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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Koordinatentransformation
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Koordinatentransformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Mo 09.08.2010
Autor: zocca21

Aufgabe
Bestimmen sie die Koordinatentranfsormation G [mm] \kappa [/mm] F, welche Koordinaten bezüglich F= (P,f1,f2) in solche G=(Q,g1,g2) umgewandelt werden.

P=(1,-1), Q=(-2,0) Vektoren: [mm] f1=(0,1)^T,f2=(-1,2)^T,g1=(1,0)^T,g2=(0,-1)^T [/mm]

So nun dachte ich, ich gehe folgendermaßen vor:

G [mm] \kappa [/mm] F = G [mm] \kappa [/mm] E ° E [mm] \kappa [/mm] F

E [mm] \kappa [/mm] G = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{-2 \\ 0} [/mm]

G [mm] \kappa [/mm] E = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{ 2 \\ 0} [/mm]

E [mm] \kappa [/mm] F = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 2 } \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{ 1 \\ -1} [/mm]

G [mm] \kappa [/mm] F = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 2 } (\vektor{x \\ y} [/mm] - P + Q)

Nun meine Frage:

G [mm] \kappa [/mm] F = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & -2 } (\vektor{x \\ y} [/mm] - ( P + Q))

Als Lösung sollte am Ende des Terms + [mm] \vektor{ 3 \\ 1} [/mm] stehen..jedoch komme ich nicht darauf was ich am Ende einsetzen muss...
Die Ausgangspunkte P und Q sind es ja nicht und wenn ich die von G [mm] \kappa [/mm] E und  E [mm] \kappa [/mm] F einsetze..passt es auch nicht..

Vielen Dank für Hilfe

        
Bezug
Koordinatentransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Mo 09.08.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Bestimmen sie die Koordinatentranfsormation G [mm]\kappa[/mm] F,
> welche Koordinaten bezüglich F= (P,f1,f2) in solche
> G=(Q,g1,g2) umgewandelt werden.
>  
> P=(1,-1), Q=(-2,0) Vektoren:
> [mm]f1=(0,1)^T,f2=(-1,2)^T,g1=(1,0)^T,g2=(0,-1)^T[/mm]
>  So nun dachte ich, ich gehe folgendermaßen vor:
>  
> G [mm]\kappa[/mm] F = G [mm]\kappa[/mm] E ° E [mm]\kappa[/mm] F
>  
> E [mm]\kappa[/mm] G = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } \vektor{x \\ y}+\vektor{-2 \\ 0}[/mm]
>  
> G [mm]\kappa[/mm] E = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } \vektor{x \\ y}+\vektor{ 2 \\ 0}[/mm]
>  
> E [mm]\kappa[/mm] F = [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 2 } \vektor{x \\ y}+\vektor{ 1 \\ -1}[/mm]
>  
> G [mm]\kappa[/mm] F = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 2 } (\vektor{x \\ y}- P + Q)[/mm]
>
>  
> Nun meine Frage:
>
> G [mm]\kappa[/mm] F = [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & -2 } (\vektor{x \\ y}-( P + Q))[/mm]
>
>  
> Als Lösung sollte am Ende des Terms + [mm]\vektor{ 3 \\ 1}[/mm]
> stehen..jedoch komme ich nicht darauf was ich am Ende
> einsetzen muss...
>  Die Ausgangspunkte P und Q sind es ja nicht und wenn ich
> die von G [mm]\kappa[/mm] E und  E [mm]\kappa[/mm] F einsetze..passt es auch
> nicht..
>  
> Vielen Dank für Hilfe


Hallo zocca21,

ich denke, dass du die Verknüpfung  (G [mm]\kappa[/mm] E) ° (E [mm]\kappa[/mm] F)
nicht korrekt durchgeführt hast.
Mit ausreichender Beklammerung sieht dies so aus:

      [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }*\left[ \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 2 }*\vektor{x \\ y}+\pmat{1\\-1}\right] + \pmat{2\\0}[/mm]

Bei meiner Rechnung kam ich jedenfalls auf:

      [mm] $\pmat{x_G\\y_G}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0&-1\\-1&-2}*\pmat{x_F\\y_F}\ [/mm] +\ [mm] \pmat{3\\1}$ [/mm]


LG     Al-Chw.


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