Konvexität/Konkavität < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche gerade ein paar Funktionen auf Konvexität (bzw. Konkavität) zu untersuchen. Ich weiß, dass eine Fkt. konvex ist, wenn [mm] f(x_{\lambda} \le (1-\lambda)f(x_0)+ \lambda f(x_1) [/mm] für [mm] x_{\lambda}:=(1-\lambda)x_0 [/mm] + [mm] \lambda x_1 [/mm] gilt.
Ich stecke nun jedoch bei einer "komplizierten Aufgabe" fest. Und zwar habe ich die Funktion [mm] g:(0,\infty) \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^a, [/mm] a [mm] \in \IR.
[/mm]
Angesetzt habe ich wie folgt:
Für 0 [mm] \le \lambda \le [/mm] 1 gilt: [mm] (1-\lambda)f(x_0)+ \lambda f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_{\lambda}) [/mm] = [mm] (1-\lambda)x_{0}^{a} [/mm] + [mm] \lambda x_{1}^{a} [/mm] - [(1- [mm] \lambda)x_0 [/mm] + [mm] \lambda x_1]^a
[/mm]
Jetzt möchte ich zeigen, dass das das ganze größer als 0 ist, weil dann weiß ich, dass es sich um eine konvexe Funktion handelt.
Ich komme nun jedoch nicht weiter, weil ich nicht so recht weiß, wie ich [(1- [mm] \lambda)x_0 [/mm] + [mm] \lambda x_1]^a [/mm] umformen soll, also insb. die Klammer auflösen... Binomischer Lehrsatz funktioniert ja nicht, weil a [mm] \in \IR [/mm] und nicht [mm] \in \IN, [/mm] oder?
Kann mir jemand weiterhelfen!
Viele Grüße und vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Fr 30.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich versuche gerade ein paar Funktionen auf Konvexität
> (bzw. Konkavität) zu untersuchen. Ich weiß, dass eine
> Fkt. konvex ist, wenn [mm]f(x_{\lambda}) \le (1-\lambda)f(x_0)+ \lambda f(x_1)[/mm]
> für [mm]x_{\lambda}:=(1-\lambda)x_0 + \lambda x_1[/mm] gilt.
> Ich stecke nun jedoch bei einer "komplizierten Aufgabe"
> fest. Und zwar habe ich die Funktion [mm]g:(0,\infty) \to \IR,[/mm] [mm]x \mapsto x^a,[/mm] [mm]a \in \IR.[/mm]
> Angesetzt habe ich wie folgt:
> Für [mm]0 \le \lambda \le 1[/mm] gilt: [mm](1-\lambda)f(x_0)+ \lambda f(x_1) - f(x_{\lambda}) = (1-\lambda)x_{0}^{a} + \lambda x_{1}^{a} - [(1- \lambda)x_0 + \lambda x_1]^a[/mm]
>
> Jetzt möchte ich zeigen, dass das das ganze größer als 0
> ist, weil dann weiß ich, dass es sich um eine konvexe
> Funktion handelt.
> Ich komme nun jedoch nicht weiter, weil ich nicht so recht
> weiß, wie ich [mm][(1- \lambda)x_0 + \lambda x_1]^a[/mm] umformen
> soll, also insb. die Klammer auflösen... Binomischer
> Lehrsatz funktioniert ja nicht, weil a [mm]\in \IR[/mm] und nicht
> [mm]\in \IN,[/mm] oder?
Oh, der binomische Lehrsatz lässt sich auch für beliebige [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] formulieren, nur dass dann eine unendliche Reihe entsteht.
Mach dir doch erst einmal ein Bild, denn vielen Funktionen kann man ansehen, ob sie konvex oder konkav sind. Hier mal die zwei Fälle $a=1/2$ und $a=3/2$:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Weitere kannst du dir selbst aufmalen, es folgt die Vermutung: konvex für $a<0$, konkav für $0<a<1$, konvex für $a>1$.
