Konvexität bei (halber) Kugel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Adamo4 |
| Aufgabe | | Br(y):={ x [mm] \in R^n [/mm] | [mm] \parallel x-y\parallel |
Ich muss zugeben das ich das mit der Konvexität nicht verstanden habe (zumindest hab ich keine Ahnung wie man das bei der Aufgabe machen muss)
Wär echt super wenn mir das einer erklären könnte.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
<edit>
Def.: Konvexität, konvexe Menge
Eine geometrische Figur (oder eine Teilmenge M eines reellen oder komplexen Vektorraums) wird konvex genannt, wenn mit je zwei ihrer (beliebig gewählten) Punkte auch deren Verbindungsstrecke in der Menge liegt, d.h. wenn für alle [mm] a,b\in [/mm] M gilt, dass
[mm] \overline{ab} [/mm] := [mm] \{\lambda a+(1-\lambda)b\mid0\leq\lambda\leq1\} \subseteq [/mm] M
(bin mir nicht sicher ob es eine Halbkugel ist)
<edit>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Fr 17.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
wie genau habt ihr denn Konvexität definiert ?!?
(das spielt hier nämlich eine wesentliche Rolle beim lösen)
außerdem : stehe ich gerade aufm Schlauch oder ist das eine Vollkugel?
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Sa 18.03.2006 | | Autor: | felixf |
> [mm] $B_r(y):=\{ x \in R^n \mid \parallel x-y\parallel
Ich nehme mal an, dass $R$ die reellen Zahlen [mm] $\IR$ [/mm] sind und dass [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel$ [/mm] eine Norm auf [mm] $\IR^n$ [/mm] ist. Und das $r > 0$ eine positive reelle Zahl ist.
> Ich muss zugeben das ich das mit der Konvexität nicht
> verstanden habe (zumindest hab ich keine Ahnung wie man das
> bei der Aufgabe machen muss)
Lautet die Aufgabe, dass du zeigen sollst, dass $B(y)$ konvex ist?
> Def.: Konvexität, konvexe Menge
> Eine geometrische Figur (oder eine Teilmenge M eines
> reellen oder komplexen Vektorraums) wird konvex genannt,
> wenn mit je zwei ihrer (beliebig gewählten) Punkte auch
> deren Verbindungsstrecke in der Menge liegt, d.h. wenn für
> alle [mm]a,b\in[/mm] M gilt, dass
>
> [mm]\overline{ab}[/mm] := [mm]\{\lambda a+(1-\lambda)b\mid0\leq\lambda\leq1\} \subseteq[/mm]
> M
Also wo liegt das Problem? Du nimmst dir eine solche Verbindungsstrecke [mm] $\overline{ab}$ [/mm] mit $a, b [mm] \in B_r(y)$, [/mm] also [mm] $\parallel [/mm] a [mm] \parallel [/mm] < r$ und [mm] $\parallel [/mm] b [mm] \parallel [/mm] < r$, und zeigst das fuer alle [mm] $\lambda \in [/mm] [0, 1]$ gilt: [mm] $\lambda [/mm] a + (1 - [mm] \lambda) [/mm] b [mm] \in B_r(y)$, [/mm] also [mm] $\parallel \lambda [/mm] a + (1 - [mm] \lambda) [/mm] b [mm] \parallel [/mm] < r$.
Und um das zu zeigen, musst du ein paar Eigenschaften von [mm] $\parallel \bullet \parallel$ [/mm] verwenden (Dreiecksungleichung, herausziehen von Skalaren) und etwas abschaetzen.
> (bin mir nicht sicher ob es eine Halbkugel ist)
Wenn das was ich ganz oben vermutet habe stimmt, dann ist es definitv keine.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Adamo4 |
Danke, jetzt ist alles klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Fr 23.04.2010 | | Autor: | etoxxl |
> > [mm]B_r(y):=\{ x \in R^n \mid \parallel x-y\parallel
> y [mm]\in R^n[/mm]
>
> Ich nehme mal an, dass [mm]R[/mm] die reellen Zahlen [mm]\IR[/mm] sind und
> dass [mm]\parallel x \parallel[/mm] eine Norm auf [mm]\IR^n[/mm] ist. Und das
> [mm]r > 0[/mm] eine positive reelle Zahl ist.
