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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Berechne
[mm] (i)$\int_B x^2 d\lambda^2,~~B=\lbrace (x,y)\in \IR^2 :~|x|+|y|\leq 1\rbrace$
[/mm]
[mm] (ii)$\int_B x^2+y^2 d\lambda^2,~~B=\lbrace(x,y) \in \IR^2:~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1\rbrace ,~~ab\neq0$
[/mm]
(iii)das Volumen des Körpers, der von [mm] $x^2+y^2+z^2=2ax$ [/mm] aus dem Zylinder [mm] $(x-a)^2 +y^2 \leq b^2,~~0
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Hi,
diese ganze Transformationsgeschichte sitzt bei mir noch nicht wirklich. Wäre dankbar, wenn jemand mir das mal an Hand einer der Aufgaben erklären könnte.
Eine Frage zu 3. hab ich auch noch - ist das wirklich ein Zylinder ? Irgendwie fehlt doch da die z-Koordinate oder?
Vielen Dank,
lg, Ole
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Hallo Ole-Wahn,
> Berechne
> (i)[mm]\int_B x^2 d\lambda^2,~~B=\lbrace (x,y)\in \IR^2 :~|x|+|y|\leq 1\rbrace[/mm]
>
> (ii)[mm]\int_B x^2+y^2 d\lambda^2,~~B=\lbrace(x,y) \in \IR^2:~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1\rbrace ,~~ab\neq0[/mm]
>
> (iii)das Volumen des Körpers, der von [mm]x^2+y^2+z^2=2ax[/mm] aus
> dem Zylinder [mm](x-a)^2 +y^2 \leq b^2,~~0
> herausgeschnitten wird.
>
>
>
>
> Hi,
>
> diese ganze Transformationsgeschichte sitzt bei mir noch
> nicht wirklich. Wäre dankbar, wenn jemand mir das mal an
> Hand einer der Aufgaben erklären könnte.
Zu i)
Hier ist offensichtlich, daß B Kreise mit [mm]0 \le r \le 1[/mm] beschreibt,
also [mm]x^{2}+y^{2}=r^{2}[/mm]
Wähle hier also die Parametertransformation
[mm]x=r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]y=r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
Dann ist
[mm]J=\pmat{ \bruch{\partial x\left(r,\varphi\right)}{\partial r} & \bruch{\partial x\left(r,\varphi\right)}{\partial \varphi} \\ \bruch{\partial y\left(r,\varphi\right)}{\partial r} & \bruch{\partial y\left(r,\varphi\right)}{\partial \varphi}}[/mm]
,wobei J die ![[]](/images/popup.gif) Jacobi-Matrix der Parametertransformation ist.
Die Grenzen sind aus der Gleichung
[mm]x^{2}+y^{2}=r^{2} [/mm]
zu berechnen und entsprechend der Parametertransformation zu transformieren.
Dann ergibt sich:
[mm]\int_B x^2 d\lambda^2=\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{1}{x^{2}\left(r,\varphi\right) \ det\left(J\right) \ dr} \ d\varphi}[/mm]
> Eine Frage zu 3. hab ich auch noch - ist das wirklich ein
> Zylinder ? Irgendwie fehlt doch da die z-Koordinate oder?
Die Grenze für z bekommst Du heraus, wenn Du diese 2 Gleichungen schneidest:
[mm]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2ax[/mm]
[mm]\left(x-a\right)^{2}+y^{2}=r^{2}, \ 0 \le r^{2} \le b^{2}[/mm]
>
> Vielen Dank,
>
> lg, Ole
Gruß
MathePower
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