Da die Funktion g zweimal differenzierbar ist, würde ich statt dessen zeigen, dass das Vorzeichen der zweiten Ableitung immer positiv bzw. negativ ist, oder ist das hier eine unerlaubte Methode?
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank erstmal!!!
Inzwischen kann ich benutzen, dass f konvex [mm] \gdw [/mm] f''(x) > 0 gilt.
Ich werde das damit mal versuchen!
Kann ich dann direkt folgern, wenn f''(x) < 0 ist, dass die Funktion konkav ist?!
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Hallo,
> Vielen Dank erstmal!!!
> Inzwischen kann ich benutzen, dass f konvex [mm]\gdw[/mm] f''(x) > 0
> gilt.
> Ich werde das damit mal versuchen!
>
> Kann ich dann direkt folgern, wenn f''(x) < 0 ist, dass die
> Funktion konkav ist?!
Ja: denn das Vorzeichen der zweiten Ableitung spiegelt ja eben gerade das Krümmungsverhalten wider:
f''(x)>0 => f ist linksgekrümmt
f''(x)<0 => f ist rechtsgekrümmt
Daher ja auch die Verwendung der 2. Ableitung für die allseit bekannten hinreichenden Bedingungen für Hoch- und Tiefpunkte. 
Gruß, Diophant
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Vielen Dank, ich glaub jetzt hat es klick gemacht und ich hab zum entdeckt, dass das ja gar nicht so abgehoben ist, wie ich dachte :)
Ich hab allerdings noch eine Funktion, bei der ich nochmal auf ein kleineres Problem gestoßen bin und zwar
f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^4 [/mm] + [mm] ax^2 [/mm] + bx ; a,b [mm] \in \IR
[/mm]
Ich habe dazu die Ableitungen aufgestellt:
f'(x) = 4 [mm] x^3 [/mm] + 2ax + b
f''(x) = 12 [mm] x^2 [/mm] + 2a
Ich betrachte also nun die zweite Ableitung
1. Fall: a < [mm] -6x^2 \Rightarrow [/mm] f''(x) < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] konkav
2. Fall: a > [mm] -6x^2 \Rightarrow [/mm] f''(x) > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] konvex
Als 3. Fall habe ich noch [mm] a=-6x^2. [/mm] Dafür ist f''(x) aber ja gerade gleich 0 und man kann an dieser Stelle zunächst keine Aussage treffen. In der Schule hätte ich nun mit dem Vorzeichenwechselkriterium als hinreichender Bedingung versucht zu argumentieren, aber das macht im Zusammenhang mit der Aufgabe, vermutlich nicht direkt sinn, oder?
Gibt es einen eleganten Weg, um die funktion für a = [mm] -6x^2 [/mm] auf konvexität bzw. konkavität zu untersuchen?
Oder hab ich vielleicht vorher schon einen Denkfehler?
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Do 05.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank, ich glaub jetzt hat es klick gemacht und ich
> hab zum entdeckt, dass das ja gar nicht so abgehoben ist,
> wie ich dachte :)
>
> Ich hab allerdings noch eine Funktion, bei der ich nochmal
> auf ein kleineres Problem gestoßen bin und zwar
> f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto x^4[/mm] + [mm]ax^2[/mm] + bx ; a,b [mm]\in \IR[/mm]
>
> Ich habe dazu die Ableitungen aufgestellt:
> f'(x) = 4 [mm]x^3[/mm] + 2ax + b
> f''(x) = 12 [mm]x^2[/mm] + 2a
>
> Ich betrachte also nun die zweite Ableitung
> 1. Fall: a < [mm]-6x^2 \Rightarrow[/mm] f''(x) < 0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> konkav
denk' bitte drüber nach, was Du tust. [mm] $a\,$ [/mm] ist eine feste reelle Zahl. Wenn Du $a < [mm] -6x^2$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] (ich meine damit genauer: Für alle $x [mm] \in \IR=:D_f$) [/mm] forderst, und nun $|x| [mm] \to \infty$ [/mm] laufen läßt, dann würde $a [mm] \to -\infty$ [/mm] folgen, was nicht sein kann: Schließlich ist ja $a [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Es macht also keinen Sinn zu sagen: Falls $a < [mm] -6x^2$ [/mm] (für alle [mm] $x\,$) [/mm] ist, dann ist [mm] $f\,$ [/mm] konkav.
