Koordinatentransf. Zylinderglg < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mo 27.03.2006 | | Autor: | SophieL |
| Aufgabe | Guten Tag!
Ich habe hier große Kompetenz gelesen, ich hoffe, Ihr könnt mir helfen!
Dies ist keine "Schulaufgabe", sondern ein Problem, das mich im wirklichen Leben quält, ich hoffe, das widerspricht nicht den Regeln hier.
Ich bin keine Mathematikerin, also bitte verzeiht, wenn ich manche Dinge falsch audrücke.
Ich möchte eine Zylindergleichung z.B. der Form [mm] x^{2}+y^{2}=r^{2} [/mm] mittels einer Koordinatentranformation auf eine andere Achse bringen (d.h. beliebig im [mm] \IR_{3} [/mm] verdrehen). |
Ich habe herausgefunden, daß man eine Quadratische Form mithilfe von Matrizen als [mm] \vec{x}^{T}\vec{A}\vec{x} [/mm] darstellen kann. Nur, was auch immer ich für eine Transformation damit versuche, ich komme z.B. nie auf einen gedrehten Zylinder der Form [mm] y^{2}+z^{2}=r^{2} [/mm] (ich wollte zuerst einmal etwas Einfaches probieren), der doch bloss eine Rotationsmatrix um die y-Achse [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0} [/mm] verlangen würde. Wo ist mein Denkfehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Di 28.03.2006 | | Autor: | topotyp |
Hallo!
Mich würde mal interessieren, wo die Frage im wirklichen Leben
auftaucht? Vielleicht bei den Ingenieuren...
Na ja, es ist so: deine quadratische Form [mm] x^T [/mm] A x kann man in ein anderes
KS transformieren indem man die Matrix A transformiert, und zwar
gemäß A -> [mm] SAS^T, [/mm] wobei S eine reguläre Matrix ist (die die Transformation
beschreibt) und [mm] S^T [/mm] die Transponierte. Wenn du zB. für
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ---> [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] was suchst, hast du also anfangs
A=diag(1,1,0) und wenn du nun
S= 0 0 1
0 1 0
1 0 0
nimmst, kommst du auf (hoffe ich...) [mm] SAS^T=diag(0 [/mm] 1 1)
das enstspricht [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2. [/mm] Toll, was?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Di 28.03.2006 | | Autor: | SophieL |
Ja, tatsächlich, Ingenieure brauchen so etwas  . Ich will schlussendlich wissen, welche projizierende Fläche ein Zylinder normal zu einer Strömungsrichtung hat.
Aber zur Frage: Wieso ist das so, dass man dann noch einmal mit der [mm] S^{T} [/mm] multipliziert (das hatte ich nämlich nicht getan), funktioniert zwar wunderbar, aber wieso eben tut man das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Di 28.03.2006 | | Autor: | topotyp |
Wieso schreibst du eigentlich in dem Schule-Forum? So schulisch ist
das doch gar nicht...
Wenn man zu einem anderen KS übergeht, also x-> Sx
erhält man statt [mm] x^T [/mm] Ax doch nun [mm] (Sx)^T [/mm] A(Sx) = [mm] x^T S^T [/mm] ASx
(beim Transponieren muss man ja die matrizen vertauschen)
und wie du nun siehst ist die neue Matrix in der Mitte genau
[mm] S^T [/mm] AS. Was studierst du denn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Mi 29.03.2006 | | Autor: | topotyp |
Ok, habe mich irgendwie geirrt, das ist tatsächlich das Hochschule Forum.
Viel Spass noch!
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