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Hallo,
also ich habe den Graph einer linearen Funktion im KOS gegeben. Und ich habe einen Kreis [mm] x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9 [/mm] um den Mittelpunkt M(0|0) gegeben. Ist es möglich die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden rechnerisch zu bestimmen?
Wenn ja, wie macht man so etwas?
ich würde mich über hilfe freuen
viele grüße
informacao
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Hallo,
natürlich ist es möglich:
Deine Geradengleichung sieht wohl so aus:
[mm]y = mx + n[/mm]
und deine Kreisgleichung kennen wir:
[mm](x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 = r^2[/mm] (mit allgemeinem Radius und Mittelpunkt)
bzw.
[mm]x^2 + y^2 = 9[/mm] in deinem Fall.
Nun setze einfach den Term für y aus der Geradengleichung in die Kreisgleichung ein. Dann bekommst du eine quadratische Gleichung in x, die du nach der pq-Formel lösen kannst (wenn es einen Schnittpunkt gibt).
Die y-Koordinate(n) kannst du dann mit der Geradengleichung ausrechnen.
Gruß
Martin
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ok gut danke das habe ich verstanden...
aber wie ist das ANSCHAULICH....wie könnte man das jemandem erklären, der nicht weiß wie es geht...also VERDEUTLICHEN.... in der zeichung, KOS , o.ä..??
viele grüße
informacao
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Versuch es doch mal so:
Zeichnung mit:
Koordinatenachsen + Kreis + Gerade
Nun wählst du einige Punkte auf der Geraden (darunter einen Schnittpunkt) und verbindest jeden dieser Punkte mit dem Ursprung des Koordinatensystems.
Danach bestimmst du die Längen dieser Verbindungsstrecken, also die Entfernung dieser Punkte zu diesem Ursprung.
Wenn die Entfernung genau [mm]r^2[/mm], in deinem Fall also 9 entspricht, dann hast du einen Schnittpunkt mit dem Kreis gefunden.
Hintergrund:
Ein Kreis ist definiert als die Menge aller Punkte mit gleichem Abstand zu einem gemeinsamen Punkt, dem Kreismittelpunkt. Wir klappern also alle Punkte auf der Geraden ab und suchen diejenigen, die diese Enfernung zum Mittelpunkt aufweisen.
Gruß
Martin
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hmmmmm joaaaaa...das hab ich nicht verstande... -.-
informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Fr 01.09.2006 | | Autor: | sarose |
Ist schon alles gesagt. Aber ich versuch es noch mal mit dem Veranschaulichen.
Zeichne ein Koordinatensystem und beschrifte es.
Zeichne den Kreis in das Koordinatensystem. Mittelpunkt M(0|0) mit Radius 3 cm.
Zeichen die gegebene Gerade in dein Koordinatensystem. Nehmen wir z. B. f(x) = x
Schnittpunkte ergeben sich dann schon.
Um die Punkte zu berechnen, formst du die Kreisgleichung x²+y²=9 nach y um und setzt die beiden Funktionen (Kreisgl. und lin. Gleichung) gleich, oder du setzt die lin. Gleichung in die Kreisgleichung ein. Mit etwas umformen solltest du auf die pq-Form kommen und berechnen. Die Werte [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] sind die Werte auf der x-Achse. Nun noch in die Kreisgleichung oder in die Geradengleichung einsetzen und die erhälst die Koordinaten der Schnittpunkte.
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ok ich hab das mal gemacht, das sieht jetzt so aus, aber ich komme am schluss nicht weiter...
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei im Anhang
war das bis jetzt ok? und wie muss ich weiter machen?
viele grüße
informacao
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Lass das mit der Wurzel am besten. Lass das y² lieber stehen und setz deine Geradegleichung da ein. Denn das kannst du einfacher mit der 1. binomischen Formel auflösen.
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ehm jaaa das hab ich eben versucht, aber so einfach geht das nicht..ich komm nicht weiter, ich hänge immer noch an der stelle...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Für [mm] -1\*x-1 [/mm] könntest du auch einfach -x-1 schreiben.