Was Du machen kannst: Du kannst etwa [mm] $(f'')^{-1}((-\infty,0))$ [/mm] (das Urbild von [mm] $(-\infty,0)=\{r \in \IR: r < 0\}$ [/mm] unter [mm] $f''\,$!) [/mm] berechnen. Und dann schauen, ob Du damit konvexe Teilmengen des Definitionsbereichs angeben kannst, auf denen [mm] $f\,$ [/mm] konkav ist. (Bzw. Intervalle, auf denen [mm] $f\,$ [/mm] konkav ist - ich kenne nicht Eure genaue Definition des Begriffs "konvexe Funktion".)
> 2. Fall: a > [mm]-6x^2 \Rightarrow[/mm] f''(x) > 0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> konvex
S.o.
> Als 3. Fall habe ich noch [mm]a=-6x^2.[/mm] Dafür ist f''(x) aber
> ja gerade gleich 0 und man kann an dieser Stelle zunächst
> keine Aussage treffen. In der Schule hätte ich nun mit dem
> Vorzeichenwechselkriterium als hinreichender Bedingung
> versucht zu argumentieren, aber das macht im Zusammenhang
> mit der Aufgabe, vermutlich nicht direkt sinn, oder?
>
> Gibt es einen eleganten Weg, um die funktion für a = [mm]-6x^2[/mm]
S.o.: Wenn [mm] $a=a(x)=-6x^2$ [/mm] wäre, dann wäre [mm] $f(x)=x^4+ax^2+bx=x^4-6x^4+bx=-5x^4+bx\,.$ [/mm] Außerdem wäre [mm] $a\,$ [/mm] nicht mehr eine feste reelle Zahl (Parameter), sondern eine von [mm] $x\,$ [/mm] abhängige Funktion.
> auf konvexität bzw. konkavität zu untersuchen?
>
> Oder hab ich vielleicht vorher schon einen Denkfehler?
Ja, Du hast einige Denkfehler.
Tipp:
Löse die Aufgabe doch erstmal wirklich für ein konkretes [mm] $a\,$ [/mm] und ein konkretes [mm] $b\,.$
[/mm]
Der Deutlichkeit halber schreiben wir mal
[mm] $$f(x)=f_{a,b}(x)=x^4+a*x^2+b*x\,.$$
[/mm]
Mit [mm] $(a,b):=(-9,-3)\,$ [/mm] könntest Du also erstmal speziell
[mm] $$f(x)=f_{-9,-3}(x)=x^4-9*x^2-3*x$$
[/mm]
untersuchen.
Und nun schau' mal, was Du oben dann geschrieben hättest, das hieße hier speziell:
" 1. Fall: Sei $a < [mm] -6x^2\,.$"
[/mm]
Hier ist [mm] $a=-9\,.$ [/mm] Was ist nun der Fall $-9 < [mm] -6x^2$? [/mm] Ich meine: Klar: Du kannst nun sagen, für welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] nun $-9 < [mm] -6x^2$ [/mm] gilt, und dass für diese dann $f''(x) < 0$ ist. (Das ist dann aber keine Bedingung an [mm] $a\,$ [/mm] mehr, sondern an [mm] $x\,.$)
[/mm]
Das ganze läuft aber auf das hinaus, was ich angedeutet habe: Urbildberechnung mittels [mm] $f''\,.$
[/mm]
Und nebenbei: Wenn [mm] $f''(x_W)=0$ [/mm] ist, kannst Du Dir ja Gedanken dazu machen, wie Du herausfindest, ob die Stelle [mm] $x_W\,,$ [/mm] die dann ja Kandidat für eine Wendestelle ist, auch wirklich Wendestelle ist. Falls ja: Was passiert denn mit der Krümmung an einer Wendestelle?
