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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Fr 25.02.2011 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^2 [/mm] sind zwei Koordinatensysteme F und G mit
F= ( [mm] \vektor{1 \\ 2}; \vektor{1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1})
[/mm]
G= ( [mm] \vektor{2 \\ 2}; \vektor{1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1})
[/mm]
gegeben. Berechnen Sie die Koordinatentransformation von F nach G bzw. von G nach F. |
Hallo zusammen,
ist die Aufgabenstellung bzw. die Schreibweise so zu verstehen, dass der erste Vektor den Ursprung des Koordinatensystems angibt und die beiden anderen Vektoren die Koordinatenachsenrichtungen beschreiben ?
Mir liegt folgende Lösung der Aufgabe vor:
K(v) = [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 1 & -1 }v+ \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
bzw. K(v) = [mm] \pmat{ 0,5 & 1 \\ 0,5 & 0 }v+ \vektor{-0,5 \\ -0,5}
[/mm]
Wie kommt man auf diese Transformationsgleichungen und welche der beiden Gleichungen gibt welche Transformation an ?
Was ich auch nicht verstehe: Wenn ich den Ursprung von F, also (1/2) mit einer der Abbildungen abbilde, müsste doch eigentlich der Ursprung von G, also (2/2) als Bild entstehen, oder ?
Das ist aber nicht so, einmal ergibt sich als Bild von (1/2) der Punkt (5/-1) und einmal (2/0).
Vielen Dank für Eure Hinweise.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Im [mm]\IR^2[/mm] sind zwei Koordinatensysteme F und G mit
>
> F= ( [mm]\vektor{1 \\ 2}; \vektor{1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1})[/mm]
>
> G= ( [mm]\vektor{2 \\ 2}; \vektor{1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1})[/mm]
>
> gegeben. Berechnen Sie die Koordinatentransformation von F
> nach G bzw. von G nach F.
> Hallo zusammen,
>
> ist die Aufgabenstellung bzw. die Schreibweise so zu
> verstehen, dass der erste Vektor den Ursprung des
> Koordinatensystems angibt und die beiden anderen Vektoren
> die Koordinatenachsenrichtungen beschreiben ?
Etwa so würde ich das auch interpretieren. Allerdings stellen
die beiden anderen Vektoren nicht bloß die "Koordinaten-
achsenrichtungen" dar, sondern die Basisvektoren.
> Mir liegt folgende Lösung der Aufgabe vor:
>
> K(v) = [mm]\pmat{ 0 & 2 \\ 1 & -1 }v+ \vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> bzw. K(v) = [mm]\pmat{ 0,5 & 1 \\ 0,5 & 0 }v+ \vektor{-0,5 \\ -0,5}[/mm]
An dieser Lösung ist sehr dumm, dass beide Transformationen
(hin und zurück) mit demselben Symbol K und mit derselben
Variablen v beschrieben werden !
LG Al-Chw.
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> Im [mm]\IR^2[/mm] sind zwei Koordinatensysteme F und G mit
>
> F= ( [mm]\vektor{1 \\
2}; \vektor{1 \\
0}, \vektor{1 \\
1})[/mm]
>
> G= ( [mm]\vektor{2 \\
2}; \vektor{1 \\
1}, \vektor{1 \\
-1})[/mm]
>
> gegeben. Berechnen Sie die Koordinatentransformation von F
> nach G bzw. von G nach F.
> Hallo zusammen,
>
> ist die Aufgabenstellung bzw. die Schreibweise so zu
> verstehen, dass der erste Vektor den Ursprung des
> Koordinatensystems angibt und die beiden anderen Vektoren
> die Koordinatenachsenrichtungen beschreiben ?
Hallo,
ja.
Wie Al Chwarizmi sagt, geben die beiden Vektoren nicht nur die Richtungen vor, sondern sie sind die Basisvektoren.
Wir überlegen uns mal vorweg, was es bedeutet, wenn wir im Koordinatensystem F den Vektor [mm] \vektor{4\\5}_{(F)} [/mm] haben.
In "ganz normalen" Koordinaten ist dies der Vektor
[mm] \vektor{4\\5}_{(F)}=\vektor{1\\2}+4*\vektor{1\\0}+5*\vektor{1\\1}=\vektor{10\\7}.
[/mm]
Entsprechend ist [mm] \vektor{0\\0}_{(F)}=\vektor{1\\2}.
