Koordinatentransformationen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei das Gebiet U = [0,1] × [0,1] gegeben. Geben Sie zu folgenden Gebieten B [mm] \subset R^2 [/mm] jeweils eine Koordinatentransformation [mm] \phi(u,v) [/mm] : [mm] U\to [/mm] B an und
berechnen Sie [mm] detD\phi(u,v).
[/mm]
a) Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt [mm] (x_0, y_0)
[/mm]
b) Rechteck mit Eckpunkten P = (1,1), Q = (3,2), R = (2,5), S = (0,3)
c) B = [mm] \{(x,y) : 14x^2-6xy+6y^2\le 45\}
[/mm]
Geben Sie zu folgendem Gebiet B [mm] \subset R^3 [/mm] eine Koordinatentransformation
[mm] \phi(u,v) [/mm] : U [mm] \to [/mm] B an und berechnen Sie [mm] |\phi_u [/mm] × [mm] \phi_v|.
[/mm]
d) Mantel eines Zylinders mit Radius 2 und Höhe 3 um die Achse [mm] (1,0,1)^T [/mm] |
a)
Ein kreis mit den Mittelpunkt [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] wird beschrieben druch:
[mm] (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2
[/mm]
Für a) gilt dann: [mm] (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=1
[/mm]
Diese gleichung soll nun so tranformiert werden, dass es in [mm] \IR^2 [/mm] abbildet. Die transformation hätte ich so beschrieben
[mm] \phi(r,\phi)=R\vektor{cos(\varphi) \\ sin(\varphi)}
[/mm]
mit R=1 und [mm] \varphi\in[0,2\pi]
[/mm]
wie berücksichtige ich den Mittelpunkt [mm] (x_0, y_0) [/mm] ?
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Ich bin immer noch an einer antwort interessiert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Sa 14.11.2015 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Ich bin immer noch an einer antwort interessiert.
ich habe die Fälligkeit um 2 Tage verlängert - wenn du eine weitere Verschiebung möchtest, dann meld' dich einfach und sag wie lange.
Grüße
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 So 15.11.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Es sei das Gebiet U = [0,1] × [0,1] gegeben. Geben Sie zu
> folgenden Gebieten B [mm]\subset R^2[/mm] jeweils eine
> Koordinatentransformation [mm]\phi(u,v)[/mm] : [mm]U\to[/mm] B an und
> berechnen Sie [mm]detD\phi(u,v).[/mm]
>
> a) Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt [mm](x_0, y_0)[/mm]
>
> b) Rechteck mit Eckpunkten P = (1,1), Q = (3,2), R = (2,5),
> S = (0,3)
>
> c) B = [mm]\{(x,y) : 14x^2-6xy+6y^2\le 45\}[/mm]
>
> Geben Sie zu folgendem Gebiet B [mm]\subset R^3[/mm] eine
> Koordinatentransformation
> [mm]\phi(u,v)[/mm] : U [mm]\to[/mm] B an und berechnen Sie [mm]|\phi_u[/mm] ×
> [mm]\phi_v|.[/mm]
>
> d) Mantel eines Zylinders mit Radius 2 und Höhe 3 um die
> Achse [mm](1,0,1)^T[/mm]
>
>
> a)
>
> Ein kreis mit den Mittelpunkt [mm]x_0[/mm] und [mm]y_0[/mm] wird beschrieben
> druch:
>
> [mm](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2[/mm]
>
> Für a) gilt dann: [mm](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Diese gleichung soll nun so tranformiert werden, dass es in
> [mm]\IR^2[/mm] abbildet. Die transformation hätte ich so
> beschrieben
>
> [mm]\phi(r,\phi)=R\vektor{cos(\varphi) \\ sin(\varphi)}[/mm]
das wäre ein Kreis um den Ursprung.
>
> mit R=1 und [mm]\varphi\in[0,2\pi][/mm]
Schau Dir nochmal die geforderte Definitionsmenge, die für Deine Abbildung gelten soll an.
>
> wie berücksichtige ich den Mittelpunkt [mm](x_0, y_0)[/mm] ?
Wie verschiebt mann denn Vektoren im Raum (bzw. in der Ebene)? Stichwort: Vektoraddition.
Gruß,
notinX
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Wäre das so richtig?