Aber nach wie vor: Damit Du Deine Denkfehler beseitigst bzw. einen korrekten Überblick bekommst, wie Du was untersuchen kannst, behandel erstmal das konkrete Beispiel mit [mm] $a=-9\,$ [/mm] und [mm] $b=-3\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Oh, vielen Dank erstmal! Das sind aber echt dicke Denkfehler, die ich eingebaut habe und ich kann ganz klar a nicht in abhängigkeit von x angeben! *gegen den Kopf schlag*
So ganz bekomm ichs jedoch immer noch nicht hin...
Also ich hab ja f''(x) = 12 [mm] x^2 [/mm] + 2a
Dann kann ich ja als erstes schonmal sagen, dass f für a > 0 konvex ist, da f''(x) immer größer 0 ist.
> Was Du machen kannst: Du kannst etwa
> [mm](f'')^{-1}((-\infty,0))[/mm] (das Urbild von [mm](-\infty,0)=\{r \in \IR: r < 0\}[/mm]
> unter [mm]f''\,[/mm]!) berechnen. Und dann schauen, ob Du damit
> konvexe Teilmengen des Definitionsbereichs angeben kannst,
> auf denen [mm]f\,[/mm] konkav ist.
Dieser Schritt ist mir leider noch nicht ganz klar... Warum genau gehe ich nun über das Urbild vor? Da hängt es bei mir leider grad noch...
Viele Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Isabelle,
> Oh, vielen Dank erstmal! Das sind aber echt dicke
> Denkfehler, die ich eingebaut habe und ich kann ganz klar a
> nicht in abhängigkeit von x angeben! *gegen den Kopf
> schlag*
>
> So ganz bekomm ichs jedoch immer noch nicht hin...
> Also ich hab ja f''(x) = 12 [mm]x^2[/mm] + 2a
> Dann kann ich ja als erstes schonmal sagen, dass f für a
> > 0 konvex ist, da f''(x) immer größer 0 ist.
>
> > Was Du machen kannst: Du kannst etwa
> > [mm](f'')^{-1}((-\infty,0))[/mm] (das Urbild von [mm](-\infty,0)=\{r \in \IR: r < 0\}[/mm]
> > unter [mm]f''\,[/mm]!) berechnen. Und dann schauen, ob Du damit
> > konvexe Teilmengen des Definitionsbereichs angeben kannst,
> > auf denen [mm]f\,[/mm] konkav ist.
>
> Dieser Schritt ist mir leider noch nicht ganz klar... Warum
> genau gehe ich nun über das Urbild vor? Da hängt es bei
> mir leider grad noch...
hast Du Dir das spezielle Beispiel mal klargemacht?
Ich mach's mal anders, nehmen wir ein schön einfaches, anschauliches Beispiel:
Wir betrachten einfach mal [mm] $f(x)=\sin(x)$ [/mm] auf [mm] $\IR\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $f'(x)=\cos(x)$ [/mm] und [mm] $f''(x)=-\sin(x)\,$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR.$ [/mm]
Zeichne Dir mal den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] auf. Überlege Dir, wo [mm] $f\,$ [/mm] linksgekrümmt (konvex) und wo [mm] $f\,$ [/mm] rechtsgekrümmt (konvex) ist - und was [mm] $(f'')^{-1}([0,\infty))$ [/mm] und was [mm] $(f'')^{-1}((-\infty,0])$ [/mm] ist - man kann diese Urbilder jeweils als (abzählbare) Vereinigung von gewissen (größtmöglichen) Intervallen schreiben. Was kannst Du dann bzgl. der Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] auf ein solches Intervall aussagen?
