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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Koordinatentransformation
Koordinatentransformation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Koordinatentransformation: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:12 Do 28.04.2011
Autor: MontBlanc

Aufgabe
Sei R die Fläche eingeschlossen von [mm] x=1+y^2 [/mm] , [mm] y=\frac{x}{2} [/mm] und y=0.

Eine Koordinatentransformation is gegeben durch [mm] x=u^2+v^2, [/mm] y=uv.

Zeigen Sie, dass R ein Dreieck in der u,v-ebene ist und bestimmen Sie seinen Flächeninhalt.

Ist das Koordinatensystem beschrieben durch u und v orthogonal ?


Hallo,

ich habe etwas Probleme zu zeigen, dass es in der u,v-ebene ein dreieck ergibt.

Soweit bin ich schonmal gekommen:

Aus [mm] y=\frac{x}{2} [/mm] folgt, dass [mm] uv=\frac{u^2+v^2}{2} \Rightarrow (u-v)^2=0 \Rightarrow [/mm] u=v

Eine Gerade in der u,v-Ebene ist also gegeben durch u=v.

Aus y=0 folgt, dass uv=0 d.h. dass eine andere Gleichung gegeben ist durch u=0 oder v=0.

Aus [mm] u^2+v^2=1+u^2v^2 [/mm] folgt, dass [mm] u^2(1-v^2)+v^2-1=0, [/mm] also [mm] u=\pm [/mm] 1

Demnach käme ich auf das Dreieck begrenzt durch u=0, u=v und u=1, der Flächeninhalt wäre dementsprechend [mm] \frac{1}{2}. [/mm]
Bestimme ich aber die Fläche zwischen [mm] x=1+y^2 [/mm] , [mm] y=\frac{x}{2} [/mm] und y=0 komme ich auf [mm] \frac{1}{3}. [/mm]

Irgendwo stimmt also etwas nicht...

Orthogonal ist das Koordinatensystem nicht, denn die neuen Einheitsvektoren sind gegeben durch

[mm] \mathbf{e_{1}}=\frac{2u*\mathbf{i}+v\mathbf{j}}{\sqrt{4u^2+v^2}} [/mm] und [mm] \mathbf{e_{2}}=\frac{2v*\mathbf{i}+u\mathbf{j}}{\sqrt{4v^2+u^2}} [/mm] und deren Skalarprodukt ist nicht null... oder ?

Wäre super, wenn jemand mal drüber schaut.

LG

        
Bezug
Koordinatentransformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:32 Do 28.04.2011
Autor: MontBlanc

Hi,

vergesst es, ich war blöd. hatte die Jacobi-Matrix falsch bestimmt.


LG

Bezug
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