[mm] \phi(u,v)=\vektor{cos(u-u_0) \\ sin(v-v_0)}
[/mm]
mit u, [mm] v\in[0,1]
[/mm]
und [mm] u_0=x_0 [/mm] und [mm] v_0=y_0
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 So 15.11.2015 | | Autor: | notinX |
> Wäre das so richtig?
>
> [mm]\phi(u,v)=\vektor{cos(u-u_0) \\ sin(v-v_0)}[/mm]
>
> mit u, [mm]v\in[0,1][/mm]
>
> und [mm]u_0=x_0[/mm] und [mm]v_0=y_0[/mm]
Nein, das wäre ein Teilabschnitt einer Ellipse.
Ich helfe Dir mal auf die Sprünge. Ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung sieht so aus:
[mm] $\phi(u,v)=\begin{pmatrix}\cos(a*v)\\ \sin(a*v)\end{pmatrix}$
[/mm]
Jetzt musst Du den Faktor $a$ so bestimmen, dass das Argument der sin- und cos-Funktion einen Vollwinkel [mm] ($2\pi$) [/mm] durchlaufen. Dabei ist zu berücksichtigen, dass [mm] $v\in[0,1]$ [/mm] ist.
Wenn Du das geschafft hast, fehlt noch die Verschiebung des Kreises.
Wenn Du einen Ortvektor [mm] $\vec [/mm] r$ hast, der im Ursprung beginnt, z.B.:
[mm] $\vec r=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$
[/mm]
und nun möchtest Du, dass er nicht im Ursprung, sondern im Punkt (1,1) beginnt. Dann geht das doch einfach so:
[mm] $\vec r'=\vec [/mm] r+ [mm] \begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$
[/mm]
Leuchtet das ein und wenn ja, kannst Du das auf den Kreis übertragen?
Gruß,
notinX
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> Ein Kreis mit Radius 1
> um den Ursprung sieht so aus:
> [mm]\phi(u,v)=\begin{pmatrix}\cos(a*v)\\ \sin(a*v)\end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt musst Du den Faktor [mm]a[/mm] so bestimmen, dass das Argument
> der sin- und cos-Funktion einen Vollwinkel ([mm]2\pi[/mm])
> durchlaufen. Dabei ist zu berücksichtigen, dass [mm]v\in[0,1][/mm]
> ist.
Ich verstehe nicht wozu man die faktoren a und v benötigt. Kann ich die beiden Faktoren nicht einfach durch [mm] \varphi [/mm] ersetzen mit der bedingung [mm] 0\le\varphi\le 2\pi?
[/mm]
Ich hätte die aufgabe nun so gelöst:
[mm] \phi=\vektor{x_0 \\ y_0}+\vektor{cos(\varphi) \\ sin(\varphi)}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 So 15.11.2015 | | Autor: | notinX |
> > Ein Kreis mit Radius 1
> > um den Ursprung sieht so aus:
> > [mm]\phi(u,v)=\begin{pmatrix}\cos(a*v)\\ \sin(a*v)\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Jetzt musst Du den Faktor [mm]a[/mm] so bestimmen, dass das Argument
> > der sin- und cos-Funktion einen Vollwinkel ([mm]2\pi[/mm])
> > durchlaufen. Dabei ist zu berücksichtigen, dass [mm]v\in[0,1][/mm]
> > ist.
>
> Ich verstehe nicht wozu man die faktoren a und v benötigt.
$v$ ist kein Faktor, sondern die Variable. $v$ wird max 1, wie groß muss dann $a$ sein, dass der Vollwinkel im Argument der Funktionen erreicht wird?
> Kann ich die beiden Faktoren nicht einfach durch [mm]\varphi[/mm]
> ersetzen mit der bedingung [mm]0\le\varphi\le 2\pi?[/mm]
Nein, eben nicht. Wenn der Definitionsbereich nur das Intervall $[0,1]$ umfasst, kannst Du nicht einfach sagen, dass Deine Variable einem größeren Intervall [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] entspringen soll...
>
> Ich hätte die aufgabe nun so gelöst:
>
> [mm]\phi=\vektor{x_0 \\ y_0}+\vektor{cos(\varphi) \\ sin(\varphi)}[/mm]
>
[mm] $=\begin{pmatrix}x_0+\cos\varphi\\ y_0+\sin\varphi\end{pmatrix}$
[/mm]
Damit wird der Kreis um [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] verschoben.