Gruß,
Marcel
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> Ich mach's mal anders, nehmen wir ein schön einfaches,
> anschauliches Beispiel:
> Wir betrachten einfach mal [mm]f(x)=\sin(x)[/mm] auf [mm]\IR\,.[/mm] Dann
> ist [mm]f'(x)=\cos(x)[/mm] und [mm]f''(x)=-\sin(x)\,[/mm] auf ganz [mm]\IR.[/mm]
>
> Zeichne Dir mal den Graphen von [mm]f\,[/mm] auf. Überlege Dir, wo
> [mm]f\,[/mm] linksgekrümmt (konvex) und wo [mm]f\,[/mm] rechtsgekrümmt
> (konvex) ist - und was [mm](f'')^{-1}([0,\infty))[/mm] und was
> [mm](f'')^{-1}((-\infty,0])[/mm] ist - man kann diese Urbilder
> jeweils als (abzählbare) Vereinigung von gewissen
> (größtmöglichen) Intervallen schreiben. Was kannst Du
> dann bzgl. der Einschränkung von [mm]f\,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
auf ein solches
> Intervall aussagen?
Danke erstmal für die Geduld :)
Also erstmal zu dem Beispiel. Ich hoffe ich hab das jetzt alles richtig verstanden. Also die Sinusfunktion ist auf dem Intervall [0,\pi] konkav und auf [\pi, 2 \pi] konvex. Und natürlich bei den weiteren Perioden analog dazu.
Ich habe mich nun an dem Urbild versucht.
(f'')^{-1}([0, \infty))= {x \in \IR | f''(x) \in [0, \infty)} Das sind dann also die Intervalle (\pi, 2 \pi), (2 \pi, 3 \pi) ,...
Also im Grunde die Bereiche, auf denen f konkav ist.
Und für (f'')^{-1}((-\infty, 0])= {x \in \IR | f''(x) \in (- \infty, 0]
Also die Intervalle (0, \pi), (2 \pi, 3 \pi),...
Also die Bereiche auf denen f konvex ist.
Ist das soweit richtig?
Wenn ich das jetzt insgesamt richtig verstanden habe, dann bestimme ich über das Urbild jeweils nichts anderes als die Intervalle auf denen die zweite Ableitung größer oder kleiner Null ist, also gerade wann die Funktion konvex bzw. konkav ist?!
Viele Grüße und schöne Ostertage!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 So 08.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Isabelle,
> > Ich mach's mal anders, nehmen wir ein schön einfaches,
> > anschauliches Beispiel:
> > Wir betrachten einfach mal [mm]f(x)=\sin(x)[/mm] auf [mm]\IR\,.[/mm] Dann
> > ist [mm]f'(x)=\cos(x)[/mm] und [mm]f''(x)=-\sin(x)\,[/mm] auf ganz [mm]\IR.[/mm]
> >
> > Zeichne Dir mal den Graphen von [mm]f\,[/mm] auf. Überlege Dir, wo
> > [mm]f\,[/mm] linksgekrümmt (konvex) und wo [mm]f\,[/mm] rechtsgekrümmt
> > (konvex) ist - und was [mm](f'')^{-1}([0,\infty))[/mm] und was
> > [mm](f'')^{-1}((-\infty,0])[/mm] ist - man kann diese Urbilder
> > jeweils als (abzählbare) Vereinigung von gewissen
> > (größtmöglichen) Intervallen schreiben. Was kannst Du
> > dann bzgl. der Einschränkung von [mm]f\,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> > auf ein solches
> > Intervall aussagen?
>
> Danke erstmal für die Geduld :)
> Also erstmal zu dem Beispiel. Ich hoffe ich hab das jetzt
> alles richtig verstanden. Also die Sinusfunktion ist auf
> dem Intervall [0,\pi] konkav und auf [\pi, 2 \pi] konvex.
> Und natürlich bei den weiteren Perioden analog dazu.
> Ich habe mich nun an dem Urbild versucht.