Und eine binomische Formel lautet ja: (a-b)²=a²-2ab+b²... und das musst du nur auf deinen Fall anwenden.
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jaja , das hab ich schon gemacht...aber da kommt immer nur mist raus...am schluss... wie macht man das denn??
ich brauche hilfe,
liebe grüße
informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Du hast schon beim Umstellen einen kleinen Vorzeichenfehler gemacht.
x²+y²=9
x²=9-y²
x²-9=y² <- Du hast da ein - vergessen!
Also richtig heißt es: y²=9-x².
Weiter geht's:
(-x-1)²=9-x²
x²+2x+1=9-x² |+x² |-9
2x²+2x-8=0 |:2
x²+x-4=0
pq-Formel dann :) dann setzt du die beiden x-Werte, die du erhälst einfach wieder in deine Geradengleichung ein um die y-Werte zu ermitteln.
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ja stimmt, das habe ich verstanden...
aber da steht dann was negatives bei der pq formel unter der wurzel, oder habe ich schon wieder was falsch gemacht???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Denk schon ;)
x²+x-4=0
[mm] x_{1;2}=-\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4}+4}
[/mm]
sollte es sein.
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ja hab ich auch eben bemerkt 
danke für deine hilfe!!!
ich hab jetzt endlich die schnittpunkte raus...
aber mir fällt grad doch noch ne kleine frage ein:
gibt es einen GRUND, warum man das so machen muss, um die schnittpunkte zu berechnen, also gibt es einen beweis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Naja, das ist so, als wenn du den Schnittpunkt von 2 Geraden berechnen wolltest.
Wenn du z.B. y=5x+8 und 2y+1=x hast.
Dann könntest du beide Gleichung nach y umstellen und gleichsetzen z.B.
Das Additionsverfahren könnte man natürlich auch machen, aber das bequemste wäre hier das Einsetzungsverfahren, wie man es bei den Schnittpunkten mit dem Kreis gemacht hat.
Ein Schnittpunkt von 2 Grafen ist ja ein Paar von 2 Koordinaten: der x- & y-Koordinate.
Und durch diese ganzen Verfahren (Einsetzen, Gleichsetzen, Addieren) versucht man diese immer herauszufinden.
Und bei Kreisen ist das genau das gleiche, nur dass man mehr als einen Schnittpunkt hat.
Nunja, ich bin kein Lehrer oder Mathestudent... Kann das leider nicht genauer erläutern ;) aber wenn das jemand kann soll er es ruhig tun.
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Hallo Informacao,
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> aber mir fällt grad doch noch ne kleine frage ein:
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> gibt es einen GRUND, warum man das so machen muss, um die
> schnittpunkte zu berechnen, also gibt es einen beweis?
keinen Beweis, aber:
du suchst von zwei Graphen den gemeinsamen Punkt, also den Punkt, dessen Koordinaten beide Gleichungen erfüllen:
Kreis: [mm] $x^2+y^2=9$ [/mm] Gerade: $y=mx + n$
Das ist genau genommen ein Gleichungssystem, das du mit der Einsetzmethode am schnellsten löst.
[mm] $x^2 [/mm] + [mm] (mx+n)^2=9$
[/mm]
[mm] $x^2 [/mm] + [mm] m^2x^2 [/mm] + 2mn*x + [mm] n^2-9=0$
[/mm]
[mm] $(1+m^2)x^2 [/mm] + 2mn*x [mm] +(n^2-9)=0$
[/mm]
Wenn du nun deine konkreten Zahlen einsetzt, hast du eine quadratische Gleichung, die du hoffentlich lösen kannst; denn dann gibt es Schnittpunkte, sonst eben nicht. Wenn du nur einen Schnittpunkt bekommst, hast du eine Tangente an den Kreis gefunden.
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Informacao |
ja danke!! jetzt habe ich es durchblickt!
danke nochmal für die hilfe!
viele grüße
informacao
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