Koordinatenberechnung im Raum < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Di 14.03.2006 | | Autor: | spacy |
| Aufgabe | | Gegen sind die Punkte A (-4/-1) und C (4/5). Sie definieren die Hypotenuse eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks. Berechne die Koordinaten des Eckpunktes B |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Steh leider total auf dem Schlauch, wie man den Punkt berechnen soll. Die Länge der Hypotenuse b war gar nicht so schwer (100). Und die Länge von a ist gleich der Länge von c. Aber wie soll man die Koordinaten herausfinden?
Bin für jeden Tipp dankbar!
Tschüü und danke schon mal!
Spacy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Di 14.03.2006 | | Autor: | ronald |
Hi Spacy,
ein Tipp von mir wäre, die Aufgabe noch mal durchzulesen und dann zu versuchen alle bekannten Angaben bei der Lösung der Aufgabe einzubeziehen. Es handelt sich hier doch um ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Was zeichnet ein gleichschenkliges Dreieck aus? Mindestens zwei der drei Dreiecksseiten sind gleich lang. Wie du richtig erkannt hast, [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] müssen diegleiche Länge haben. Wie kann man das dann durch Eigenschaften von Vektoren formal ausdrücken? Und was ist an einem rechtwinkligen Dreieck so besonders? Ja, genau das hat einen Winkel mit 90 Grad. Und was weißt du über Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen?(Sklaraprodukt von Vektoren). Hat das was geholfen?
LG
Ronald
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Di 14.03.2006 | | Autor: | spacy |
Nein, irgendwie steh ich noch immer auf dem Schlauch. Wir haben ja eigentlich grad den Satz von Pythagoras und so. Mit Skalarprodukten hatten wir schon lange nichts mehr. Wenn man wenigstens die X-Koordinate von B wüsste, dann gibts ne Formel, mit der man die Y-Koordinate ausrechnen kann.
Aber wie man X-die Koodinate findet peil ich überhaupt nicht.
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Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ist ein halbes Quadrat. In einem Quadrat stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und die Diagonalenstücke sind gleich lang. Die Steigung von [mm]AC[/mm] (Diagonale im Quadrat) ist bekannt: [mm]\frac{3}{4}[/mm]. Wegen der Orthogonalität hat die andere Diagonale als Steigung den negativen Kehrwert: [mm]- \frac{4}{3}[/mm]. Wenn man nun auch noch kongruente Steigungsdreiecke wie in der Zeichnung ansetzt, so folgt alles.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Di 14.03.2006 | | Autor: | ronald |
Hi,
ich verstehe gerade nicht welche Formel du meinst. Aber ich wills anders versuchen zu erklären.
Das große Unbekannte ist ja der dritte Eckpunkt mit seinen zwei Koordinaten x1 und x2 in diesem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck. Und wir wissen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] haben diegleiche Länge.
Die Frage ist jetzt, wie sehen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] aus? Du gewinnst aus zwei Punkten einen Vektor, indem du die Koordinaten der beiden Punkten komponentenweise voneinander abziehst. Der Vektor [mm] \vec{b}, [/mm] also die Hypothenuse ist [mm] \vec{b}= [/mm] C - A = [mm] \vektor{4-(-4) \\ 5-(-1)}= \vektor{8 \\ 6}. [/mm] Jetzt weißt du auch, wie du [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] darzustellen hast. Sie sind natürlich in Abhängigkeit von x1 und x2. Und dann stellst du die Gleichung [mm] |\vec{a}| =|\vec{c}| [/mm] auf.
Eine andere Gleichung bekommst du, wenn du die Eigenschaft benutzt, dass [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] senkrecht aufeinander stehen. Da muss gelten [mm] <\vec{a}| \vec{c}>=0. [/mm]
[mm] <\vec{x} [/mm] | [mm] \vec{y}> [/mm] bedeutet Skalarprodukt, kennst du ja bereits. Und da du jetzt zwei verschiedene Gleichungen mit zwei Unbekannten hast, bekommst du auch eine Lösung für x1 und x2. Ok das müsste reichen oder?
Grüsse
Ronald
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