> (f'')^{-1}([0, \infty))= {x \in \IR | f''(x) \in [0,
> \infty)} Das sind dann also die Intervalle $(\pi, 2 \pi), (2
> \pi, 3 \pi) ,...$
Hier meintest Du sicher $(\pi,2\pi)\,,$ $(3\pi,4\pi),\ldots$?
Das wäre schon fast okay, aber das sind zum einen nur Intervalle, wo $f''(x) > 0\,$ gilt (dort ist also $f\,$ STRENG konvex - und würde daher eher zu $(f'')^{-1}((0,\infty))$ passen!) - und zum anderen: Was ist mit dem negativen Bereich (also mit negativen $x\,$)?
> Also im Grunde die Bereiche, auf denen f konkav ist.
>
> Und für (f'')^{-1}((-\infty, 0])= {x \in \IR | f''(x) \in
> (- \infty, 0]
> Also die Intervalle (0, \pi), (2 \pi, 3 \pi),...
> Also die Bereiche auf denen f konvex ist.
>
> Ist das soweit richtig?
>
> Wenn ich das jetzt insgesamt richtig verstanden habe, dann
> bestimme ich über das Urbild jeweils nichts anderes als
> die Intervalle auf denen die zweite Ableitung größer oder
> kleiner Null ist, also gerade wann die Funktion konvex bzw.
> konkav ist?!
>
> Viele Grüße und schöne Ostertage!
ja, das passt jedenfalls fast:
$$(f'')^{-1}([0,\infty))=\{x \in \IR: f''(x) \in [0,\infty)\}=\{x \in \IR: f''(x) \ge 0\}=\bigcup_{z \in \IZ}\red{[}(2z-1)\pi,\;2z\pi\red{]}$$
Analog kannst Du sowas für konkav schreiben.
Generell würde ich das ganze vielleicht eher so sehen (beachte dabei, dass Intervalle ja auch konvexe Mengen sind):
Wenn $f: D \to \IR$ zweimal differenzierbar ist, und wenn folgendes gilt:
Die Menge $(f'')^{-1}([0,\infty))$ hat mit einer Indexmenge $I\,$ eine Darstellung
$$(f'')^{-1}([0,\infty))=\bigcup_{i \in I} D_i\,,$$
wobei alle $D_i \subseteq D$ konvexe Mengen sind, so folgt, dass für jedes $i \in I$ die eingeschränkte Funktion $f_{|D_i}$ konvex ist!
Analog:
Es gelte, dass die Menge $(f'')^{-1}((-\infty,0])$ mit einer Indexmenge $J\,$ eine Darstellung hat der Form
$$(f'')^{-1}([0,\infty))=\bigcup_{j \in J} D_j\,,$$
wobei alle $D_j \subseteq D$ konvexe Mengen sind, so folgt, dass für jedes $j \in J$ die eingeschränkte Funktion $f_{|D_j}$ konkav ist!
Das ist aber vielleicht auch schon ein wenig zuviel des guten. Bei Dir sind die Urbildmengen immer als Vereinigung von Intervallen darstellbar (nimm' immer "größtmögliche" Intervalle - ich meine, wenn Du weißt, dass $f\,$ auf $[0,1)$ konvex ist und auch weißt, dass $f\,$ auf $(-1,2)$ konvex ist, dann ist letztgenanntes Intervall natürlich ein besseres, da "größer" - ich will diesen Begriff "größtmögliches Intervall (so dass $f\,$ dort eine gewisse Eigenschaft hat)" nun nicht genau definieren, auch, wenn es nicht wirklich schwer wäre). Und einfach als Vereinigung von endlich vielen Intervallen.
Aber ich denke, Dir ist das ganzenun ein wenig klarer, oder?
Nebenbei: Du kannst Dir auch gerne mal gerade anschauen, was an den Wendepunkten von $\sin$ passiert.
Und nach wie vor: Hast Du Deine Funktion mit den speziellen Werten für $a\,$ und $b\,$ mal bearbeitet?
Und hast Du nun eine Idee, wie Du diese nun für beliebige PARAMETER $a,b\,$ untersuchen kannst?
