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Hallo
Also es geht um die Flächenberechnung.
könnte mir jemand bitte erklären, wann ich zur Koordinatentranformation die Funktionaldeterminante nehme und wann nicht?
z.B. bei x²+y² [mm] \ge [/mm] a² a>0 z=xy/a
nehme ich die Koordinatentranformation mittel Funktionaldeterminante um Zylinderkoordinaten zu erhalten
Wie ich jetzt dann die Fläche berechnen soll, weiss ich auch nicht so wirklich...
und bei x²+y²= 4 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] x²|y| nehme ich keine Funktionaldeterminante um es in Zylinderkoordinaten zu tranformieren. Hier nehme ich lediglich
x= r cos [mm] \gamma
[/mm]
y= r sin [mm] \gamma
[/mm]
r= 2
0 [mm] \le \gamma \le [/mm] 2 pi
daraus folgt 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] (2 cos [mm] \gamma)² [/mm] |2 sin [mm] \gamma|
[/mm]
und dann nehme ich einfach die Formal für die Berechnung von Flächen im Raum F= [mm] \integral_{F}^{dF}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Darthwader |
wie ich von der 1. Gleichung die Fläche brechne weiss ich jetzt. Das ist die selbe, wie die von der 2.
nämlich [mm] \integral_{F}^{}{dF}
[/mm]
dF = [mm] \wurzel{1+fx(x,y)² +fy(x,y)²} [/mm] d(x,y) (entsprechend umgewandelt für den gebrauch von Zylinderkoordinaten
jetzt gehts also darum, warum einmal mit und einmal ohne Funktionaldeterminante...
wär schön, wenn mir jemand helfen könnte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Sa 14.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
wenn du in einem Integral eine Koordinatentransformation durchführst, musst du immer die Funktionaldeterminante einsetzen.
Kannst du bitte beschreiben, warum deiner Meinung nach im zweiten Fall keine Funktionaldeterminante eingesetzt wird?
Oder bist du darüber gestolpert, dass dort die Funktionaldeterminante gerade gleich r ist, und das ist für die gegebene Fläche konstant?
Grüße
Rainer
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hallo
beim 2. Fall habe ich einfach die Formel für die Flächenberechnung angewendet, wenn wir die Parameterdarstellung gegeben haben:
dF wäre in diesem Fall [mm] |x\gamma \times [/mm] xz| = |n|
-> (-2 cos [mm] \gamma, [/mm] 2 cos [mm] \gamma [/mm] 0 [mm] )^T \times (0,0,1)^T [/mm] =n
das ERgbnis lautet (2 cos [mm] \gamma, [/mm] 2 sin [mm] \gamma, 0)^T [/mm] =n
|n| = (4 cos² [mm] \gamma [/mm] +4 sin² [mm] \gamma) [/mm] ^(1/2) = 2
und das dann eben Integriert mit einem Doppelintegral
1 Integral Grenzen 0 bis 2pi 2. Integral Grenzen von 8cos² [mm] \gamma [/mm] (sin [mm] \gamma)
[/mm]
wenn sich hier jetzt doch die Funktionaldeterminante eingeschlichen hätte.
Wie kann ich unterscheiden, welche Formel ich da nehme? Die Formel aus meinem 2. Post für dF oder die in diesem Post?
weiterhin steht in meinem Tafelwerk auch drinne, dass man folgendermaßen mit der Funktionaldeterminante rechnet
x = x(u,v)
y = y(u,v)
u1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] u2
v1(u) [mm] \le [/mm] v [mm] \le [/mm] v2(u)
[mm] \integral_{G}^{}{} \integral_{}^{}{f dG} [/mm] = [mm] \integral_{u1}^{u2}{\integral_{v1(u)}^{v2(u)}{f(x,y) * Funktionaldeterminante dv} du}
[/mm]
Diese Formel kommt doch in beiden Rechnungen nich vor?
oder is mein dF = $ [mm] \wurzel{1+fx(x,y)² +fy(x,y)²} [/mm] $ in zumindest der 1. Formel gleich f(x,y) ? das würde ich bald denken
bin ziemlich verwirrt im Moment...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 So 15.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> beim 2. Fall habe ich einfach die Formel für die
> Flächenberechnung angewendet, wenn wir die
> Parameterdarstellung gegeben haben:
>
> dF wäre in diesem Fall [mm]|x\gamma \times[/mm] xz| = |n|
[mm]dF = |n| d\gamma\, dz[/mm], da ist [mm]|n|[/mm] die Funktionaldeterminante, die für Polarkoordinaten gerade [mm]r[/mm] ist, also in dieser Aufgabe konstant gleich 2 ist.
> -> (-2 cos [mm]\gamma,[/mm] 2 cos [mm]\gamma[/mm] 0 [mm])^T \times (0,0,1)^T[/mm] =n
>
> das ERgbnis lautet (2 cos [mm]\gamma,[/mm] 2 sin [mm]\gamma, 0)^T[/mm] =n
>
> |n| = (4 cos² [mm]\gamma[/mm] +4 sin² [mm]\gamma)[/mm] ^(1/2) = 2
Wenn du das [mm]r[/mm] nicht ganz am Anfang der Rechnung durch 2 ersetzt hättest, hättest du hier [mm]|n|=r[/mm] stehen.
> und das dann eben Integriert mit einem Doppelintegral
> 1 Integral Grenzen 0 bis 2pi 2. Integral Grenzen von 8cos²
> [mm]\gamma[/mm] (sin [mm]\gamma)[/mm]
> Wie kann ich unterscheiden, welche Formel ich da nehme? Die
> Formel aus meinem 2. Post für dF oder die in diesem Post?
Das ergibt das Gleiche, es ist also egal.
> weiterhin steht in meinem Tafelwerk auch drinne, dass man
> folgendermaßen mit der Funktionaldeterminante rechnet
>
> x = x(u,v)
> y = y(u,v)
> u1 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] u2
> v1(u) [mm]\le[/mm] v [mm]\le[/mm] v2(u)
>
> [mm]\integral_{G}^{}{} \integral_{}^{}{f dG}[/mm] =
> [mm]\integral_{u1}^{u2}{\integral_{v1(u)}^{v2(u)}{f(x,y) * Funktionaldeterminante dv} du}[/mm]
>
>
> Diese Formel kommt doch in beiden Rechnungen nich vor?
Doch, denn du rechnest ja nicht das Flächenintegral einer beliebigen Funktion [mm]f[/mm], sondern die Fläche selbst, also [mm]f=1[/mm]. Das ist genau dein Integral von weiter oben, mit [mm] v = z[/mm], [mm] u= \gamma[/mm], [mm]u1=0[/mm], [mm]u2=2\pi[/mm], [mm]v1=0[/mm], [mm]v2= 8 \cos^2\gamma sin\gamma[/mm].
Grüße
Rainer
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