Koordinaten- und Parameterform < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Di 21.03.2006 | | Autor: | Knaus |
| Aufgabe | E: 3x+7y-12z=0
E2: 4x+20y+13z=10
Schließen Sie aus der Koordinaten Form auf die Parameterform.
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Mein Frage:
Wie komme ich aus der Koordinaten Form auf die Parameterform?
Matrix kann ich zwar auch so erstellen und dann einfach sehen, dass die sich schneiden und dann die Schnittgerade berechnen. Aber kann mir mal jemand penibel zeigen wie man aus der Koordinaten Form auf die Parameterform kommt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 21.03.2006 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
wenn Du eine ebene von der Koordinatenform in die Parameterform umwandeln möchtest, gehst Du so vor:
Du nimmst Dir drei beliebige Punkte, die in der Ebene liegen [sie dürfen nur nicht alle drei auf einer Geraden liegen!], zb. für E1: 3x + 7y -12z = 0
P1 (1; 0; 1/4)
P2 (1; 1; 5/6)
P3 (0; 2; 7/6)
und stellst dann die Ebenengleichung auf
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1/4} [/mm] + r ( [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 5/6} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1/4}) [/mm] + s ( [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 7/6} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1/4}) [/mm]
= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1/4} [/mm] + r [mm] (\vektor{0 \\ 1 \\ 7/12}) [/mm] + s ( [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 11/12}) [/mm]
Probe: Rückverwandlung in Koordinatenform
I x = 1 + 0r -1s
II y = 0 + 1r +2s
III z = 1/4 + 7/12r + 11/12s
Aus diesen drei Gleichungen werden nun schrittweise beide Parameter eleminiert.
II' mal -7 -> -7y = -7r -14s
III' mal 12 -> 12z = 3 +7r +11s
II'': II' + III' -> -7y + 12z = 3 -3s
I': mal -3 -> -3x = -3 + 3s
II'' + I' -3x -7y +12z = 0
mal -1 3x +7y -12z = 0
Das Verfahren kannst Du für alle Ebenen in Koordinatenform anwenden, zb. auch für E2.
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