> +
> [mm]\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}[f''_i(x)exp(f_i(x))[/mm]
> + [mm](f'_i(x))^2*exp(f_i(x))][/mm]
>  
> Bleibt zu zeigen, dass
> [mm]\bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))^2}*(\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)))^2 \le \bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}[f''_i(x)exp(f_i(x))[/mm]
> + [mm](f'_i(x))^2*exp(f_i(x))][/mm] ist, aber wie mache ich das?
>  
> Grüsse
>  Alex


Setze [mm] g(x):=\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)) [/mm] und zeige: g'' [mm] \ge [/mm] 0.

Dann ist g konvex.

Setze f(x)=log(x). f ist monoton wachsend.

Nun ziehe b) heran.

FRED

Bezug
                
Bezug
Konvexe & diff'bare Funktionen: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 10:31 So 16.06.2013
Autor: Die_Suedkurve


> Setze [mm]g(x):=\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))[/mm] und zeige: g'' [mm]\ge[/mm]
> 0.
>  
> Dann ist g konvex.
>  
> Setze f(x)=log(x). f ist monoton wachsend.
>  
> Nun ziehe b) heran.
>  
> FRED

Hallo FRED,

f(x)=log x ist zwar streng monoton steigend, aber nicht konvex, was ich aber für Teil b) benötige (das f konvex ist, steht ganz oben in der Aufgabenstellung). Oder meinst du das irgendwie anders?
g ist konvex, wegen Teil a) und b).

Grüsse
Alex

Bezug
                        
Bezug
Konvexe & diff'bare Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:11 So 16.06.2013
Autor: weightgainer

1. Du hast Recht, f muss sowohl konvex als auch monoton wachsend sein in dem Kriterium, d.h. das kann man leider nicht nutzen.

2. Das heißt aber doch auch, dass selbst wenn du F''>0 nachweisen könntest (was ich für den falschen Weg halte), nur weißt, dass F monoton wächst, aber nicht, ob F konvex ist.

3. Ich dachte mal kurz an Induktion, die Regel $ln(a + b) = ln(a) + [mm] ln(1+\bruch{b}{a})$ [/mm] und an die Potenzreihenentwicklung von $ln(1+x)$. Leider bringe ich das nicht zusammen und sehe auch nicht ganz, an welcher Stelle die zweifache Differnzierbarkeit der [mm] $f_i$ [/mm] mit ins Spiel kommt.   Bestimmt hast du auch []das hier bei Wikipedia gelesen - für mich sind das auch Hinweise, aber wie gesagt - ich bekomme das nicht zusammen und habe leider auch keine Zeit mehr dafür. Hoffe, du findest eine Lösung und gibst sie hier bekannt (oder jemand anders hat noch Tipps).



Bezug
                                
Bezug
Konvexe & diff'bare Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 So 16.06.2013
Autor: Die_Suedkurve

Wenn F'' [mm] \ge [/mm] 0 ist, dann ist F' monoton wachsend und somit F konvex. Das hatten wir in der Vorlesung (F konvex [mm] \gdw [/mm] F' monoton wachsend).
Der Weg zu zeigen, dass F'' [mm] \ge [/mm] 0 ist, ist richtig. Man soll das mit einer Ungleichung aus unserer Vorlesung beweisen. Wir hatten bisher die Cauchy-Schwarz, Youngsche und Minkowski Ungleichung. Aber ich weiß nicht, was ich verändern soll, damit ich eine dieser Ungleichungen anwenden kann. Ich vermute, dass man die Cauchy Schwarz Ungleichung irgendwie anwenden muss, aber ich habe jetzt auch keine Lust mehr darüber nachzudenken. Die Aufgabe gibt eh nur einen Punkt, von daher soll mir das jetzt egal sein...

Bezug
        
Bezug
Konvexe & diff'bare Funktionen: Crosspost!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Mo 17.06.2013
Autor: felixf

Moin,

wir verlangen nicht ohne Grund den Hinweis, ob dieselbe Frage schonmal woanders gestellt worden ist. Das steht auch in den Forenregeln!

Ich bin gerade ueber fast dieselbe Frage von dir []auf dem MathePlanet gefunden.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Konvexe & diff'bare Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:02 Mo 17.06.2013
Autor: Die_Suedkurve


> Moin,
>  
> wir verlangen nicht ohne Grund den Hinweis, ob dieselbe
> Frage schonmal woanders gestellt worden ist. Das steht auch
> in den
> Forenregeln!
>  
> Ich bin gerade ueber fast dieselbe Frage von dir
> []auf dem MathePlanet
> gefunden.
>  
> LG Felix
>  

Hallo Felix,

Entschuldigung, ich hatte mich dort im Forum angemeldet, weil das Forum hier down war.
Als ich dann die Aufgabe hier reinschrieb, hatte ich vergessen zu erwähnen, dass ich die Aufgabe schon in einem anderen Forum nachgefragt hatte.

Grüsse
Alex

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]