Gruß,
notinX
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Wahrscheinlich stelle ich mich doof an, aber hast du mir die Lösung quasi nicht schon gesagt? Ich hätte aufg. a) nun so gelöst:
[mm] \phi=\begin{pmatrix}x_0+\cos(a*v)\\ y_0+\sin(a*v)\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] a=2\pi [/mm] und [mm] v\in[0,1]
[/mm]
bei v=0 beträgt der Winkel 0
bei v=1 beträgt der Winkel [mm] a=2\pi
[/mm]
bei 0<v<1 beträgt der winkel [mm] 0
Das Problem das mir gerade auffällt, die Koordinatentransformation [mm] \phi(u,v) [/mm] soll aus 2 variabeln bestehen. Ich habe aber nur eine variable v
Wo haue ich noch die zweite variable rein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mo 16.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wahrscheinlich stelle ich mich doof an, aber hast du mir
> die Lösung quasi nicht schon gesagt? Ich hätte aufg. a)
> nun so gelöst:
>
> [mm]\phi=\begin{pmatrix}x_0+\cos(a*v)\\ y_0+\sin(a*v)\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]a=2\pi[/mm] und [mm]v\in[0,1][/mm]
>
> bei v=0 beträgt der Winkel 0
> bei v=1 beträgt der Winkel [mm]a=2\pi[/mm]
> bei 0<v<1 beträgt der winkel [mm]0
>
> Das Problem das mir gerade auffällt, die
> Koordinatentransformation [mm]\phi(u,v)[/mm] soll aus 2 variabeln
> bestehen. Ich habe aber nur eine variable v
>
> Wo haue ich noch die zweite variable rein?
>
Wie wärs mit
$ [mm] \phi(u,v)=\begin{pmatrix}x_0+u*\cos(a\cdot{}v)\\ y_0+u*\sin(a\cdot{}v)\end{pmatrix} [/mm] $,
$(u,v) [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1]$.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Mo 16.11.2015 | | Autor: | notinX |
> > Wahrscheinlich stelle ich mich doof an, aber hast du mir
> > die Lösung quasi nicht schon gesagt? Ich hätte aufg. a)
> > nun so gelöst:
> >
> > [mm]\phi=\begin{pmatrix}x_0+\cos(a*v)\\ y_0+\sin(a*v)\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]a=2\pi[/mm] und [mm]v\in[0,1][/mm]
> >
> > bei v=0 beträgt der Winkel 0
> > bei v=1 beträgt der Winkel [mm]a=2\pi[/mm]
> > bei 0<v<1 beträgt der winkel [mm]0
Für $0<v<1$ beträgt der Winkel [mm] $\varphi=av$: $0<\varphi<2 \pi$
[/mm]
> >
> > Das Problem das mir gerade auffällt, die
> > Koordinatentransformation [mm]\phi(u,v)[/mm] soll aus 2 variabeln
> > bestehen. Ich habe aber nur eine variable v
> >
> > Wo haue ich noch die zweite variable rein?
> >
> Wie wärs mit
>
>
>
> [mm]\phi(u,v)=\begin{pmatrix}x_0+u*\cos(a\cdot{}v)\\ y_0+u*\sin(a\cdot{}v)\end{pmatrix} [/mm],
>
> [mm](u,v) \in [0,1] \times [0,1][/mm].
Es kommt darauf an, was man unter 'Kreis' versteht. Was Du FRED definiert hast ist ja die gesamte Kreisfläche. Eine Kreisgleichung beschreibt auch nur den Rand des Kreises, nicht seine Fläche.
Ich würde es so lassen:
[mm] $\phi(u,v)=\begin{pmatrix}x_0+\cos(a\cdot{}v)\\ y_0+\sin(a\cdot{}v)\end{pmatrix}$
[/mm]
mit
[mm] $(u,v)\in[0,1]\times [/mm] [0,1]$
Dass eine Variable nicht vorkommt spielt keine Rolle, da sie konstant ist.
In der Funktion $f(x)=3$ kommt die Variable x auch nicht explizit vor, trotzdem ist sie auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert.