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank erstmal!!
>
> Und nach wie vor: Hast Du Deine Funktion mit den speziellen
> Werten für [mm]a\,[/mm] und [mm]b\,[/mm] mal bearbeitet?
>
> Und hast Du nun eine Idee, wie Du diese nun für beliebige
> PARAMETER [mm]a,b\,[/mm] untersuchen kannst?
>
Hab mir die spezielle Funktion angeguckt, bin aber noch nicht ganz auf eine Lösung für die allgemeine Funktion gekommen...
Im Grunde ist der Parameter b doch eigentlich egal, oder?
In der zweiten Ableitung habe ich ja nur noch f''(x) = 12 [mm] x^2 [/mm] + 2a.
Ich habe also eine nach oben geöffnete Parabel, die um 2a nach oben verschoben ist.
Sobald ich für a einen Wert <0 habe, habe ich also ein Intervall, auf dem f''(x) < 0 ist, also genau zwischen den beiden Nullstellen von f''(x). Rechts und links davon ist f''(x) > 0 und folglich konvex.
Sind meine Überlegungen soweit ok?
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Hallo,
>
> Sind meine Überlegungen soweit ok?
>
ja, sind sie.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 So 08.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh, vielen Dank erstmal! Das sind aber echt dicke
> Denkfehler, die ich eingebaut habe und ich kann ganz klar a
> nicht in abhängigkeit von x angeben! *gegen den Kopf
> schlag*
>
> So ganz bekomm ichs jedoch immer noch nicht hin...
> Also ich hab ja f''(x) = 12 [mm]x^2[/mm] + 2a
> Dann kann ich ja als erstes schonmal sagen, dass f für a
> > 0 konvex ist, da f''(x) immer größer 0 ist.
ja, für $a > [mm] 0\,$ [/mm] ist sogar sofort klar, dass [mm] $f\,$ [/mm] dann streng konvex ist (insbesondere natürlich konvex). Für [mm] $a=0\,$ [/mm] ist wegen $f''(x) [mm] \ge [/mm] 0$ (für alle $x [mm] \in \IR$) [/mm] wenigstens [mm] $f\,$ [/mm] schonmal ganz klar als konvex identifiziert. (In der Aufgabe steht ja nichts davon, dass man auch auf "streng konvex" oder "streng konkav" untersuchen soll. Ich hab' das oben nur mal ergänzt. I.a. gibt's übrigens auch Zusammenhänge zur Definitheit der Hessematrix, wenn man etwa Funktionen mehrerer Veränderlicher hat! Nur mal so nebenbei angemerkt!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Do 05.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> > Vielen Dank erstmal!!!
> > Inzwischen kann ich benutzen, dass f konvex [mm]\gdw[/mm] f''(x) > 0
> > gilt.
> > Ich werde das damit mal versuchen!
> >
> > Kann ich dann direkt folgern, wenn f''(x) < 0 ist, dass die
> > Funktion konkav ist?!
>
> Ja: denn das Vorzeichen der zweiten Ableitung spiegelt ja
> eben gerade das Krümmungsverhalten wider:
>
> f''(x)>0 => f ist linksgekrümmt
> f''(x)<0 => f ist rechtsgekrümmt
oder man macht sich einfach klar, dass [mm] $f\,$ [/mm] (auf einem konvexen Definitionsbereich definiert) genau dann konvex ist, wenn [mm] $-f\,$ [/mm] (d.h. $(-f)(x):=(-1)*f(x)=-f(x)$ für alle [mm] $x\,$) [/mm] konkav ist. Der Rest folgt dann mit dem Wissen, wie man anhand der zweiten Ableitung (falls [mm] $f\,$ [/mm] zweimal diff'bar ist) die Konvexität erkennt und Rechenregeln für die Ableitung.
Aber das ganze nur mehr oder weniger "spaßeshalber" als Ergänzung.
Gruß,
Marcel
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