>
> > Ich muss zugeben das ich das mit der Konvexität nicht
> > verstanden habe (zumindest hab ich keine Ahnung wie man das
> > bei der Aufgabe machen muss)
>
> Lautet die Aufgabe, dass du zeigen sollst, dass [mm]B(y)[/mm] konvex
> ist?
>
> > Def.: Konvexität, konvexe Menge
> > Eine geometrische Figur (oder eine Teilmenge M eines
> > reellen oder komplexen Vektorraums) wird konvex genannt,
> > wenn mit je zwei ihrer (beliebig gewählten) Punkte auch
> > deren Verbindungsstrecke in der Menge liegt, d.h. wenn für
> > alle [mm]a,b\in[/mm] M gilt, dass
> >
> > [mm]\overline{ab}[/mm] := [mm]\{\lambda a+(1-\lambda)b\mid0\leq\lambda\leq1\} \subseteq[/mm]
> > M
>
> Also wo liegt das Problem? Du nimmst dir eine solche
> Verbindungsstrecke [mm]\overline{ab}[/mm] mit [mm]a, b \in B_r(y)[/mm], also
> [mm]\parallel a \parallel < r[/mm] und [mm]\parallel b \parallel < r[/mm],
Ist das richtig? Müsste das nicht heißen: [mm] \parallel [/mm] a-y [mm] \parallel [/mm] < r und [mm] \parallel [/mm] b-y [mm] \parallel [/mm] < r , weil wir einen Kugelmittelpunkt y haben, der nicht unbedingt 0 sein muss?
Wie müsste man in diesem Fall vorgehen?
> und zeigst das fuer alle [mm]\lambda \in [0, 1][/mm] gilt: [mm]\lambda a + (1 - \lambda) b \in B_r(y)[/mm],
> also [mm]\parallel \lambda a + (1 - \lambda) b \parallel < r[/mm].
>
> Und um das zu zeigen, musst du ein paar Eigenschaften von
> [mm]\parallel \bullet \parallel[/mm] verwenden (Dreiecksungleichung,
> herausziehen von Skalaren) und etwas abschaetzen.
>
> > (bin mir nicht sicher ob es eine Halbkugel ist)
>
> Wenn das was ich ganz oben vermutet habe stimmt, dann ist
> es definitv keine.
>
> LG Felix
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
> > > [mm]B_r(y):=\{ x \in R^n \mid \parallel x-y\parallel
> > y [mm]\in R^n[/mm]
> >
> > Ich nehme mal an, dass [mm]R[/mm] die reellen Zahlen [mm]\IR[/mm] sind und
> > dass [mm]\parallel x \parallel[/mm] eine Norm auf [mm]\IR^n[/mm] ist. Und das
> > [mm]r > 0[/mm] eine positive reelle Zahl ist.
> >
> > > Ich muss zugeben das ich das mit der Konvexität nicht
> > > verstanden habe (zumindest hab ich keine Ahnung wie man das
> > > bei der Aufgabe machen muss)
> >
> > Lautet die Aufgabe, dass du zeigen sollst, dass [mm]B(y)[/mm] konvex
> > ist?
> >
> > > Def.: Konvexität, konvexe Menge
> > > Eine geometrische Figur (oder eine Teilmenge M eines
> > > reellen oder komplexen Vektorraums) wird konvex genannt,
> > > wenn mit je zwei ihrer (beliebig gewählten) Punkte auch
> > > deren Verbindungsstrecke in der Menge liegt, d.h. wenn für
> > > alle [mm]a,b\in[/mm] M gilt, dass
> > >
> > > [mm]\overline{ab}[/mm] := [mm]\{\lambda a+(1-\lambda)b\mid0\leq\lambda\leq1\} \subseteq[/mm]
> > > M
> >
> > Also wo liegt das Problem? Du nimmst dir eine solche
> > Verbindungsstrecke [mm]\overline{ab}[/mm] mit [mm]a, b \in B_r(y)[/mm], also
> > [mm]\parallel a \parallel < r[/mm] und [mm]\parallel b \parallel < r[/mm],
>
> Ist das richtig? Müsste das nicht heißen: [mm]\parallel[/mm] a-y
> [mm]\parallel[/mm] < r und [mm]\parallel[/mm] b-y [mm]\parallel[/mm] < r , weil wir
> einen Kugelmittelpunkt y haben, der nicht unbedingt 0 sein
> muss?