[/mm]
>
> Mir liegt folgende Lösung der Aufgabe vor:
>
> [mm]K^{\red{G}}_{\red{F}}(v)=\pmat{ 0 & 2 \\
1 & -1 }v+ \vektor{1 \\
0}[/mm]
Diese Abbildung wandelt Vektoren, die in Koordinaten bzgl G gegeben sind, in solche in Koordinaten bzgl. F um.
In der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren von G in Koordinaten bzgl der Basisvektoren von F.
Der Vektor, welcher addiert wird, ist der Differenzvektor der Ursprünge von G und F(!) in Koordinaten bzgl. F:
[mm] \vektor{2\\2}-\vektor{1\\2}=\vektor{1\\0}=\vektor{1\\0}_{(F)}
[/mm]
Wir testen jetzt erstmal mal anhand des Ursprunges von G, ob die Sache funktioniert:
der Ursprung von G ist [mm] \vektor{2\\2}=\vektor{0\\0}_{(G)}.
[/mm]
Es ist
[mm] $K^{\red{G}}_{\red{F}}(\vektor{0\\0})=\pmat{ 0 & 2 \\ 1 & -1 }\vektor{0\\0}+ \vektor{1 \\ 0}$=\vektor{1\\0}.
[/mm]
Was sagt uns das? Dies: es ist [mm] \vektor{0\\0}_{(G)}=\vektor{1\\0}_{(f]}.
[/mm]
Nun gucken wir mal, ob das auch stimmt:
[mm] \vektor{0\\0}_{(G)}=\vektor{2\\2}+ 0*\vektor{1\\1}+0*\vektor{1\\-1}=\vektor{2\\2}.
[/mm]
[mm] \vektor{1\\0}_{(F)}=\vektor{1\\2}+1*\vektor{1\\0}*0*\vektor{1\\1}=\vektor{2\\2}.
[/mm]
Stimmt also.
Machen wir einen weiteren Test.
Wir schauen mal nach, wie der Vektor, der in Koordinaten bzgl. G lautet [mm] \vektor{3\\5}_{(G)} [/mm] in Koordinaten bzgl F heißt:
[mm] $K^{\red{G}}_{\red{F}}(\vektor{3\\5})=\pmat{ 0 & 2 \\ 1 & -1 }\vektor{3\\5}+ \vektor{1 \\ 0}$=\vektor{10\\-2}+\vektor{1\\0}=\vektor{11\\-2}.
[/mm]
Das sagt uns: es ist [mm] \vektor{3\\5}_{(G)}=\vektor{11\\-2}_{(F)}.
[/mm]
Schauen wir sicherheitshalber nach, ob es stimmt, indem wir die kartesischen Koordinaten betrachten:
[mm] \vektor{3\\5}_{(G)}=\vektor{2\\2}+3*\vektor{1\\1}+5*\vektor{1\\-1}=\vektor{10\\0},
[/mm]
[mm] \vektor{11\\-2}_{(F)}=\vektor{1\\2}+11*\vektor{1\\0}-2*\vektor{1\\1}=\vektor{10\\0}.
[/mm]
Stimmt also.
Mit der zweiten Transformation beschäftige Dich mal selbst jetzt.
Tip: mal Dir die 3 Koordinatensysteme auch einmal auf (in ein und dasselbe Bildchen), in verschiedenen Farben.
Nimm ein paar Punkte und schreib auf, wie sie in den drei Koordinatensystemem heißen. So versteht man etwas besser, was man tut.
Gruß v. Angela
>
> bzw. K(v) = [mm]\pmat{ 0,5 & 1 \\
0,5 & 0 }v+ \vektor{-0,5 \\
-0,5}[/mm]
>
> Wie kommt man auf diese Transformationsgleichungen und
> welche der beiden Gleichungen gibt welche Transformation an
> ?
>
> Was ich auch nicht verstehe: Wenn ich den Ursprung von F,
> also (1/2) mit einer der Abbildungen abbilde, müsste doch
> eigentlich der Ursprung von G, also (2/2) als Bild
> entstehen, oder ?
> Das ist aber nicht so, einmal ergibt sich als Bild von
> (1/2) der Punkt (5/-1) und einmal (2/0).
>
> Vielen Dank für Eure Hinweise.
>
> Viele Grüße
> Rubi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Fr 25.02.2011 | | Autor: | rubi |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine ausführliche und sehr verständliche Antwort.
Ich habe es nun durchgerechnet und bin auf die Ergebnisse gekommen !
Viele Grüße
Rubi
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