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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Konvexität von Funktionen
Konvexität von Funktionen < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Konvexität von Funktionen: Wann ist eine Funktion konvex?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 So 25.04.2010
Autor: KingStone007

Hallo,
ich lese gerade das Buch Problem Solving Strategies von Arthur Engel und mache gerade Ungleichungen.
Dort wird einfach gesagt, dass die Funktion

f(a,b,c)=a/(b+c+1) + b/(a+c+1) + c/(a+b+1) +(1-a)*(1-b)*(1-c) für 1>=a,b,c >=0 konvex ist und daher seinen Extrempunkt in (1,1,1) erreicht.

Und meine Frage ist nun
1. Wie sehe ich der Funktion an, dass sie konvex ist?
2. Und warum nimmt sie dann ihren Extremwert grade für a=1, b=1, c=1 ein?

LG, David

        
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Konvexität von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:48 So 25.04.2010
Autor: KingStone007

Achso die zu beweisende Aussage ist das f(a,b,c)<=1 ist mit den gemachten Eigenschaften.

LG, David

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Konvexität von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:40 Di 27.04.2010
Autor: KingStone007

Ja da die Fälligkeit abgelaufen war, meld ich mich mal wieder.
Wär echt nett von euch wenn ihr mir helfen könntet. :)

LG, David

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Konvexität von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:43 So 25.04.2010
Autor: KingStone007

Noch eine Frage.
Ist so eine Funktion noch grafisch darstellbar?
Also eigentlich ja nicht, weil f(x,y) ist ja grade eine Flächenfunktion.
Also müsste ja f(a,b,c) eine Funktion vierter Dimension sein?
Entschuldigt wenn meine Ausdrucksweise nicht grade sehr mathematisch ist.

LG, David

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Konvexität von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Mi 28.04.2010
Autor: chrisno


>  1. Wie sehe ich der Funktion an, dass sie konvex ist?

Was für Sätze über konvexe Funktionen kennst Du? Recherchier mal.

>  2. Und warum nimmt sie dann ihren Extremwert grade für
> a=1, b=1, c=1 ein?

Ich nehme als Beispiel für eine konvexe Funktion eine Normalparabel $f(x) = [mm] x^2$. [/mm] Da ist klar, dass die ein Minimum bei (0/0) hat, aber kein Maximum. Wenn man nun den Definitionsbereich beschränkt, auf $a [mm] \le x\le [/mm] b$ dann kann das Minimum in diesem Bereich liegen, oder auch nicht. Auf jeden Fall wird der größte Wert an einem der beiden Randpunkte angenommen. Die muss man sich anschauen. Beispiel: $a = 1, b = 3, f(1) = 1, f(3) = 9$ damit ist das Maximum bei (3/9).

Bei Deiner Funktion ist es komplizierter, weil es 8 Randpunkte sind.
Es gilt aber trotzdem wegen der Konvexität, dass das Maximum am Rand angenommen werden muss.
Probe: $f(1/1/1) = 1, f(0/0/0) = 1, f(1/0/0) = 1 $ u.s.w.
Also wird das Maximum nicht nur bei (1/1/1) angenommen.

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Konvexität von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:04 Do 29.04.2010
Autor: KingStone007

Naja das hier wäre mein Ansatz zum prüfen...

f(tx+(1-t)y) <= t f(x) +(1-t) f(y)

Das is aus Wikipedia, aber wie mach ich das dann mit 3 Variablen, also eben bei meiner Funktion.

LG, David

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Konvexität von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:34 Fr 30.04.2010
Autor: chrisno

f(tx+(1-t)y) <= t f(x) +(1-t) f(y)
>  
> aber wie mach ich das dann mit 3 Variablen?

das x kannst Du als Vektor lesen, also [mm] $f\left( t \vektor{a \\ b \\ c} + (1-t) \vektor{d \\ e \\ f} \right)$. [/mm]
Im Ergebnis heißt das, dass das t vor jedem a, b und c als Faktor steht.

Kannst Du Ableitungen berechnen? Dann geht es wahrscheinlich einfacher.



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Konvexität von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 Fr 30.04.2010
Autor: KingStone007

naja nur mit x dann...
is das viel schwieriger mit 3 variablen?

LG, David

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Konvexität von Funktionen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:51 Fr 30.04.2010
Autor: KingStone007

Muss ich einfach die anderen beiden Variablen als konstant ansehen und dann so die Ableitung machen?

Lg, David

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Konvexität von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Fr 30.04.2010
Autor: KingStone007

Naja ich hab jetzt mal nach a abgeleitet und komme auf

f''(a,b,c)=2b(a+c+1)^(-3) +2c(a+b+1)^(-3), was ja größer als 0 ist, also wäre die Funktion auch konvex.
Aber meine Frage ist nun, ob die Ableitung richtig ist.
Wäre schön wenn sich einer von euch mal mit der Ableitung auseinander setzen könnte.

Lg, David

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Konvexität von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:18 Sa 01.05.2010
Autor: KingStone007

...

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Konvexität von Funktionen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 So 02.05.2010
Autor: matux

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