> Wie müsste man in diesem Fall vorgehen?
>
Man kann oBdA annehmen dass y=0 ist. Liegt nämlich x im [mm] \epsilon [/mm] - Ball um a so liegt x-a im [mm] \epsilon [/mm] - Ball um 0, der Ball ist also einfach um einen Vektor a verschoben. Damit wird die Rechnung etwas übersichtlicher.
> > und zeigst das fuer alle [mm]\lambda \in [0, 1][/mm] gilt: [mm]\lambda a + (1 - \lambda) b \in B_r(y)[/mm],
> > also [mm]\parallel \lambda a + (1 - \lambda) b \parallel < r[/mm].
>
> >
> > Und um das zu zeigen, musst du ein paar Eigenschaften von
> > [mm]\parallel \bullet \parallel[/mm] verwenden (Dreiecksungleichung,
> > herausziehen von Skalaren) und etwas abschaetzen.
> >
> > > (bin mir nicht sicher ob es eine Halbkugel ist)
> >
> > Wenn das was ich ganz oben vermutet habe stimmt, dann ist
> > es definitv keine.
> >
> > LG Felix
> >
Gruß,
Doing
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Sa 24.04.2010 | | Autor: | etoxxl |
Klar!
Danke schön!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Sa 24.04.2010 | | Autor: | etoxxl |
> > > Also wo liegt das Problem? Du nimmst dir eine solche
> > > Verbindungsstrecke [mm]\overline{ab}[/mm] mit [mm]a, b \in B_r(y)[/mm], also
> > > [mm]\parallel a \parallel < r[/mm] und [mm]\parallel b \parallel < r[/mm],
> > > und zeigst das fuer alle [mm]\lambda \in [0, 1][/mm] gilt: [mm]\lambda a + (1 - \lambda) b \in B_r(y)[/mm],
> > > also [mm]\parallel \lambda a + (1 - \lambda) b \parallel < r[/mm].
>
> >
> > >
> > > Und um das zu zeigen, musst du ein paar Eigenschaften von
> > > [mm]\parallel \bullet \parallel[/mm] verwenden (Dreiecksungleichung,
> > > herausziehen von Skalaren) und etwas abschaetzen.
Das mit dem zeigen und abschätzen klappt wunderbar,
jedoch stellt sich die Frage:
Mann kann ja 2 Punkte aus der Kugel nehmen, die auf einer Diagonalen der Kugel liegen, sodass Ihr Abstand größer als r ist.
Wieso stimmt auch für diese Punkte der Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Sa 24.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Frage ist ja, liegen alle Punkte auf der Geraden zwischen [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] näher als r am Kugelmittelpunkt. Der Abstand zwischen [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] kann natürlich größer als r sein, maximal 2r, nämlich der Durchmesser.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Sa 24.04.2010 | | Autor: | etoxxl |
Also gilt folgender Gedankengang?
[mm] \lambda [/mm] a + (1 - [mm] \lambda) [/mm] b gibt die Länge der Strecke wieder
[mm] \parallel \lambda [/mm] a + (1 - [mm] \lambda) [/mm] b [mm] \parallel [/mm] gibt den Abstand vom Kugelmittelpunkt bis zu den Punkten auf der Strecke
und [mm] \parallel \lambda [/mm] a + (1 - [mm] \lambda) [/mm] b [mm] \parallel [/mm] < r zeigt,
dass alle Punkte auf der Strecke weniger als r vom Mittelpunkte entfernt sind,
womit gezeigt ist, dass die Strecke in der Kugel liegt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Sa 24.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a,b sind Vektoren! bzw. Punkte im [mm] R^n, [/mm] ihr Betrag ist der Abstand von 0
$ [mm] \lambda [/mm] $ a + (1 - $ [mm] \lambda) [/mm] $ b ist also auch ein Punkt,
auf der Strecke zischen a und b . also sicher keine Länge! . mach dirs mal im [mm] R^2 [/mm] mit ner Zeichnung klar! die kannst du in Gedanken direkt nach [mm] R^n [/mm] übertragen.
Gruss leduart
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