>
> FRED
Gruß,
notinX
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Das Gebiet bei aufg. b) ist meines wissens nach kein rechteck, weil die gegenüber liegenden Seiten nicht alle gleichlang sind und die ecken keinen rechten winkel haben. egal ich hätte das gebiet so transformiert:
[mm] \phi(u,v)=\overrightarrow{P}+u*\overrightarrow{pQ}+v\overrightarrow{PS}
[/mm]
mit [mm] (u,v)\in[0,1]x[0,1]
[/mm]
stimmt die Lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mo 16.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das Gebiet bei aufg. b) ist meines wissens nach kein
> rechteck, weil die gegenüber liegenden Seiten nicht alle
> gleichlang sind und die ecken keinen rechten winkel haben.
> egal ich hätte das gebiet so transformiert:
>
> [mm]\phi(u,v)=\overrightarrow{P}+u*\overrightarrow{pQ}+v\overrightarrow{PS}[/mm]
>
> mit [mm](u,v)\in[0,1]x[0,1][/mm]
>
> stimmt die Lösung?
Ja
FRED
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Hallo Fred,
ich glaube die Lösung ist nicht richtig. Zumindest hat mein Tutor die aufgabe anders gelöst. Aber ich glaube ich weiß wieso die Antwort nicht richtig ist. Das "Rechteck" sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Ebene
[mm] \phi(u,v)=\overrightarrow{P}+u*\overrightarrow{PQ}+v\overrightarrow{PS}
[/mm]
mit [mm] (u,v)\in[0,1]x[0,1]
[/mm]
beschreibt den rot makierten Bereich meines Wissens nach nicht. Deshalb stimmt die Lösung nicht
Mein Totur hat es so gelöst:
Gerade PQ: P+u(Q-P) mit [mm] u\in[0,1]
[/mm]
Gerade SR: S+u(R-S) mit [mm] u\in[0,1]
[/mm]
[mm] \phi(u,v)=[P+u(Q-P)]*(1-v)+[S+u(R-S)]*v [/mm] mit [mm] v\in[0,1]
[/mm]
Ich verstehe die Lösung nicht ganz. Wie hat er die letzte Gleichung aufgestellt? Ich kann das nicht nachvollziehen.
Er hat 2 Geraden PQ und SR aufgestellt und dann?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Rebellismus,
> Hallo Fred,
>
> ich glaube die Lösung ist nicht richtig. Zumindest hat
> mein Tutor die aufgabe anders gelöst. Aber ich glaube ich
> weiß wieso die Antwort nicht richtig ist. Das "Rechteck"
> sieht so aus:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Die Ebene
>
> [mm]\phi(u,v)=\overrightarrow{P}+u*\overrightarrow{PQ}+v\overrightarrow{PS}[/mm]
>
> mit [mm](u,v)\in[0,1]x[0,1][/mm]
>
> beschreibt den rot makierten Bereich meines Wissens nach
> nicht. Deshalb stimmt die Lösung nicht
> Mein Totur hat es so gelöst:
>
> Gerade PQ: P+u(Q-P) mit [mm]u\in[0,1][/mm]
>
> Gerade SR: S+u(R-S) mit [mm]u\in[0,1][/mm]
>
> [mm]\phi(u,v)=[P+u(Q-P)]*(1-v)+[S+u(R-S)]*v[/mm] mit [mm]v\in[0,1][/mm]
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> Ich verstehe die Lösung nicht ganz. Wie hat er die letzte
> Gleichung aufgestellt? Ich kann das nicht nachvollziehen.
>
> Er hat 2 Geraden PQ und SR aufgestellt und dann?
Er hat dann sich überlegt, wie er von der Geraden PQ auf die Gerade SR kommt.
Ausgehend von der Geraden PQ ergibt sich doch:
[mm]\overrightarrow{PQ}+v\left(\overrightarrow{SR}-\overrightarrow{PQ}\right)[/mm]
Und jetzt die Geradengleichungen einsetzen
und ein bischen umformen, dann steht das
Ergebnis da.
Gruss
MathePower
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Hat jemand ein Tipp für aufg. c)?
Das sieht ein bisschen aus wie eine kreisgleichung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Mo 16.11.2015 | | Autor: | notinX |
> Hat jemand ein Tipp für aufg. c)?
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> Das sieht ein bisschen aus wie eine kreisgleichung
Mir sieht das eher nach einer Ellipse aus.
Gruß,
notinX
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