Koordinatentransf. DGL Charak. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 So 14.11.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Leute,
Ich habe gerade eine DGL vereinfacht, indem ich eine Koordinatentransformation vorgenommen habe. Das Problem ist nur, dass ich das nun so gelöste System in den neuen Koordinaten nicht mehr zurücktransformieren kann...
Mir ist durchaus klar, dass dies nicht immer möglich ist, doch frage ich mich was alles in meiner Macht steht an mathematischen Mitteln um wenigstens teilweise oder so zurück zu transformieren?
x,y sind die Ursprünglichen Koordinaten. Dabei ist die Funktion u(x,y) gesucht.
Ich habe jetzt neue Eingeführt mit x(t,s), y(t,s) als auch u(t,s)
Somit ergab sich folgendes System:
x = t+s
y = s*(cos(t) - sin(t))
u = s*(sin(t) + cos(t))
Also die Funktion u und y ist sone Schwingung mit verschiedenen Amplituden, je nach s. Da ist mal klar, dass das nur auf einem Intervall zwischen zwei Nullstellen eindeutig sein kann, (oder...?)
Ich hab mir hald überlegt: Wenn ich s festhalte kann ich es einfach lösen:
u=s*(sin(x-s) + cos(x-s))
Macht das auch irgendeinen Sinn s einfach in der Lösung zu behalten und als festen Wert zu sehen? Ich denke schon, da je nach s ja eben verschiedene Schwingungen mit verschiedenen Amplituden herauskommen, und an den Nullstellen der Schwingung gehen ja diese vielen Schwingungen weg, je nach s.
Ausserdem habe ich versucht es analytisch doch irgendwie aufzulösen, nach n bissl umformen kommt man auf
x = [mm] arccos(\bruch{u+y}{2s}) [/mm] + s
Jetzt könnte man doch für das s im arccos-Term einfach immer und immer wieder x - [mm] arccos(\bruch{u+y}{2s} [/mm] einsetzen, käme man so zu irgendwinem Grenzwert? Dann hät ich nach s aufgelöst und hätte den Rest schnell...
Also so sähe der 1. Iterative Schritt dann aus:
x = [mm] arccos(\bruch{u+y}{2(x - arccos(\bruch{u+y}{2s})
)}) [/mm] + s
Wäre dankbar für Hilfe und fände es interessant wenn jemand vielleicht noch irgendwelche Mathematischen Mittel kennt um hier weiter zu kommen...?
Gruss
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Hallo qsxqsx,
> Hallo Leute,
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> Ich habe gerade eine DGL vereinfacht, indem ich eine
> Koordinatentransformation vorgenommen habe. Das Problem ist
> nur, dass ich das nun so gelöste System in den neuen
> Koordinaten nicht mehr zurücktransformieren kann...
> Mir ist durchaus klar, dass dies nicht immer möglich ist,
> doch frage ich mich was alles in meiner Macht steht an
> mathematischen Mitteln um wenigstens teilweise oder so
> zurück zu transformieren?
>
> x,y sind die Ursprünglichen Koordinaten. Dabei ist die
> Funktion u(x,y) gesucht.
> Ich habe jetzt neue Eingeführt mit x(t,s), y(t,s) als auch
> u(t,s)
>
> Somit ergab sich folgendes System:
>
> x = t+s
> y = s*(cos(t) - sin(t))
> u = s*(sin(t) + cos(t))
>
> Also die Funktion u und y ist sone Schwingung mit
> verschiedenen Amplituden, je nach s. Da ist mal klar, dass
> das nur auf einem Intervall zwischen zwei Nullstellen
> eindeutig sein kann, (oder...?)
>
> Ich hab mir hald überlegt: Wenn ich s festhalte kann ich
> es einfach lösen:
> u=s*(sin(x-s) + cos(x-s))
> Macht das auch irgendeinen Sinn s einfach in der Lösung
> zu behalten und als festen Wert zu sehen? Ich denke schon,
> da je nach s ja eben verschiedene Schwingungen mit
> verschiedenen Amplituden herauskommen, und an den
> Nullstellen der Schwingung gehen ja diese vielen
> Schwingungen weg, je nach s.
>
> Ausserdem habe ich versucht es analytisch doch irgendwie
> aufzulösen, nach n bissl umformen kommt man auf
> x = [mm]arccos(\bruch{u+y}{2s})[/mm] + s
> Jetzt könnte man doch für das s im arccos-Term einfach
> immer und immer wieder x - [mm]arccos(\bruch{u+y}{2s}[/mm]
> einsetzen, käme man so zu irgendwinem Grenzwert? Dann hät
> ich nach s aufgelöst und hätte den Rest schnell...
>
> Also so sähe der 1. Iterative Schritt dann aus:
> x = [mm]arccos(\bruch{u+y}{2(x - arccos(\bruch{u+y}{2s})
)})[/mm]
> + s
>
> Wäre dankbar für Hilfe und fände es interessant wenn
> jemand vielleicht noch irgendwelche Mathematischen Mittel
> kennt um hier weiter zu kommen...?
Quadriere die zweite und dritte Gleichung und addiere sie,
damit bekommst Du s.
Mit diesem s gehst Du in die erste Gleichung und erhältst so t.
>
> Gruss
>
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:52 So 14.11.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi MathePower...
Stimmt ja...so einfach...!
Die Lösung ist Implizit - was ja absehbar ist. Jetzt frage ich mich aber ob es immer eine Implizite Lösung auf einem noch so kleinen Intervall gibt?
Egal wie auch immer die beziehung x(t,s),y(t,s) und u(t,s) sein mag, es lässt sich immer implizit lösen?! Weiss jemand da einen Satz?
(Was ich verstehe ist das mit der Jacobi-Matrix - dass man sich eben nicht in einem Punkt befinden darf, wo man in gleiche richtung läuft wie in die Richtung der Anfangsbedingung - also d.h. man muss transversal zur Anfangsbedingung gehen, ansonsten gibt es probleme bei der Methode der Charakteristiken...)
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 21.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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