Koordinatenabbildung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Sa 13.02.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Die Koordinatenabbildung [mm] K_{B} [/mm] von [mm] \IR_{\le2}[x] [/mm] bezüglich einer bestimmten Basis [mm] B:={p_{1},p_{2},p_{3}} [/mm] ist gegeben durch:
[mm] K_{B}: \IR_{\le2}[x] \to \IR^{3}
[/mm]
[mm] ax^{2}+bx+c \mapsto \vektor{a-c \\ a+b \\ b+2c }
[/mm]
(a) Bestimmen Sie [mm] K_{B}^{-1} (\vektor{e \\ f \\ g }) [/mm] für [mm] \vektor{e \\ f \\ g } \in IR^{3}.
[/mm]
(b) Bestimmen Sie B. |
Moin!
Ich weiß leider garnichts damit anzufangen. Wie ich Koordinatenabbildungen ausrechne wurde mir hier schon erklärt, also Bilder der Basis bestimmen und dann mit Koeffizientenvergleich usw.
aber ich hab ja garkeine Basis gegeben?!
Bin für jeden Tip dankbar, schöne Grüße!
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> Die Koordinatenabbildung [mm]K_{B}[/mm] von [mm]\IR_{\le2}[x][/mm] bezüglich
> einer bestimmten Basis [mm]B:={p_{1},p_{2},p_{3}}[/mm] ist gegeben
> durch:
>
> [mm]K_{B}: \IR_{\le2}[x] \to \IR^{3}[/mm]
>
> [mm]ax^{2}+bx+c \mapsto \vektor{a-c \\ a+b \\ b+2c }[/mm]
>
> (a) Bestimmen Sie [mm]K_{B}^{-1} (\vektor{e \\ f \\ g })[/mm] für
> [mm]\vektor{e \\ f \\ g } \in IR^{3}.[/mm]
>
> (b) Bestimmen Sie B.
> Moin!
> Ich weiß leider garnichts damit anzufangen. Wie ich
> Koordinatenabbildungen ausrechne wurde mir hier schon
> erklärt, also Bilder der Basis bestimmen und dann mit
> Koeffizientenvergleich usw.
> aber ich hab ja garkeine Basis gegeben?!
Hallo,
doch. Wir wissen zwar nicht, wie sie aussieht, aber es wurde gesagt, daß [mm] B:=(p_1, p_2, p_3) [/mm] irgendeine Basis des Polynomraums sein soll,
und daß
[mm] K_B(ax^2+bx+c)=\vektor{a-c \\ a+b \\ b+2c }.
[/mm]
Das bedeutet: es ist [mm] ax^2+bx+c =(a-c)p_1 [/mm] + [mm] (a+b)p_2 [/mm] + [mm] (b+2c)p_3.
[/mm]
Die Abbildung [mm] K_B [/mm] liefert ja für jedes Polynom seinen Koordinatenvektor bzgl. B.
In Aufgabe a) sollst Du nun sagen, was $ [mm] K_{B}^{-1} (\vektor{e \\ f \\ g }) [/mm] $ ist.
Du mußt Dir also überlegen, welches Polynom vermöge [mm] K_B [/mm] auf [mm] \vektor{e \\ f \\ g } [/mm] abgebildet wird.
Eine mögliche Vorgehensweise:
welches Polynom wird auf [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] abgebildet, welches auf [mm] \vektor{0\\1\\0}, [/mm] welches auf [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] ?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Sa 13.02.2010 | | Autor: | stffn |
Also ist das im Prinzip auch nichts anderes?!?!
Wenn ich es richtig verstanden hab, ist es egal welche Vektoren ich mir aussuche, auf die abgebildet werden soll? d.h. ich könnte auch beispielsweise gucken, welches Polynom auf [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3 } [/mm] abbildet?
Naja, so richtig verstanden habe ich es glaube nicht.
Was bedeutet denn die ^{-1} ?
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> Also ist das im Prinzip auch nichts anderes?!?!
Hallo,
da ich nicht weiß, was Du mit "das" meinst, kann ich hier schlecht antworten.
> Wenn ich es richtig verstanden hab, ist es egal welche
> Vektoren ich mir aussuche, auf die abgebildet werden soll?
Nein. Du sollst schließlich sagen: das Polynom [mm] p=...x^2+...x+... [/mm] wird durch [mm] K_B [/mm] auf [mm] \vektor{d\\e\\f} [/mm] abgebildet.
Du sollst die Koeffizienten angeben.
Anderer Lösungsweg - wahrscheinlich besser:
Du kennst [mm] K_B(ax^2+bx+c)=\vektor{...\\...\\...} [/mm] (Hab jetzt keine Lust, nochmal zu gucken).
Nun ist die Frage: wie müssen a, b, c gewählt werden, damit [mm] \vektor{...\\...\\...} =\vektor{d\\e\\f} [/mm] herauskommt?.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 So 14.02.2010 | | Autor: | stffn |
Also, ich glaube ich habe endlich die Lösung:
Ich dachte mir, ich muss das LGS lösen, in dem ich einfach nach der Abbildungsvorschrift für die Koordinaten a, b und c eine 1 "einsetze", dass also [mm] \vektor{e \\ f \\ g}=K_{B}(ax^{2}+bx+c)=\vektor{a-c \\ a+b \\ b+2c} [/mm] ist:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 }=\vektor{e \\ f \\ g}
[/mm]
Ergebnis:
a=2e-f+g
b=2f-2e-g
c=g-f+e
Also müsste das Endergebnis sein:
[mm] K_{B}^{-1}(\vektor{e \\ f \\ g})=(2e-f+g)x^{2}+(2f-2e-g)x+(g-f+e)
[/mm]
Wenn ich jetzt B haben möchte, würde ich gucken welche Polynome auf [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] abbildet (3 lin. unabh. Vektoren bilden eine Basis).
Ist das richtig?
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> Also, ich glaube ich habe endlich die Lösung:
>
> Ich dachte mir, ich muss das LGS lösen, in dem ich einfach
> nach der Abbildungsvorschrift für die Koordinaten a, b und
> c eine 1 "einsetze", dass also [mm]\vektor{e \\ f \\ g}=K_{B}(ax^{2}+bx+c)=\vektor{a-c \\ a+b \\ b+2c}[/mm]
> ist:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 }=\vektor{e \\ f \\ g}[/mm]
Hallo,
formuliert ist es katastrophal, meinen tust Du es richtig.
Du löst das Gleichungssystem mit den variablen a,b,c:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 }*\vektor{a\\b\\c}=\vektor{e \\ f \\ g}.
[/mm]
>
> Ergebnis:
>
> a=2e-f+g
> b=2f-2e-g
> c=g-f+e
>
> Also müsste das Endergebnis sein:
>
> [mm]K_{B}^{-1}(\vektor{e \\ f \\ g})=(2e-f+g)x^{2}+(2f-2e-g)x+(g-f+e)[/mm]
Hab' ich jetzt nicht nachgerechnet, die Vorgehensweise ist richtig.
>
> Wenn ich jetzt B haben möchte, würde ich gucken welche
> Polynome auf [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] abbildet
Genau.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Mo 15.02.2010 | | Autor: | stffn |
Vielen Dank...!
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